1、考研数学二-192 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 cosx-1=xsina(x)，其中|a(x)| （分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 y=+ （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.曲线 y=x2。与曲线 y=alnx(a0)相切，则 a=_A4e B3e C2e De（分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)和 g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，并且 f(0)=g(0)=0，那么函数
2、z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是_Af “(0)0，g “(0)0 Bf “(0)0，g “(0)0Cf “(0)0，g “(0)0 Df “(0)0，g “(0)0（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)(n=1，2，)，则下列结论正确的是_A若 u1u 2，则 un必收敛B若 u1u 2，则 un必发散C若 u1u 2，则 un必收敛D若 u1u 2，则 un必发散（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A、B 均为 2 阶矩阵，A +，B +分别为 A、B 的伴随矩阵若|A|=2
3、，|B|=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为_ABC D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设矩阵 ， （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_10.计算 （分数：4.00）填空项 1:_11.函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 y(n)(0)=_（分数：4.00）填空项 1:_12.已知 y1=e3x-xe2x，y 2=ex-xe2x，y 3=-xe2x是某 2 阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足条件 （分数：4.00）填空项 1:_13.曲线 y=x2+x(x0)上曲率为 （分
4、数：4.00）填空项 1:_14.设 a， 为 3 维列向量， T为 的转置，若矩阵 a T相似于 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限= （分数：10.00）_16.求 （分数：10.00）_17.如图，C 1和 C2分别是 y= (1+ex)和 y=ex的图象，过点(0，1)的曲线 C3是一单调增函数的图象过C2上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 lx和 ly记 C1，C 2与 lx所围图形的面积为 S1(x)；C2，C 3与 ly所围图形的面积为 S2(y)如果总有 S1(x)=S2(y)，求曲线 C3的方程 x=
5、 (y)（分数：10.00）_18.求二重积分 （分数：10.00）_19.求曲线 x3-xy+y3=1(x0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离（分数：11.00）_设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 z=f( )满足等式（分数：10.00）(1).验证*；（分数：5.00）_(2).若 f(1)=0，f (1)=1，求函数 f(u)的表达式（分数：5.00）_（分数：11.00）(1).证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)可导，则存在 (a，b)，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)（分数：5.50）_(2).证明：若函数 f(x)在
6、x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且*，则 f+(0)存在，且 f+(0)=A（分数：5.50）_20.确定常数 a，使向量组 a1=(1，1，a) T，a 2=(1，a，1) T，a 3=(a，1，1) T可由向量组 1=(1，1，a)T， 2=(-2，a，4) T，3=(-2，a，a) T线性表示，但向量组 1， 2， 3不能由向量组 a1，a 2，a 3线性表示（分数：11.00）_21.已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B= （分数：11.00）_考研数学二-192 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：
7、8，分数：32.00)1.设 cosx-1=xsina(x)，其中|a(x)| （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 cosx-1=xsina(x)cos-1- x2所以 xsina(x)- x2，即 sina(x)- x又当 x0 时，a(x)0，sina(x)a(x)所以 a(x)-2.曲线 y=+ （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 ，所以 x=0 为垂直渐近线；又 ，所以 y=0 为水平渐近线；进一步3.设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 根据可导的定义有，对于 用变量替换，令 x3=
8、t，则 4.曲线 y=x2。与曲线 y=alnx(a0)相切，则 a=_A4e B3e C2e De（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查切线以及切点的定义假设两曲线相切于点(x 0，y 0)，即两曲线相交于点(x 0，y 0)且在点(x 0，y 0)处切线斜率相同，则有即有解以上方程组得：5.设函数 f(x)和 g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，并且 f(0)=g(0)=0，那么函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是_Af “(0)0，g “(0)0 Bf “(0)0，g “(0)0Cf “(0)0，g “(0)0 Df
9、“(0)0，g “(0)0（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 将函数 z 分别对 x 和 Y 求偏导所以有故(0，0)是 z 的驻点，又，6.设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)(n=1，2，)，则下列结论正确的是_A若 u1u 2，则 un必收敛B若 u1u 2，则 un必发散C若 u1u 2，则 un必收敛D若 u1u 2，则 un必发散（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意可知，函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，并且 f“(x)0，所以可以判断函数f(x)在(0，+)是凹函数由于 f“(x)0，因此 f(x)
10、是单调递增函数，f(x)有以下几种情形，用图示法进行选择：当 u1=f(1)u 2=f(2)时，这时，f(n)=u n的变化有三种可能：第一种，所示：第二种，所示：第三种，所示：存在因此否定了 A、B当 u1u 2时只有如图 2 的可能，即 选 D下面再对正确选项 D 进行证明：由拉格朗日中值定理，有un+1-un=f(n+1)-f(n)=f ( n)(n+-n)=f( n)，其中 n(n，n+1)，n=1，2，由于 f“(x)0，那么 f(x)单调递增，故 f( 1)f( 2)f( n)，所以 于是当 u2-u10 时，可以得出7.设 A、B 均为 2 阶矩阵，A +，B +分别为 A、B
