1、考研数学二-181 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 f(x)二阶可导， （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y 是由方程 所确定的 x 的函数，则 =_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是_Af(x 0，y)在 y=y0处导数为零 Bf(x 0，y)在 y=y0处导数大于零Cf(x 0，y)在 y=y0处导数小于零 Df(x 0，y)在 y=y0处导数不存在（分数：4.00）
2、A.B.C.D.5.设 （分数：4.00）A.B.C.D.6.微分方程 y“-y=ex+1 的一个特解应具有形式(式中 a、b 为常数)为_Aae x+b Baxe x+b Cae x+bx Daxe x+bx（分数：4.00）A.B.C.D.7.设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=0， 3=1，则下列结论不正确的是_A矩阵 A 不可逆B矩阵 A 的秩为零C特征值-1，1 对应的特征值向量正交D方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量（分数：4.00）A.B.C.D.8.设矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设方程 exy+
3、y2=cosx 确定 y 为 x 的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.函数 f(u，v)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.交换积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性（分数：
4、10.00）_17.已知 ，求 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)连续，且 ，已知 f(1)=1，求 （分数：10.00）_19.计算 （分数：11.00）_20.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：10.00）_（分数：11.00）(1).证明积分中值定理：设 f(x)在a，b上连续，则存在 a，b，使*=f()(b-a)；（分数：5.50）_(2).若 (x)有二阶导数，且满足 (2)(1)，*，证明至少存在一点 (1，3)，使得 “()0（分数：5.50）_21.设 4 维向量组 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a，3)
5、T， 4=(4，4，4，4+a) T，问 a 为何值时， 1， 2， 3， 4线性相关?当 1， 2， 3， 4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出（分数：11.00）_22.设矩阵 （分数：11.00）_考研数学二-181 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 利用函数在一点连续和可导的定义来判断解析 由 (无穷小量乘有界变量仍为无穷小量)且 f(0)=0，可知 ，即 f(x)在 x=0 处连续又由可知2.已知 f(x)二阶可导， （分数：
6、4.00）A.B.C.D. 解析：考点 单调性、有界性、连续性解析 由于极限存在，故3.设 y 是由方程 所确定的 x 的函数，则 =_A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的导数解析 方程两边对 x 求导得 eyy+sinx=0，故又由 得 ，故 ey-1-cosx=0 ey=1+cosx，则4.设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是_Af(x 0，y)在 y=y0处导数为零 Bf(x 0，y)在 y=y0处导数大于零Cf(x 0，y)在 y=y0处导数小于零 Df(x 0，y)在 y=y0处导数不存在（分数：4.00）A
7、. B.C.D.解析：考点 多元函数的概念解析 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则有 fx(x0，y 0)=0，f y(x0，y 0)=0，于是 f(x0，y)在y=y0处导数为零，选(A)5.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 题设条件是在一点的导数信息，应利用导数在一点的定义解析 因为 ，知6.微分方程 y“-y=ex+1 的一个特解应具有形式(式中 a、b 为常数)为_Aae x+b Baxe x+b Cae x+bx Daxe x+bx（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 微分方程的解解析 将 ex+1 看成 ex和 1 两个非齐次项
8、，因为 1 是特征根，所以对应于 ex特解为 axex，对应于 1 的特解为 b，因此原方程的特解为 axex+b(B)为答案7.设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=0， 3=1，则下列结论不正确的是_A矩阵 A 不可逆B矩阵 A 的秩为零C特征值-1，1 对应的特征值向量正交D方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 特征向量与特征值的性质解析 由 1=-1， 2=0， 3=1 得|A|=0，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1+ 2+ 3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A
