1、考研数学二-174 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)为 R 上不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0，已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是_A若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0 B若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0C若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0 D若 fx(x0，y 0)0，
2、则 fy(x0，y 0)0（分数：4.00）A.B.C.D.3.设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是_ACy 1(x)-y2(x) By 1(x)+Cy1(x)-y2(x)CCy 1(x)+y2(x) Dy 1(x)+Cy1(x)+y2(x)（分数：4.00）A.B.C.D.4.设f(x)dx=x 2+C，则xf(1-x 2)dx 等于_A B （分数：4.00）A.B.C.D.5.当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则_Aa=1， Ba=1，Ca=-1， D
3、a=-1， （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 g(x)可微，h(x)=lng(x)，h(1)=1，g(1)=2，则 g(1)等于_Ae B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C，记（分数：4.00）A.B.C.D.8.设向量组 1，2，3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是_A 1+ 2， 2+ 3， 3- 1B 1+ 2， 2+ 3， 1+2 2+ 3C 1+2 2，2 2+3 3，3 3+ 1D 1+ 2+ 3，2 1-3 2+2 3，3 1+5
4、 2+3 3（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 y“+y=-2x 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.在曲线 y=(x-1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，其中 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题
5、数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.计算 （分数：10.00）_17.设函数 （分数：10.00）_18.设 ，求 （分数：10.00）_19.从点 P1(1，0)作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x2于点 Q1(1，1)，再从 Q1作这条抛物线的切线与 x 轴交于P2，然后又从 P2作 x 轴的垂线，交抛物线于点 Q2，依次重复上述过程得到一系列的点P1，Q 1，P 2，Q 2，P n，Q n，求 （分数：11.00）_20.设 f(x)在0，1上二阶可导且 f“(x)0，证明： （分数：10.00）_21.计算 ，其中 D 是曲线 （分数：11.00）_22.
6、考虑二次型 （分数：11.00）_设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T是线性方程组Ax=0 的两个解（分数：11.01）(1).求 A 的特征值与特征向量；（分数：3.67）_(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A；（分数：3.67）_(3).求 A 及*，其中 E 为三阶单位矩阵（分数：3.67）_考研数学二-174 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)为 R 上不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 （分数：4.00）A.
7、B.C.D. 解析：考点 极限、间断点解析 由题设，f(-x)=-f(x)，则有 f(0)=0，从而2.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0，已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是_A若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0 B若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0C若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0 D若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 二元函数条件极值问题解析 依题意知(x 0，y
8、0)是拉格朗日函数，F(x，y，)=f(x，y)+(x，y)的驻点，即(x 0，y 0)使得因为 y(x0，y 0)0，所以从(2)式可得 ，代入(1)式得3.设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是_ACy 1(x)-y2(x) By 1(x)+Cy1(x)-y2(x)CCy 1(x)+y2(x) Dy 1(x)+Cy1(x)+y2(x)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 一阶线性微分方程解的叠加原理及通解结构解析 根据已知条件及线性微分方程解的叠加原理，y 1(x)-y2(x)是齐次线性微分方程 y
9、+P(x)y=0 的一个非零解，又 y1(x)是原非齐次线性微分方程的一个特解，进而由线性方程通解的结构可知 y1(x)+Cy1(x)-y2(x)是原非齐次线性微分方程的通解，其中 C 为任意常数故选(B)4.设f(x)dx=x 2+C，则xf(1-x 2)dx 等于_A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 不定积分解析 5.当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则_Aa=1， Ba=1，Ca=-1， Da=-1， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 等价无穷小解析 则 a3=-6b，故选项(B)、(C)错误再由 存
