1、考研数学二-173 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)的导数在 x=a 处连续,又 (分数:4.00)A.B.C.D.2.设 (分数:4.00)A.B.C.D.3.设 (分数:4.00)A.B.C.D.4.设 f(x)为连续函数, (分数:4.00)A.B.C.D.5.矩形闸门宽 a 米,高度 h 米,垂直放在水中,上边与水面相齐,闸门压力为_A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.6.设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y-ex=0 的解,且 f(x0)=0,则 f(x)在_Ax 0的某个邻域内单调增加
2、 Bx 0的某个邻域内单调减少Cx 0处取得极小值 Dx 0处取得极大值(分数:4.00)A.B.C.D.7.设 A 为 n 阶非零矩阵,E 为 n 阶单位矩阵若 A3=O,则_AE-A 不可逆,E+A 也不可逆 BE-A 不可逆,E+A 可逆CE-A 可逆,E+A 也可逆 DE-A 可逆,E+A 不可逆(分数:4.00)A.B.C.D.8.设向量 可由向量组 1, 2, m线性表示,但不能由向量组() 1, 2, m-1线性表示,记向量组() 1, 2, m-1,则_A m不能由()线性表示,也不能由()线性表示B m不能由()线性表示,但可能由()线性表示C m可由()线性表示,也可由()
3、线性表示D m可由()线性表示,但不可由()线性表示(分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 (分数:4.00)填空项 1:_10.设 ,则 (分数:4.00)填空项 1:_11. (分数:4.00)填空项 1:_12.改变积分次序 (分数:4.00)填空项 1:_13.设 f(x)连续可导,f(0)=0 且 f(0)=b,若 (分数:4.00)填空项 1:_14.设 A 为 m 阶方阵,B 为 n 阶方阵,且|A|=a,|B|=b, (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求极限 (分数:9.00)_16.设
4、,求 dz 与 (分数:10.00)_17.设 A 从原点出发,以固定速度 v0沿 y 轴正向行驶,B 从(x 0,0)出发(x 00),以始终指向点 A 的固定速度 v1朝 A 追去,求 B 的轨迹方程(分数:11.00)_设 f(x)在区间0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=f(1)=0, ,试证:(分数:10.00)(1).存在*,使 f()=;(分数:5.00)_(2).对任意实数 ,必存在 (0,),使得 f()-f()-=1(分数:5.00)_18.计算二重积分 ,其中 D 是由直线 x=-2,y=0,y=2 以及曲线 (分数:10.00)_19.设 f(x)在(-,+
5、)上有定义,且对任意的 x,y(-,+)有|f(x)-f(y)|x-y|证明:(分数:11.00)_20.设 z=f(x2+y2,xy,x),其中厂(u,v,)二阶连续可偏导,求 (分数:11.00)_设 A 为 3 阶矩阵, 1, 2为 A 的分别属于特征值-1、1 的特征向量,向量 3满足 A 3= 2+ 3,(分数:11.00)(1).证明 1, 2, 3线性无关;(分数:5.50)_(2).令 P=( 1, 2, 3),求 P-1AP(分数:5.50)_21.已知对于 n 阶方阵 A,存在自然数 k,使得 Ak=0,试证明矩阵 E-A 可逆,并求出逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位矩阵)
6、(分数:11.00)_考研数学二-173 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)的导数在 x=a 处连续,又 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 极值点、拐点解析 由题设, ,则 又因为 f(x)在 x=a 处导数连续,则 f(a)=0,即 x=a 是 f(x)的驻点又由2.设 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 题设条件是在一点的导数信息,应利用导数在一点的定义解析 因为 ,知3.设 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点 可考虑用洛必达法则或泰勒公式解析 用洛必达法则,有于是,必有 1-
7、a=0,即 a=1从而4.设 f(x)为连续函数, (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 二重积分解析 利用分部积分法,得5.矩形闸门宽 a 米,高度 h 米,垂直放在水中,上边与水面相齐,闸门压力为_A B C D (分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点 定积分在物理中的应用解析 取x,x+dx 0,h,dF=1xadx=axdx,6.设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y-ex=0 的解,且 f(x0)=0,则 f(x)在_Ax 0的某个邻域内单调增加 Bx 0的某个邻域内单调减少Cx 0处取得极小值 Dx 0处取得极大值(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点
8、将 f(x0)=0 代入方程,得 f“(x0)的符号,从而由极值的充分条件得选项解析 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)-ex=0,所以有7.设 A 为 n 阶非零矩阵,E 为 n 阶单位矩阵若 A3=O,则_AE-A 不可逆,E+A 也不可逆 BE-A 不可逆,E+A 可逆CE-A 可逆,E+A 也可逆 DE-A 可逆,E+A 不可逆(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 矩阵的可逆性解析 由 A3=O 可得E-A3=(E-A)(E+A+A2)=E 和 E+A3=(E+A)(E-A+A2)=E显然|E-A|0,|E+A|0,所以 E-A 和层+A 均可逆故应选(C)8.设向量 可
