1、考研数学二-189 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 (其中 a，b 为大于 0 的常数)，则必有_A 存在且不为 0 B 存在且不为 0C 存在且不为 0 D （分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处有 fx(x0，y 0)=a，f y(x0，y 0)=b，则_A极限 一定存在，但 f(x，y)在点(x 0，y 0)处不连续Bf(x，y)在点(x 0，y 0)处必连续C D 及 （分数：4.00）A.B.C.D.4.若 f(1)=g(
2、1)=0，f(2)=g(2)=m0，且 f“(x)0，g “(x)0，则 ， ， （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 处可导的充要条件为_A 存在 B 存在C 存在 D （分数：4.00）A.B.C.D.6. ，变换积分次序为_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 n 阶方阵 A=(a1，a 2，a n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组()：a1，a 2，a n，()： 1， 2， n，()： 1， 2， n如果向量组()线性无关，则_A向量组()与()线性相关 B向量组()可能线性相关C向量组()
3、可能线性相关 D向量组()与()线性无关（分数：4.00）A.B.C.D.8.三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.若函数 u=sin(y+3z),其中 z 是由方程 z2y-xz3=1 确定的 x，y 的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.函数 y=y(x)由方程 所确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 y“-9y=e3x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.A 和 B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知
4、2AB+A+4B=0，且 B= （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)连续，证明 ，并计算积分 （分数：11.00）_17.设 z=exy+ (xy， )，求 ，其中 （分数：10.00）_18.设区域 D 由曲线 y=-x3，直线 x=1 与 y=1 围成，计算二重积分 （分数：10.00）_19.设正值函数 y=f(x)(x0)连续可微，且 f(0)=1，已知曲线 y=f(x)与 x 轴，y 轴以及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧线长的值相同
5、，求 f(x)（分数：10.00）_20.设在区间a，b上，f “(x)0， ，试证：f(a+b)f(a) （分数：10.00）_设函数 f(x)在(-，)上连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)0（分数：11.00）(1).求证：任意给定的 0x，存在 01，使得*；（分数：5.50）_(2).求极限*（分数：5.50）_当 a，b 为何值时，方程组 （分数：11.01）(1).有唯一解?求出唯一解；（分数：3.67）_(2).无解；（分数：3.67）_(3).有无穷多解?并写出通解（分数：3.67）_设矩阵 A 与 B 相似，其中 A= ，B= （分数：11.00）(1).求 x，y 的
6、值；（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B（分数：5.50）_考研数学二-189 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 (其中 a，b 为大于 0 的常数)，则必有_A 存在且不为 0 B 存在且不为 0C 存在且不为 0 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 ，由 ，所以2.曲线 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因故 y=/4 是曲线的水平渐近线3.设函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处有 fx(x0，y 0)=a，f y(x0，y 0)=b，则_A极限 一定存在，
7、但 f(x，y)在点(x 0，y 0)处不连续Bf(x，y)在点(x 0，y 0)处必连续C D 及 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 fx(x0，y 0)存在即知一元函数 f(x，y 0)在 x=x0处连续，故 ，类似地，由fy(x0，y 0)存在即知一元函数 f(x0，y)在 y=y0处连续，故 ，即 D 正确或举反例用排除法取 f(x，y)= ，计算可得 fx(0，0)=f y(0，0)=0，同时可证明 存在，f(x，y)在点(0，0)连续，f(x，y)在点(0，0)处不可微分，这样可排除 A、C取4.若 f(1)=g(1)=0，f(2)=g(2)=m0，且 f“(x)
8、0，g “(x)0，则 ， ， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题可应用定积分的比较定理，或从定积分的几何意义出发比较 I1，I 2，I 3的大小思路一：因为 f“(x)0，g “(x)0，所以 f(x)是凹函数，g(x)是凸函数又因为 f(1)=g(1)=0，f(2)=g(2)=m0，所以 y=f(x)，y=g(x)，y=mx-m 在1，2上的大致图象如图，故当 x1，2时，f(x)mx-mg(x)，则有，即 I1I 2I 3，故选 C 思路二：可以证明若函数 F(x)满足条件 F(a)=F(b)=0，在a，b)上 F“(x)0，则有 F(x)0；若 F“(x)0，则 F(
9、x)0利用此结果，令F1(x)=g(x)-m(x-1)，F2(x)=f(x)-m(x-1)由以上结论有F1(x)0，F 2(x)0，因此 f(x)m(x-1)g(x)从而有5.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 处可导的充要条件为_A 存在 B 存在C 存在 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 注意到 1-cosh0 且 ，设 u=1-cosh，则故 A 只保证了 f+(0)存在，而不是 f(0)存在的充分条件由于 1-eh与 h 反号，故故左边存在保证右边存在，反之亦然，因此 B 是 f(0)存在的充要条件又 h-sinhh 3/6，得则 存在不能保证 存在，故 C
