1、考研数学二-191 及答案解析(总分：160.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 y1，y 2是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1+y 2是该方程的解，y 1-y 2是该方程对应的齐次方程的解，则_ABC(D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)是奇函数，除 x=0 外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有_A一个极小值点和两个极大值点
2、B两个极小值点和一个极大值点C两个极小值点和两个极大值点D三个极小值点和一个极大值点（分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)在(-，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是_A若 xn收敛，则 f(xn)收敛 B若 xn单调，则 f(xn)收敛C若 f(xn)收敛，则 xn收敛 D若 f(xn)单调，则 xn收敛（分数：4.00）A.B.C.D.6.二元函数 f(x，y)在点(O，0)处可微的一个充要条件是_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 列与第 3 行得单位矩阵，记
3、 P1=（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A=(a1，a 2，a 3，a 4)是 4 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵若(1，0，1，0) T是方程组 Ax=0 的一个基础解系，则 Ax=0 的基础解系可为_Aa 1，a 3 Ba 1，a 2 Ca 1，a 2，a 3 Da 2，a 3，a 4（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.3 阶常系数线性齐次微分方程 y“-2y“+y-2y=0 的通解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_10.已知函数 f(x)连续， （分数：4.00）填空项 1:_11.已知一个长方形的长 以 2cm/s 的速率
4、增加，宽 以 3cm/s 的速率增加，则当 =12cm，=5cm 时，它的对角线增加的速率为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 y=y(x)是方程 xy+ey=x+1 确定的隐函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.函数 y=x2x在区间(0，1上的最小值为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A=(aij)为 3 阶非零矩阵，|A|为 A 的行列式，A ij为 aij的代数余子式，若 aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：105.00)15.求极限 （分数：9.00）_16.设函数 y=y(x
5、)由参数方程 （分数：10.00）_17.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 :y=y(x)与直线 y=x 相切于原点记 a 为曲线 在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：10.00）_设曲线 L 的方程为 （分数：11.00）(1).求 L 的弧长；（分数：5.50）_(2).设 D 是由曲线 L，直线 x=1，x=e 及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标（分数：5.50）_18.设函数 u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 +确定 a，b 的值，使等式在变换 =x+ay，=x+by 下化简为 （分数：11.00）_19.计算二重积分， ，其中 D=(r，)|0rsec
6、，0 （分数：10.00）_（分数：11.00）(1).证明方程 xn+xn-1+x=1(n 为大于 1 的整数)在区间(*，1)内有且仅有一个实根；（分数：5.50）_(2).中的实根为 xn，证明*存在，并求此极限（分数：5.50）_设矩阵 A= （分数：18.99）(1).求证|A|=(n+1)a n；（分数：6.33）_(2).a 为何值，方程组有唯一解，求 x1；（分数：6.33）_(3).a 为何值，方程组有无穷多解，求通解（分数：6.33）_设二次型f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 （分数：14.00）(1)
7、.证明二次型 f 对应的矩阵为 2aaT+ T；（分数：7.00）_(2).若 a， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22（分数：7.00）_考研数学二-191 答案解析(总分：160.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 分析题意 f(x)在 x 取值为 0，1 和-1 三点没定义，可能存在间断点，分别计算函数在这三点处的极限值即可判别间断点类型：，2.设 y1，y 2是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1+y 2是该方程的
8、解，y 1-y 2是该方程对应的齐次方程的解，则_ABC(D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题求解一阶线性齐次和非齐次方程解中的未知参数由题意知：y 1+y 2是题中非齐次微分方程的解，则有(y 1+y 2)+p(x)(y 1+y 2)=q(x)而(y 1+y 2)+p(x)(y 1+y 2)=y 1+p(x)y1+y 2+p(x)y2=q(x)+q(x)=(+)q(x)将以上两式相比较得：+=1同理 y 1-y 2是题中齐次微分方程的解，则有(y 1-y 2)+p(x)(y 1-y 2)=0而(y 1-y 2)+p(x)(y1-y 2)=y 1+p(x)y1-y 2+p(
