1、考研数学二-175 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f“(x)0，且 f(1)=f(1)=1，则_A在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xB在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)xD在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)x（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)=ex+sinx-1，则当 x0 时_Af(x)是 x 等价无穷小 Bf(x)与 x 是同阶但非等价无穷小Cf(x
2、)比 x 更高阶的无穷小 Df(x)是比 x 较低阶的无穷小（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，其中 a 是比 x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则y(1)=_A B2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a-，a+ 时，必有_A(x-a)f(x)-f(a)0 B(x-a)f(x)-f(a)0C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.曲线 （
3、分数：4.00）A.B.C.D.7.如果向量 可以由向量组 1， 2， s线性表示，则_A存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s使 =k 1 1+k2 2+ks s成立B存在一组全为零的数 k1，k 2，k s使 =k 1 1+k2 2+ks s成立C存在一组数 k1，k 2，k s使 =k 1 1+k2 2+ks s成立D对 的线性表达式唯一（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 1， 2是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2分别是 A 的属于 1， 2的特征向量，则_A 1= 2时， 1与 2必成比例 B 1= 2时， 1与 2必不成比例C 1 2时， 1与 2必成比例 D 1 2
4、时， 1与 2必不成比例（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.由方程 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.极限 （分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 3 阶方阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2都是 3 维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：
5、10.00）_16.求微分方程 y“+2y-3y=e-3x的通解（分数：10.00）_17.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 （分数：11.00）_18.如果 ，证明： （分数：10.00）_19.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求 （分数：10.00）_20.计算 （分数：10.00）_21.已知 f“(x)0，f(0)=0，试证：对任意的两正数 x1和 x2，恒有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)成立（分数：11.00）_22.设 A 为 n 阶方阵，A *为 A
6、 的伴随矩阵，且 A110，证明：方程组 Ax=b(b0)有无穷多解的充要条件中b 为 A*x=0 的解（分数：11.00）_23.已知 1=6， 2= 3=3 是实对称矩阵 A 的三个特征值且对应于 2= 3=3 的特征向量为 2=(-1，0，1) T， 3=(1，-2，1) T，求 A 对应于 1=6 的特征向量及矩阵 A（分数：11.00）_考研数学二-175 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f“(x)0，且 f(1)=f(1)=1，则_A在(1-，1)和(1，1+)内
7、均有 f(x)xB在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)xD在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)x（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 函数单调性、函数的极值解析 设 (x)=f(x)-x，则 (x)=f(x)-1，“(x)=f“x)，由 f“(x)0 得 “(x)0，故 (x)单调减少，则当 x1 时，(x)(1)=f(1)-1=0，当 x1 时，(x)(1)=0，则 (x)在 x=1 处取得极大值，当 x(1-，1)(1，1+)时 (x)(1)=f(1)-1=0，即 f(x)x选(A)2.设 f
8、(x)=ex+sinx-1，则当 x0 时_Af(x)是 x 等价无穷小 Bf(x)与 x 是同阶但非等价无穷小Cf(x)比 x 更高阶的无穷小 Df(x)是比 x 较低阶的无穷小（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 等价无穷小解析 因为3.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的极限解析 而 ，所以4.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，其中 a 是比 x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则y(1)=_A B2 C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 导数定义、微分方程解析 由题
9、设， ，且 是比 x(x0)高阶的无穷小从而 ，即 ，此为可分离变量的微分方程，则 ，两边积分得 ln|y|=arcsinx+C由已知 y(0)=，代入上式解得 C=ln，于是 y=e arcsinx，因此5.设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a-，a+ 时，必有_A(x-a)f(x)-f(a)0 B(x-a)f(x)-f(a)0C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 极值点解析 由题设连续性及 f(a)为极大值知(x-a)f(x)-f(a)在 x=a 左右两侧变号，从而(A)、(B)都可排除，当 xa 时， ，由于 f(
10、a)在 x=a 点为极大值，且 f(x)在 x=a 的小邻域内连续，则存在 0，当 x(a-，a+)时，6.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 曲线的渐近线解析 ，则 x=0 是曲线的垂直渐近线；，则 y=0 是曲线的水平渐近线；7.如果向量 可以由向量组 1， 2， s线性表示，则_A存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s使 =k 1 1+k2 2+ks s成立B存在一组全为零的数 k1，k 2，k s使 =k 1 1+k2 2+ks s成立C存在一组数 k1，k 2，k s使 =k 1 1+k2 2+ks s成立D对 的线性表达式唯一（分数：4.00）A. B.C.D
11、.解析：考点 向量线性表示解析 由向量线性表示的定义知选(A)8.设 1， 2是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2分别是 A 的属于 1， 2的特征向量，则_A 1= 2时， 1与 2必成比例 B 1= 2时， 1与 2必不成比例C 1 2时， 1与 2必成比例 D 1 2时， 1与 2必不成比例（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 特征值、特征向量解析 当 1= 2时，它们为 A 的重数大于或等于 2 的特征值，其对应的线性无关的特征向量的个数可能大于 1，也可能等于 1，所以不能选 A、B当 1 2时，由于应于不同特征值的特征向量必线性无关，所以 1与 2必不成比例，故选(D
12、)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 含有参数的复合函数求导数解析 由参数式求导公式得 ，再对 x 求导，由复合函数求导法得10.由方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 隐函数的全微分解析 这是求隐函数在某点的全微分这里点(1，0，-1)的含意是 z=z(1，0)=-1将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性得 再由全微分四则运算法则得 令 x=1，y=0，z=-1，得 ，即11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 函数的极限、广义积分解析 可得12.
