1、考研数学二-190 及答案解析(总分：161.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x) （分数：4.00）A.B.C.D.2.当 x0 时， （分数：4.00）A.B.C.D.3.函数 z=(1+ey)cosx-yey极大值点的个数为_A1 B2 C3 D无穷多个（分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x，y)连续，则 _A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y)有连续的偏导数且 f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数 u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D
2、.6.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且 ABA-1=BA-1+3E，其中 E 为四阶单位矩阵，则矩阵 B 为_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 =a(1+cos)，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.函数 f(x)=x+2cosx 在0， （分数：4.00）填空项 1:_14.设 a=(1，1，1)
3、T，=(1，0，2)，若矩阵 a T相似于 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：105.00)15.求极限 （分数：10.00）_设直线 y=kx(k1)与曲线 y= （分数：11.00）(1).求走 k，使得 D1与 D2分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V1与 V2之和最小，并求最小值；（分数：5.50）_(2).求此时的 D1+D2（分数：5.50）_16.设 z=f(x+y，e y，xy)，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：10.00）_17.一新型传染病在某一人群中的传播是通过其中的感染者进行的，设该人群的总人数为 N，在 t=0 时
4、刻感染者人数为 x0在任意时刻 t 已感染者的人数为 x(t)(可视 x(t)为连续可微变量)其变化率与已感染者和未感染者人数之积成正比，比例常数 k0，求 x(t)（分数：10.00）_18.计算二重积 （分数：10.00）_19.设 y“+2my+n2y=0，y(0)=a，y (0)=b，求 （分数：10.00）_20.设函数 f(x)与 g(x)都在区间0，1上连续，在区间(0，1)内可导，且 f(0)=g(0)，f(1)=g(1)求证： (0， )与 ( （分数：11.00）_已知 A 是 24 阶矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2
5、，-1，3) T，又知齐次线性方程组 Bx=0 的基础解系是 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，a) T，（分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：5.50）_设二次型f(x1x2x3)=2x12+3x22+3x23+2ax2x3(a0)（分数：22.00）(1).若二次型通过正交变换的标准形为 y21+2y22+5y23，求参数 a；（分数：11.00）_(2).求将二次型化为标准形 y21+2y22+5y23所用正交变换矩阵（分数：11.00）_考研数学二-19
6、0 答案解析(总分：161.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 利用当|x|1 时， ，当|x|1 时， ，不难得出2.当 x0 时， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 f(x)和 g(x)为同阶无穷小，则极限 存在且不等于 0使 存在且不等于 0，必需满足 k-5=0，即 k=5此时，两者为同阶无穷小，且有 3.函数 z=(1+ey)cosx-yey极大值点的个数为_A1 B2 C3 D无穷多个（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由极限存在的必要条件，得 从而有
7、驻点(2n，0)，(2n+1)，-2)，n=0，1，又 ， ,4.设函数 f(x，y)连续，则 _A BC D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 ，则 D=D1D 2，如图和故 5.设 f(x，y)有连续的偏导数且 f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数 u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是_A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由已知得 du=f(x，y)ydx+f(x，y)xdy，所以 从而 由于它们均连续，所以 6.已知 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据常见不等式 ，容易验证数列x n，y n的单调性和有界性，从而得出结论
8、由已知易得 xn0，y n0，因为 所以 即数列x n单调递增，数列y n单调递减，又a=x1x 2x ny ny 1=b所以数列x n和数列y n都有界，根据“单调有界数列必收敛”准则，知 与 都存在，故排除选项 C 和 D下面讨论两个数列是否收敛于同一值设 ， ，由 ，有，即7.已知 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 Aa=a，则 A(ka)=(ka)，即若 a 是 A 属于特征值 的特征向量，则 ka(k0)仍是矩阵 A 属于特征值 的特征向量若 Aa1=a 1，Aa 2=a 2，则 A(ka1+ka2)=(ka 1+ka2)，即若 a1，a 2是 A 属于特征值 的特
9、征向量，则ka1+ka2(非零时)仍是 A 属于特征值 的特征向量注意：若 Aa1=a 1，Aa 2= 2a2， 1 2，则 a1+a2，a 1-a2等都不是矩阵 A 的特征向量所以 A、B、C 均正确，唯 D 中 a2+a3不再是矩阵 A 的特征向量，应选 D8.设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且 ABA-1=BA-1+3E，其中 E 为四阶单位矩阵，则矩阵 B 为_A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 方法一：因|A *|=|A|n-1，有|A| 3=8，得|A|=2又(A-E)BA -1=3E，有(A-E)B=3A，从而 A-1(A-E)B=3E，由此得(E-A -1