9、x)y2=q(x)-q(x)=(-)q(x)将以上两式相比较得：-=0由 得： =3.设 f(x)是奇函数，除 x=0 外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 思路一：因为 f(x)在(-，+)上除 x=0 外都连续，因此 f(x)在(-，+)上可积，令F(x)= ，则令 s=-t，并根据奇函数性质得，即 F(x)为偶函数，故选 B 选项思路二：特殊函数法令 ，显然则 f(x)满足题目的所有条件，又4.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有_A一个极小值点和两个极大值点B两个极小值点和一个极大值点C两个极小值
10、点和两个极大值点D三个极小值点和一个极大值点（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 是导数不存在的点三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x=0 为极大值点，故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选C5.设函数 f(x)在(-，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是_A若 xn收敛，则 f(xn)收敛 B若 xn单调，则 f(xn)收敛C若 f(xn)收敛，则 xn收敛 D若 f(xn)单调，则 xn收敛（分
11、数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 思路一：特殊函数法若取 xn=n，f(x)=arctanx，就可以直接排除选项 C 和 D；若取 和 ，则有 =0，6.二元函数 f(x，y)在点(O，0)处可微的一个充要条件是_ABCD （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 选项 A 相当于已知 f(x，y)在点(0，0)处连续，选项 B 相当于已知两个一阶偏导数fx(0，0)，f y(0，0)存在，因此 A，B 均不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微选项 D 相当于已知作为一元导数 fx(x，0)和 fy(0，y)分别在 x=0，y=0 点连续，但不能推出作为二元导数的 fx(x
12、，y)和 fy(x，y)在(0，0)点连续，因此也不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微若 ，则 ，即 f(0，0)=0，同理有 fy(0，0)=0从而 7.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 列与第 3 行得单位矩阵，记 P1=（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意，根据矩阵的初等变换得又有 8.设 A=(a1，a 2，a 3，a 4)是 4 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵若(1，0，1，0) T是方程组 Ax=0 的一个基础解系，则 Ax=0 的基础解系可为_Aa 1，a 3 Ba 1，a 2 Ca 1，a 2，
13、a 3 Da 2，a 3，a 4（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意知，矩阵 A 的基础解系只含有一个向量，即 n-r(A)=1，r(A)=3，r(A *)=1那么 n-r(A*)=4-1=3故 A*x=0 的基础解系含有 3 个线性无关的解，排除 A、B又(1，0，1，0) T为 Ax=0 的解，所以二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.3 阶常系数线性齐次微分方程 y“-2y“+y-2y=0 的通解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：C 1e2x+C2cosx+C3sinx）解析：解析 10.已知函数 f(x)连续， （分数：4.00）填空项
14、1:_ （正确答案：2）解析：解析 当 x0 时，根据等价无穷小因子替换法则，及 1-cosx x2，e x-1x，有：即11.已知一个长方形的长 以 2cm/s 的速率增加，宽 以 3cm/s 的速率增加，则当 =12cm，=5cm 时，它的对角线增加的速率为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 本题考查变化率问题先将该长方形的对角线用长和宽表示出来：12.设 y=y(x)是方程 xy+ey=x+1 确定的隐函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：解析 本题求隐函数的二阶导数由题设可知，当 x=0 时，y=0，即 y(0)=0，方程两端对
15、 x 求导得：y+xy +ey=1，由此方程可知 y(0)=1，将上述方程两端再对 x 求导得：2y+xy“+ey2+eyy“=0令 x=0，则有 2+1+y “(0)=0，于是可得 y “(0)=-313.函数 y=x2x在区间(0，1上的最小值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -2e-1）解析：解析 本题求函数的最值，先对函数求导得：14.设 A=(aij)为 3 阶非零矩阵，|A|为 A 的行列式，A ij为 aij的代数余子式，若 aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 由 aij+Aij