10、不对又 左边存在不能保证右边拆项后的极限存在，故 D 不正确，如：6. ，变换积分次序为_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由累次积分限确定积分区域 D 为：D:0xlny，1ye，如图，按先 y 后 x 的积分顺序，D:0x1，e xye于是 ，因此选 D7.设 n 阶方阵 A=(a1，a 2，a n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组()：a1，a 2，a n，()： 1， 2， n，()： 1， 2， n如果向量组()线性无关，则_A向量组()与()线性相关 B向量组()可能线性相关C向量组()可能线性相关 D向量组()与()线性
11、无关（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为向量组()线性无关，所以|AB|=|A|B|0，因此|A|，|B|都不为 0，即向量组()和()线性无关8.三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 r(A*)=1，则 r(A)=2，化简 则 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 10.若函数 u=sin(y+3z),其中 z 是由方程 z2y-xz3=1 确定的 x，y 的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：cos3）解析：解析 因所求为函数 u 在点(1，0)处对 x 的导
12、数，故应视 y=0，原函数关系变为 u=sin3z，且将y=0 代入方程 z2y-xz3=1 中得 z=-x-1/3，于是有11.函数 y=y(x)由方程 所确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 设则 故 12.微分方程 y“-9y=e3x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由特征方程为 r2=9，得 r1=3，r 2=-3，故 y“-9y=0 的通解为y1=c1e-3x+c2e3x由于非齐次方程右端的非齐次项为 e3x，指数上的 3 为特征方程的单根，故特解设为 y*=Axe3x，代入原方程，可得 A= ，因此原方程通解为
13、13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由 得 x=-3，当 x-3 时，y “0，当 x-3 时，y “0，又 y(-3)= ，y(-3)=故拐点处的切线方程为14.A 和 B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 2AB+A+4B=0，且 B= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为 2AB+A+4B=0则 A(2B+E)+2(2B+E)=2E，因此 (A+2E)(2B+E)=2E得 (A+2E) -1= (2B+E)三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：(由 得 所以-1-
14、a=O，从而有 a=-1由 ，得又 )解析：16.设函数 f(x)连续，证明 ，并计算积分 （分数：11.00）_正确答案：(要证 ，这等价于证明因为定积分的值与积分变量的记号无关，所以从而有 利用上述公式，)解析：17.设 z=exy+ (xy， )，求 ，其中 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：18.设区域 D 由曲线 y=-x3，直线 x=1 与 y=1 围成，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(用 y=x3(x0)分割区域，于是区域 D 可分为 D1，D 2，D 3，D 4四个部分，如图，D 1与 D2关于 y 轴对称，D 3与 D4关于 x 轴对称，注意其中被积
15、函数 xycos(x2+y2)+1关于 x 是奇函数，故它在 D1+D2上的积分为零，又因 ，其中第一个二重积分的被积函数 xycos(x2+y2)关于 y 是奇函数，故第一个二重积分也是零，其中第二个二重积分的被积函数 x 关于 y 是偶函数，故第二个二重积分可以化简，得综合得 )解析：19.设正值函数 y=f(x)(x0)连续可微，且 f(0)=1，已知曲线 y=f(x)与 x 轴，y 轴以及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧线长的值相同，求 f(x)（分数：10.00）_正确答案：(由题设所围成的图形面积为 ，而题设弧长为根据题意
16、有 两边对 x 求导得： ，又因为 f(0)=1所以 解得 上式取倒数得： 两式相加得所以 )解析：20.设在区间a，b上，f “(x)0， ，试证：f(a+b)f(a) （分数：10.00）_正确答案：(由泰勒公式有一得又由拉格朗日定理得 将代入得 因为 h0，f “(x)0， )解析：设函数 f(x)在(-，)上连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)0（分数：11.00）(1).求证：任意给定的 0x，存在 01，使得*；（分数：5.50）_正确答案：(方法一：记 ，则 F(x)在(-，)内可导，且 F(0)=0，F (x)=f(x)-f(-x)由拉格朗日中值定理得，对 x(0，)， (
17、01)使F(x)=F(x)-F(0)=F(x)x=xf(x)-f(-x)方法二：利用积分中值定理证明)解析：(2).求极限*（分数：5.50）_正确答案：(为利用 f(0)存在且不等于 0，给出 的表达式，将上式改写因为 所以 )解析：当 a，b 为何值时，方程组 （分数：11.01）(1).有唯一解?求出唯一解；（分数：3.67）_正确答案：()当 a2 且 b-1 时，方程组有唯一解 )解析：(2).无解；（分数：3.67）_正确答案：(当 a=2，b-1 时，r(A)=2，r(A)=3 方程组无解)解析：(3).有无穷多解?并写出通解（分数：3.67）_正确答案：(当 a=2，b=-1 时， ，特解为： 导出组的基础解系为： )解析：设矩阵 A 与 B 相似，其中 A= ，B= （分数：11.00）(1).求 x，y 的值；（分数：5.50）_正确答案：(因为 AB，所以 A 和 B 有相同的特征多项式从而|E-A|=|E-B|)解析：(2).求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B（分数：5.50）_正确答案：(可知A 的特征值为 1=-1， 2=2， 3=-2对应特征向量分别为x1=(0，2，-1) T，x2=(0，1，1) T，x 3=(1，0，-1) T则 P=(x1，x 2，x 3)= )解析：