9、 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)8.设矩阵 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵相似与合同解析 ，令二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设方程 exy+y2=cosx 确定 y 为 x 的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 利用隐函数的求导方法解析 等式两边同时对 x 求导得 exy(y+xy)+2yy=-sinx，解得10. （分数：4.00）
10、填空项 1:_ （正确答案：ln3）解析：考点 先拆项，再利用对称区间上奇、偶函数的积分性质即可解析 11.函数 f(u，v)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 复合函数的偏导数解析 由已知关系式 fxg(y)，y=x+g(y)两边对 x 求二次偏导，有fug(y)=1， (1)f“uug(y)2=0 (2)由已知 g(y)0，所以 f“uu=0，在(1)式两边对 y 求一次偏导，有fug(y)+f“uuxg(y)+f“uv1g(y)=0将 f“uu=0 代入上式，得 fug(y
11、)+f“uvg(y)=0，从而 ，所以12.交换积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 累次积分、交换积分次序解析 由题设，设原积分中两部分的积分区域分别如图所示，13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：考点 函数的连续性解析 因为 ，xln(1+x)x 2，且14.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 矩阵的秩解析 矩阵 ，所以三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(令 ，则 ，而，根据夹逼定理， )解析：考点 数列的极限、16.设函数 y=y(x)由
12、方程 ylny-x+y=0 确定，判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性（分数：10.00）_正确答案：(对方程 ylny-x+y=0 两边求导得ylny+y-1+y=0，即 再求一次导得 在点(1，1)处 )解析：考点 曲线的凹凸性17.已知 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(利用求复合函数偏导的方法，得再对 y 求偏导数，有)解析：考点 复合函数的偏导数18.设函数 f(x)连续，且 ，已知 f(1)=1，求 （分数：10.00）_正确答案：(题设所给变上限定积分中含有参数 x，因此令 u=2x-t，则 du=-dt，从而有 ，两边对 x 求导得 ，即 在此式中令 x=1，
13、则 ，所以 )解析：考点 变上限定积分求导、定积分的计算19.计算 （分数：11.00）_正确答案：(令 D1=(x，y)|-1x1，0yx 2，D 2=(x，y)|-1x1，x 2y2则 )解析：考点 二重积分20.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：10.00）_正确答案：(由题设表达式，因为 ，但原式极限 c0，因此分母极限(x0)也为 0，即 ，从而 ，当 b0 时，t(0，b)，则 ，因而 当 b0 时，tmax(-1，b)，0，则 ，因而 ，综上 b=0于是原式= ，又由于 ，因此必有 ，即 a=1，从而所以 ，综上 a=1，b=0， )解析：考点 变上限定积分求导、洛必迭法则
14、、等价无穷小（分数：11.00）(1).证明积分中值定理：设 f(x)在a，b上连续，则存在 a，b，使*=f()(b-a)；（分数：5.50）_正确答案：(设 M 和 m 分别是连续函数 f(x)在区间a，b(ba)上的最大值和最小值，则有 不等式两边同除以(b-a)，得到 显然 是介于函数 f(x)的最大值和最小值之间的，根据闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间a，b上至少存在一点 ，使得函数 f(x)在该点处的函数值和 相等，即 ，等式两边同乘以(b-a)可得 )解析：(2).若 (x)有二阶导数，且满足 (2)(1)，*，证明至少存在一点 (1，3)，使得 “()0（分数：5.50）
15、_正确答案：(由积分中值定理可得，至少存在一点 (2，3)，使得 又 ，所以有 (2)(1)，(2)()因为 (x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点 1(1，2)，使得 ；且至少存在一点 2(2，)，使得 再由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点 ( 1， 2)，使得 )解析：考点 积分中值定理21.设 4 维向量组 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a，3)T， 4=(4，4，4，4+a) T，问 a 为何值时， 1， 2， 3， 4线性相关?当 1， 2， 3， 4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量
16、用该极大线性无关组线性表出（分数：11.00）_正确答案：(对( 1， 2， 3， 4)作初等行变换，有若 a=0，则秩 r( 1， 2， 3， 4)=1， 1， 2， 3， 4线性相关可取极大线性无关组为 a1，且 2=2 1， 3=3 1， 4=4 1由于 a0，继续作初等行变换有)解析：考点 用秩的方法判断线性相关性22.设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(由题设，A *= 0，由公式 AA*=|A|E=-E，则AA*= 0A -= 0A，从而 ，写成方程组的形式如下：联立(1)式和(3)式可解得 0=1将 0=1 代入(1)式和(2)式，得 a=c，b=-3又由已知|A|=-1，则 )解析：考点 特征值、特征向量、伴随矩阵