16、=0 得 Aij=-aij，所以 A*=-AT从而有AA*=-AAT=|A|E等式两边取行列式得-|A| 2=|A|3，所以|A|=0 或|A|=-1当|A|=0 时，由-AA T=0 得 A=0(与已知矛盾)所以|A|=-1三、解答题(总题数：9，分数：105.00)15.求极限 （分数：9.00）_正确答案：(方法一：当 x0 时，1-cosx x2，sin 4xx 4，则方法二：(其中， )其中)解析：16.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：10.00）_正确答案：(本题求由参数确定的函数的极值、凹凸区间及拐点用参数方程的求导公式可得：令 ，得于是可得当 t=1 时，函数取得极小值
17、 ，当 t=1 时，函数取得极大值 y=1，t=0 对应 ，t0 对应 x( ，+)， 0，t0 对应 x(-， )， 0，因此，凸区间是(-， )，凹区间是( ，+)，拐点是( ， )解析：17.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 :y=y(x)与直线 y=x 相切于原点记 a 为曲线 在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：10.00）_正确答案：(本题求曲线表达式方法一：由题意可知：y(0)=0，y (0)=1， 由导数的几何意义知由以上两方程消去 a，可导出 y=y(x)满足的微分方程：对 两边对 x 求导得 ，将 代入得 显然此方程式为可降阶的二阶方程，令 ，得 对以上方程分离变量
18、得：两边积分得：由初始条件 y(0)=1 得 P(0)=1，代入上式得于是可知由 y(0)=0，对以上方程两边再积分得：方法二： 以 a 为参数，导出曲线 的参数方程 ，再消去 a 得 y=y(x)的表达式：由 可知 dy=da，y=a+C 1因 y=0 时 a= ，所以 C 1=- ，即有 y=a- 由 得 ，所以 x=In|sina|+C 2即有 sina=C 2ex由初始条件 a(0)= 可解得 ，于是，代入 y=a- 得 )解析：设曲线 L 的方程为 （分数：11.00）(1).求 L 的弧长；（分数：5.50）_正确答案：(设弧长为 S，由弧长的计算公式，得)解析：(2).设 D 是
19、由曲线 L，直线 x=1，x=e 及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标（分数：5.50）_正确答案：(由形心的计算公式，得)解析：18.设函数 u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 +确定 a，b 的值，使等式在变换 =x+ay，=x+by 下化简为 （分数：11.00）_正确答案：(u 是关于 x 和 y 的复合函数，根据已知条件可知：在变换 =x+ay 和 =x+by 下，u 将转换成变量 和 的函数根据复合函数求导的法则可知：，而 ，因此 ；对上面两个式子分别关于 x 和 y 进一步求偏导有：根据已知条件有：代入并化简，可得：进行变换之后，要使对于任意函数 u 都有 恒
20、成立，则有：求解这个方程组可以得到：当 a=b 时，8+12(a+b)+10ab=0，所以 ab因此 a=-2，b= 或者 a=- )解析：19.计算二重积分， ，其中 D=(r，)|0rsec，0 （分数：10.00）_正确答案：(题设中的积分选择了极坐标系，但是观察被积函数的形式，并不适合用极坐标系求解，先转换为直角坐标系，设 x=rcos，y=rsin，同时积分区域表示为D=(x，y)|0x1，0yx所以 这里的 计算不方便，观察其形式，采用换元法，设 x=sin，故对于三角函数的积分有以下公式所以 )解析：（分数：11.00）(1).证明方程 xn+xn-1+x=1(n 为大于 1 的
21、整数)在区间(*，1)内有且仅有一个实根；（分数：5.50）_正确答案：(令 fn(x)=x“+xn-1+x-1，则 f(1)=n-10，又 fn(x)在 ，1上连续，由连续函数的零点存在性定理知，f n(x)在区间( ，1)内至少存在一个零点又 fn(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+2x+10( x1)故 fn(x)在 ，1上单调递增，所以 fn(x)在区间( ，1)内只存在一个零点即方程 x“+xn-1+x=1(n 为大于 1 的整数)在区间( )解析：(2).中的实根为 xn，证明*存在，并求此极限（分数：5.50）_正确答案：(由 fn+1(x)=xn+1+fn(x)又因为 xn
22、为 fn(x)的实根，即 fn(xn)=0故fn+1(xn)=xnn+10又 f n+1( )0所以 fn+1(x)在( ，x n)内有唯一零点，记为 xn+1，则有 x n+1x n即数列x n单调下降且有下界，故由单调有界定理可知，极限存在不妨设 ，由 xnn+xnn-1+xn=1，即 等式两边同时取极限，可得 ，即 即 )解析：设矩阵 A= （分数：18.99）(1).求证|A|=(n+1)a n；（分数：6.33）_正确答案：(用数学归纳法，记 n 阶行列式|A|的值为 Dn=(n+1)a“当 n=1 时，D 1=2a，命题 Dn=(n+1)a“正确，当 n=2 时，D 2= =3a2
23、，命题正确，设 nk 时，D n=(n+1)an，命题正确当，n=k 时，按第一列展开，则有)解析：(2).a 为何值，方程组有唯一解，求 x1；（分数：6.33）_正确答案：(方程组有唯一解，则 r(A)=n，由克莱姆法则，|A|0，即 a0 时方程有唯一解，有： )解析：(3).a 为何值，方程组有无穷多解，求通解（分数：6.33）_正确答案：(方程组有无穷多解，则 r(A)n，故 a=0 时，方程有无穷多解)解析：设二次型f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 （分数：14.00）(1).证明二次型 f 对应的矩阵为 2aaT+ T；（分数：7.00）_正确答案：()解析：(2).若 a， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22（分数：7.00）_正确答案：(由于 a 与 正交，故 aT=0，因 a， 为单位向量，故A= )解析：