9、由向量组 1, 2, m线性表示,但不能由向量组() 1, 2, m-1线性表示,记向量组() 1, 2, m-1,则_A m不能由()线性表示,也不能由()线性表示B m不能由()线性表示,但可能由()线性表示C m可由()线性表示,也可由()线性表示D m可由()线性表示,但不可由()线性表示(分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 线性表示解析 由题设, 可由向量组 1, 2, m线性表示,则存在一组数 k1,k 2,k m,使 =k 1 1+k2 2+km m,但是 不能由 1, 2, m-1线性表示,从而 km0,因此二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 (分数:4
10、.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 高阶导数解析 ,于是f(x)=2(-1)(1+x)-2,f“(x)=2(-1)(-2)(1+x)-3,10.设 ,则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 分段函数、定积分解析 由题设,11. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 广义积分解析 由题设原积分=12.改变积分次序 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 交换积分次序计算二重积分解析 13.设 f(x)连续可导,f(0)=0 且 f(0)=b,若 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:a+b)解析:考点
11、 函数的连续性解析 14.设 A 为 m 阶方阵,B 为 n 阶方阵,且|A|=a,|B|=b, (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:(-1) mnab)解析:考点 可利用拉普拉斯定理或行列式的性质进行求解解析 利用拉普拉斯展开定理,行列式 的 n 阶子式|B|的代数余子式为(-1)(m+1)+(m+2)+(m+n)+1+2+n|A|=(-1)mn|A|,由拉普拉斯展开定理有三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求极限 (分数:9.00)_正确答案:( )解析:考点 变上限定积分求导、洛必达法则、等价无穷小16.设 ,求 dz 与 (分数:10.00)_正确答案:(由题设,
12、从而)解析:考点 二元函数的全微分、二阶编导数17.设 A 从原点出发,以固定速度 v0沿 y 轴正向行驶,B 从(x 0,0)出发(x 00),以始终指向点 A 的固定速度 v1朝 A 追去,求 B 的轨迹方程(分数:11.00)_正确答案:(设 t 时刻 B 点的位置为 M(x,y),则 ,即(1)(2)两边对 x 求导,得 ,代入(2)式,得 ,令 ,则令 y=p,由 ,得两边积分,得 ,由 y(x0)=0,得 ,从而 当 k1 时,由 y(x0)=0,得 ,则 B 的轨迹方程为当 k=1 时,B 的轨迹方程为 )解析:考点 微分方程的应用设 f(x)在区间0,1上连续,在(0,1)内可
13、导,且 f(0)=f(1)=0, ,试证:(分数:10.00)(1).存在*,使 f()=;(分数:5.00)_正确答案:(由题设,引入辅助函数 (x)=x-f(x),则 (x)在0,1上连续,由已知条件 f(1)=0 及,知 (1)=1-f(1)=10 且 ,所以由闭区间上连续函数的介值定理知存在一点 ,使得()=0,即 -f()=0,因此存在 ,使 f()=,证毕 )解析:(2).对任意实数 ,必存在 (0,),使得 f()-f()-=1(分数:5.00)_正确答案:(引入辅助函数,由原函数法将所需证明的等式中的 改写为 x,有 f(x)-f(x)-x=1,且 f(x)-f(x)=1-x由
14、一阶线性非齐次微分方程的通解公式得:f(x)=ex C+e -dx (1-x)dx=e x C+e -x (1-x)dx=ex C+e -x dx-xe -x dx=ex C+xe-x =Cex +x,所以f(x)-xe -x =C,至此可令辅助函数为 g(x)=f(x)-xe-x =-(x)e -x ,由已知条件及()中结论,知 g(x)也是连续函数,且 g(0)=f(0)-0e0=0,g()=-()e - =0由罗尔定理知存在一点 (0,),使得 g()=0,又 g(x)=-e -x f(x)-x+e-x f(x)-1,所以-f()-+f()-1=0此即 f()-f()-=1证毕)解析:考
15、点 介值定理、罗尔定理18.计算二重积分 ,其中 D 是由直线 x=-2,y=0,y=2 以及曲线 (分数:10.00)_正确答案:(由题设,积分区域 D 如图阴影所示,其在 D1为辅助性半圆形区域,从而其中对于 可采用极坐标计算,即综上, )解析:考点 二重积分19.设 f(x)在(-,+)上有定义,且对任意的 x,y(-,+)有|f(x)-f(y)|x-y|证明:(分数:11.00)_正确答案:(因为 ,所以 )解析:考点 积分不等式20.设 z=f(x2+y2,xy,x),其中厂(u,v,)二阶连续可偏导,求 (分数:11.00)_正确答案:()解析:考点 二元函数的偏导数设 A 为 3
16、 阶矩阵, 1, 2为 A 的分别属于特征值-1、1 的特征向量,向量 3满足 A 3= 2+ 3,(分数:11.00)(1).证明 1, 2, 3线性无关;(分数:5.50)_正确答案:(假设 1, 2, 3线性相关,则 3可由 1, 2线性表出,可设 3=k1 1+k2 2,其中k1,k 2不全为 0,否则由等式 A 3= 2+ 3得到 2=0,不符合题设因为 1, 2为矩阵 A 的分别属于特征值-1,1 的特征向量,所以 A 1=- 1,A 2= 2,则 A 3=A(k1 1+k2 2)=-k1 1+k2 2= 2+k1 1+k2 2等式中 1, 2的对应系数相等,即 )解析:(2).令
17、 P=( 1, 2, 3),求 P-1AP(分数:5.50)_正确答案:(因为 1, 2, 3线性无关,所以矩阵 P=( 1, 2, 3)可逆,由于 ,等式两边同时左乘矩阵 P 的逆矩阵 P-1,可得 P-1AP=P-1P)解析:考点 向量的线性相关性和矩阵的特征值与特征向量21.已知对于 n 阶方阵 A,存在自然数 k,使得 Ak=0,试证明矩阵 E-A 可逆,并求出逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位矩阵)(分数:11.00)_正确答案:(由代数公式 1-ak=(1-a)(1+a+ak-1)以及 A 与 E 可交换,有 E-Ak=(E-A)(E+A+Ak-1),而Ak=0,故有(E-A)(E+A+A k-1)=E,可知 E-A 可逆,且有(E-A) -1=E+A+Ak-1)解析:考点 单位矩阵、逆矩阵