10、在，应有 1-acosax0(x0)，故 a=1，(D)错误，所以选(A)6.设函数 g(x)可微，h(x)=lng(x)，h(1)=1，g(1)=2，则 g(1)等于_Ae B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 求导数解析 由已知条件有 令 x=1，得 ，即7.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C，记（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 初等矩阵的运算解析 根据已知条件，用初等矩阵描述有8.设向量组 1，2，3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是_A 1+ 2， 2+ 3，
11、 3- 1B 1+ 2， 2+ 3， 1+2 2+ 3C 1+2 2，2 2+3 3，3 3+ 1D 1+ 2+ 3，2 1-3 2+2 3，3 1+5 2+3 3（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 线性无关性解析 由题设，观察四个选项：关于(A)，由于( 1+ 2)-( 2+ 3)+( 3- 1)=0，则 1+ 2， 2+ 3， 3- 1线性相关关于(B)，由于( 1+ 2)+( 2+ 3)-( 1+2 2+ 3)=0，则 1+ 2， 2+ 3， 1+2 2+ 3也线性相关关于(C)，由定义，设有一组数 k1，k 2，k 3，使得 k1( 1+2 2)+k2(2 2+3 3)+k
12、3(3 3+ 1)=0即(k 1+k3) 1+(2k1+2k2) 2+(3k2+3k3) 3=0，由已知 1， 2， 3线性无关，则该方程组的系数矩阵的行列式为二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 数列的极限解析 由题设，原式=10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 复合函数求偏导数解析 利用复合函数求偏导的方法，得于是11.微分方程 y“+y=-2x 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=c 1cosx+c2sinx-2x）解析：考点 二阶常系数微分方程的
13、解法解析 特征方程 2+1=0，=i，于是齐次方程通解为12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 二重积分解析 ，其中 D1=(x，y)|0x1，0y1-x，而 ，因此13.在曲线 y=(x-1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 微积分的几何应用解析 过曲线 y=(x-1)2上点(2，1)的法线方程为 ，该法线与 x 轴的交点为(4，0)，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所
14、得的几何体的体积为14.设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，其中 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 矩阵方程解析 由已知 ，则|A|=-20，由公式 AA*=A*A=|A|E 化简矩阵方程 A*BA=2BA-8E，即分别以 A 左乘该方程，以 A-1右乘该方程得-2B=2AB-8E，从而 2(A+E)B=8E即(A+E)B=4E，因此 B=4(A+E)-1，其中 ，则三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(因为 ，所以 )解析：考点 数列的极限16.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 不定
15、积分17.设函数 （分数：10.00）_正确答案：(因为而 f(1)=1，故 ，所以函数在 x=1 处不连续，若令 )解析：考点 先求极限18.设 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(按照复合函数偏导的方法，得再对 y 求偏导数，有 )解析：考点 复合函数求偏导数19.从点 P1(1，0)作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x2于点 Q1(1，1)，再从 Q1作这条抛物线的切线与 x 轴交于P2，然后又从 P2作 x 轴的垂线，交抛物线于点 Q2，依次重复上述过程得到一系列的点P1，Q 1，P 2，Q 2，P n，Q n，求 （分数：11.00）_正确答案：(依题意画图(如图)由 y=x2得
16、y=2x，任给 a(0a1)，抛物线 y=x2在点(a，a 2)处的切线方程为 y-a2=2a(x-a)，该切线与 x 轴的交点为(a/2，0)，因此由 ，可知 ，以此类推，知 )解析：考点 切线方程20.设 f(x)在0，1上二阶可导且 f“(x)0，证明： （分数：10.00）_正确答案：(由泰勒公式得 ，其中 介于 与 t 之间，从而 ，积分得 )解析：考点 用勒公式证明积分不等式21.计算 ，其中 D 是曲线 （分数：11.00）_正确答案：(令 ，则 )解析：考点 用极坐标法计算二重积分22.考虑二次型 （分数：11.00）_正确答案：(二次型 f 的矩阵为 ，二次型 f 正定的充分
17、必要条件是：A 的顺序主子式全为正，事实上，A 的顺序主子式为：D 1=10， ，于是，二次型 f 正定的充分必要条件是 D20，D 30由 D2=4- 20 得-22，由 D3=-4(-1)(+2)0 得-21于是，二次型 f 正定当且仅当-21 )解析：考点 利用顺序主子式来判定设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T是线性方程组Ax=0 的两个解（分数：11.01）(1).求 A 的特征值与特征向量；（分数：3.67）_正确答案：(依题意，因为 )解析：(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A；（分数：3.67）_正确答案：(由于 1， 2不正交，所以要做 Schmidt 正交化： 1= 1=(-1，2，-1) T，单位化，令 ，则 )解析：(3).求 A 及*，其中 E 为三阶单位矩阵（分数：3.67）_正确答案：(由 A( 1， 2，)=(0，0，3)，有记 ，则 ，将其记为 1，其中 P=( 1， 2，)，所以 )解析：考点 矩阵的特征值和特征向量、对角矩阵、相似矩阵