13、极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 数列的极限解析 原式13.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 一阶线性微分方程解析 将原方程变形为 ，即 ，积分得 因为 ，得 C=0，所以14.设 3 阶方阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2都是 3 维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：63）解析：考点 方阵、向量的计算解析 因 5A-2B=5(， 1， 2)2(， 1， 2)=(5-2，3 1，3 2)故|5A-2
14、B|=|5-2 3 1 3 2|=9|5 1 2|-|2 1 2|=9(5|A|-2|B|)=9(53-24)=63三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：考点 函数的极限16.求微分方程 y“+2y-3y=e-3x的通解（分数：10.00）_正确答案：(这是常系数的二阶线性非齐次方程特征方程 r2+2r-3=(r-1)(r+3)=0的两根为 r1=1，r 2=-3；由右边 ex ，=-3=r 2为单特征根，故非齐次方程有特解 Y=xae-3x，代入方程可得 因而所求通解为 )解析：考点 微分方程的通解17.设函数 f(x)，g(x)
15、满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 （分数：11.00）_正确答案：(由 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)，得 f“(x)=2ex-f(x)于是有 解方程得 f(x)=sinx-cosx+ex)解析：考点 解函数方程18.如果 ，证明： （分数：10.00）_正确答案：(设 f(x)=tanx，则 f(x)在区间，上连续，在(，)内可导，且 ，因 f(x)在区间，上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知， (，)使 ，即又因 cosx 在区间 内单调减少，故 则 )解析：考点 拉格朗日中值定理19.设 z=f(2
16、x-y，ysinx)，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求 （分数：10.00）_正确答案：(令 u=2x-y，v=ysinx，则 z=f(u，v)，)解析：考点 隐函数的二阶偏导数20.计算 （分数：10.00）_正确答案：(分子、分母同乘以某一三角函数)解析：考点 本题主要考查三角函数有理式不定积分的计算技巧和方法，由于三角函数的变形公式非常多，相应地本题也有多种解法21.已知 f“(x)0，f(0)=0，试证：对任意的两正数 x1和 x2，恒有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)成立（分数：11.00）_正确答案：(令 F(x)=f(x+x2)-f(x)-f(x2)，则 F(x)=f
17、(x+x2)-f(x)=x2f“(x+x 2)0(01)可见 F(x)单调减少，又 x10，故 F(x1)F(0)，即 f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)0，也即 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)解析：考点 本题是不等式证明题，一种考虑是作辅助函数，通过参数变易，比如将 x1换为未知变量x，从而得到辅助函数；另一种考虑是，要证的不等式可表示为两点的函数值之差，自然联想到用拉格朗日中值定理进行分析22.设 A 为 n 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，且 A110，证明：方程组 Ax=b(b0)有无穷多解的充要条件中b 为 A*x=0 的解（分数：11.00）_正确答案：(必要性：
18、Ax=b 有无穷多解，r(A)n，即|A|=0，有 A*b=A*Ax=|A|x=0，即 b 是 A*x=0 的解充分性：b 为 A*x=0 的解，即 A*x=0 有非零解r(A *)n又 A10，r(A *)=1，r(A)=n-1同时由 A*A=|A|E=0，A *b=0，令 A=( 1， 2， n)，则 1， 2， n是 A*x=0 的解，A 110， 1， 2， n线性无关， 2， 3， n是方程组 A*x=0 的基础解系，b 可由 2， 3， n线性表示，即 b 可由 1， 2， 3， n线性表示，Ax=b 有解，又 r(A)=n-1，Ax=b 有无穷多解)解析：考点 伴随矩阵的计算23
19、.已知 1=6， 2= 3=3 是实对称矩阵 A 的三个特征值且对应于 2= 3=3 的特征向量为 2=(-1，0，1) T， 3=(1，-2，1) T，求 A 对应于 1=6 的特征向量及矩阵 A（分数：11.00）_正确答案：(这是已知全部特征值和部分特征向量反求矩阵 A 的问题关键在于利用已知条件中 A 为对称矩阵，而对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，依此即可求解设 A 对应于 1=6 的特征向量是 1=x1，x 2，x 3T，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交，故有 ，即解得 x1=x2=x3，取 1=(1，1，1) T即是矩阵 A 属于 1=6 的特征向量进一步，由 A( 1， 2， 3)=( 1 1， 2 2， 3 3)，得所以 )解析：考点 特征值、特征向量