10、)B=3E，即 ，亦即(2E-A *)B=6E 又(2E-A*)为可逆矩阵，于是方法二：由|A *|=|A|n-1，得|A|=2又由 AA*=|A|E，对 ABA-1=BA-1+3E 先右乘 A，再左乘 A*，得A*AB=A*B+3A*A，|A|B=A *B+3|A|E即 (2E-A *)B=6E于是 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由 解得 t=1，所以 t=1 是点(0，0)对应的参数，则 ，从而法线的斜率为- 故法线方程为10.已知 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：令 t=x+1，则）解
11、析：11.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 (a)是一个累次积分，可写为二重积分其中，D:0y2a，0x ，如图，它是半圆域：x2+(y-a)2a 2，x0由二重积分中值定理， (，)D 使得(其中 D 的面积为 a 2)又 ln(1+a2)a 2(a0)，于是 ，其中 a0 时， 2+ 2012.设 =a(1+cos)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 将 =a(1+cos)，化为参数方程 ， 为参数x =-asincos-a(1+cos)sin=-a(sin+sin2)，y =-asin2+a(1+cos)cos=a(c
12、os+cos2)故 13.函数 f(x)=x+2cosx 在0， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因 f(x)=1-2sinx，令 f(x)=0 可得 sinx= ，即在(0， )，内 f(x)有唯一驻点 ，且 ，又在端点 x=0 和 x= 处 f(0)=2，f( )= 比较可得故 f(x)在0， 上的最小值为 f( )=14.设 a=(1，1，1) T，=(1，0，2)，若矩阵 a T相似于 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 因 a T相似于三、解答题(总题数：9，分数：105.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()
13、解析：设直线 y=kx(k1)与曲线 y= （分数：11.00）(1).求走 k，使得 D1与 D2分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V1与 V2之和最小，并求最小值；（分数：5.50）_正确答案：(由方程组 得直线与曲线交点为( )， 则 ，令因为 V“(k)0，所以函数 V(k)当 k= )解析：(2).求此时的 D1+D2（分数：5.50）_正确答案：(因为 所以此时 )解析：16.设 z=f(x+y，e y，xy)，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：10.00）_正确答案：(因此)解析：17.一新型传染病在某一人群中的传播是通过其中的感染者进行的，设该人群的总人
14、数为 N，在 t=0 时刻感染者人数为 x0在任意时刻 t 已感染者的人数为 x(t)(可视 x(t)为连续可微变量)其变化率与已感染者和未感染者人数之积成正比，比例常数 k0，求 x(t)（分数：10.00）_正确答案：(已感染者人数 x(t)的变化率即 ，由题意可建立初值问题把方程分离变量得积分可得 由初始条件确定 ，故所求函数为 )解析：18.计算二重积 （分数：10.00）_正确答案：(因 如图，用直线 y=-x+2，y=-x 将 D 分成 D1，D 2与 D3于是)解析：19.设 y“+2my+n2y=0，y(0)=a，y (0)=b，求 （分数：10.00）_正确答案：(特征方程为
15、 2+2m-n 2=0，得 1,2=-m 0，原方程的通解为 yC 1e 1x+C2e 2x，有，又由初始条件，有C1+C2=a， 1C1+ 2C2=b故 )解析：20.设函数 f(x)与 g(x)都在区间0，1上连续，在区间(0，1)内可导，且 f(0)=g(0)，f(1)=g(1)求证： (0， )与 ( （分数：11.00）_正确答案：(把 与 分离至等式两端可得对函数 F(x)=f(x)=g(x)应用拉格朗日中值定理，由于 F(x)在0， 上连续，在(0， 内可导，故存在 (0， )使得，即 又由于 F(x)在 ，1上连续，在 ，1)内可导，故存在 ( ，1)使得，即 将式与式相加，就
16、有 (0， )与 ( ，1)使得)解析：已知 A 是 24 阶矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) T，又知齐次线性方程组 Bx=0 的基础解系是 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，a) T，（分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：(记 C=( 1， 2)，由 AC=A( 1， 2)=0 知 CTAT=0，那么矩阵 AT的列向量(即矩阵 A 的行向量)是齐次方程组 CTx=0 的解，对 CT作初等变换，有得到 CTx=0 的基础解系为：a 1=(3，-1，1，0) T，a 2=(-5，
17、1，0，1) T所以矩阵 )解析：(2).如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：5.50）_正确答案：(设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为 ，则 既可由 1， 2线性表出，也可由 1， 2线性表出，故可设=x 1 1+x2 2=-x3 1-x4 2于是 x 1 1+x2 2+x3g3 1+x4 2=0对( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有0 x1，x 2，x 3，x 4不全为 0 秩( 1， 2， 1， 2)4 )解析：设二次型f(x1x2x3)=2x12+3x22+3x23+2ax2x3(a0)（分数：22.00）
18、(1).若二次型通过正交变换的标准形为 y21+2y22+5y23，求参数 a；（分数：11.00）_正确答案：()由已知条件，知其特征值为 1=1， 2=2， 3=5二次型矩阵 ，由特征多项式将 =1(或 =5)代入上式，得 a2-4=0，即 a=2因 a0 故 a=2，这时)解析：(2).求将二次型化为标准形 y21+2y22+5y23所用正交变换矩阵（分数：11.00）_正确答案：(当 1=1 时，解方程( 1E-A)x=0，得 1=(0，1，-1) T，当 2=2 时，解方程( 2E-A)x=0，得 2=(1，0，0) T，当 3=5 时，解方程( 3E-A)x=0，得 3=(0，1，1) T将 1， 2， 3单位化，得，故正交变换矩阵为)解析：