11、的伴随矩阵若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为_ABC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由|A|=3，|B|=2 知，行列式 =60，所以矩阵 可逆由 C*=|C|C-1知，8.设矩阵 ， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=2x）解析：解析 本题中曲线方程是由参数方程确定的函数来表示的由 得：当 x=0 时，t=1，由参数确定的函数的求导公式可得：10.计算 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 11.函数 y=ln(1-
12、2x)在 x=0 处的 n 阶导数 y(n)(0)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2 “(n-1)!）解析：解析 思路一：用归纳法先求 y 的前几阶导数，观察出规律性，写出 y(n)的公式易得y“=-22(1-2x)-2， ，所以 y(n)=-2n(n-1)!(1-2x)-n故 y(n)(0)=-2n(n-1)!思路二：利用麦克劳林公式由 可得 12.已知 y1=e3x-xe2x，y 2=ex-xe2x，y 3=-xe2x是某 2 阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足条件 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e 3x-ex-xe2x）解析：解析 y
13、 1-y2=e3x-ex，y 2-y3=ex是对应齐次微分方程的解由分析知，y “=-xe2x是非齐次微分方程的特解故原方程的通解为 y=C1(e3x-ex)+C2ex-xe2x，C 1C2为任意常数由13.曲线 y=x2+x(x0)上曲率为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1，0)）解析：解析 由曲率公式可知，曲率对 y=x2+x(x0)分别求一阶导，二阶导，得 y =2x+1，y =2把 y，y “代入曲率公式得 ，又由14.设 a， 为 3 维列向量， T为 的转置，若矩阵 a T相似于 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 因为 a T相似于三
14、、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限= （分数：10.00）_正确答案：(方法一：注意灵活运用变量代换，观察原式可以看到，如果利用等价无穷小因子将分母的 x换成 sinx 后，可大大简化运算令 sinx=t，再利用洛必达法则方法二：可以利用等价无穷小 sinxx，并结合泰勒公式进行计算因为利用泰勒公式和等价无穷小sinxx 替换得故 )解析：16.求 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：17.如图，C 1和 C2分别是 y= (1+ex)和 y=ex的图象，过点(0，1)的曲线 C3是一单调增函数的图象过C2上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 l
15、x和 ly记 C1，C 2与 lx所围图形的面积为 S1(x)；C2，C 3与 ly所围图形的面积为 S2(y)如果总有 S1(x)=S2(y)，求曲线 C3的方程 x= (y)（分数：10.00）_正确答案：( ，由题设，得 ，而 y=ex，于是两边对 y 求导得，故所求的函数关系为： )解析：18.求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(如图：记 D 1=(x，y)|xy1，(x，y)D，D2=(x，y)|xy1，(x，y)D)，则 )解析：19.求曲线 x3-xy+y3=1(x0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离（分数：11.00）_正确答案：(设 M(x，y)为曲线上一
16、点，该点到坐标原点的距离为 d= ，依题构造拉格朗日函数F=x2+y2+(x 3-xy+y3-1)由 得点(1，1)到原点的距离为 该曲线不是封闭曲线，它有两个断点：即(1，0)，(0，1)，它们到原点的距离都是 1因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为 )解析：设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 z=f( )满足等式（分数：10.00）(1).验证*；（分数：5.00）_正确答案：(由复合函数求导法得由对称性知 两式相加得 )解析：(2).若 f(1)=0，f (1)=1，求函数 f(u)的表达式（分数：5.00）_正确答案：(中的方程改写成uf“(u)+f(u)=0，即 uf (
17、u)=0积分得 uf (u)=C1由 f(1)=1，得 C1=1，从而有 f(u)= )解析：（分数：11.00）(1).证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)可导，则存在 (a，b)，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)（分数：5.50）_正确答案：(对于拉格朗日定理的证明，首先构造辅助函数，可知函数 F(x)满足条件：F(a)=F(b)=0，在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，由罗尔定理可知，在区间(a，b)内至少存在一点 ，使得 F()=0，也即)解析：(2).证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且*，则 f+(0
18、)存在，且 f+(0)=A（分数：5.50）_正确答案：(根据右导数的定义，要证函数 f(x)在 x=0 点的右导数存在，只需要讨论 方法一：利用求极限的洛必达法则当 x0+时方法二：利用拉格朗日中值定理对于任意的 x(0，)，函数 F(x)在闭区间0，x上连续，在开区间(0，x)内可导，则有而 x0 +时，0 +，)解析：20.确定常数 a，使向量组 a1=(1，1，a) T，a 2=(1，a，1) T，a 3=(a，1，1) T可由向量组 1=(1，1，a)T， 2=(-2，a，4) T，3=(-2，a，a) T线性表示，但向量组 1， 2， 3不能由向量组 a1，a 2，a 3线性表示（
19、分数：11.00）_正确答案：(由已知得， 1， 2， 3不能由向量组 a1，a 2，a 3线性表示，所以方程组x1a1+x2a2+x3a3= j(j=1，2，3)无解对增广矩阵作初等行变换，有a=1 时，显然 a1，a 2，a 3可由 1， 2， 3线性表出，但 2， 3不能由 a1，a 2，a 3线性表出，即向量组 1， 2， 3不能向 a1，a 2，a 3线性表出a=2 时，)解析：21.已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B= （分数：11.00）_正确答案：(由 AB=0，得出r(A)+r(B)3，B 的列向量是 Ax=0 的解由矩阵 B 得：(1)k=9 时，r(B)=1，故 r(A)2，所以 r(A)=1 或 2当 r(A)=2 时，3-r(A)=1，则方程 Ax=0 的通解为 k(1，2，3)，其中 k 为任意常数当 r(A)=1 时，3-r(A)=2，同解方程为 ax1+bx2+cx3=0，令 C0，则通解为 t1(c，0，-a)+t 2(0，c，-b)，其中 t1、t 2为常数(2)k9 时 r(B)=2，故 r(A)=1，所以方程的通解为t1(1，2，3) T+t2(3，6，k) T，其中 t1、t 2为常数)解析：
