1、考研数学二-173 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）A.B.C.D.5.矩形闸门宽 a 米，高度 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y-ex=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在_Ax 0的某个邻域内单调增加
2、 Bx 0的某个邻域内单调减少Cx 0处取得极小值 Dx 0处取得极大值（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=O，则_AE-A 不可逆，E+A 也不可逆 BE-A 不可逆，E+A 可逆CE-A 可逆，E+A 也可逆 DE-A 可逆，E+A 不可逆（分数：4.00）A.B.C.D.8.设向量 可由向量组 1， 2， m线性表示，但不能由向量组() 1， 2， m-1线性表示，记向量组() 1， 2， m-1，则_A m不能由()线性表示，也不能由()线性表示B m不能由()线性表示，但可能由()线性表示C m可由()线性表示，也可由()
3、线性表示D m可由()线性表示，但不可由()线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.改变积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 f(x)连续可导，f(0)=0 且 f(0)=b，若 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且|A|=a，|B|=b， （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_16.设
4、，求 dz 与 （分数：10.00）_17.设 A 从原点出发，以固定速度 v0沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：11.00）_设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0， ，试证：（分数：10.00）(1).存在*，使 f()=；（分数：5.00）_(2).对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()-f()-=1（分数：5.00）_18.计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 以及曲线 （分数：10.00）_19.设 f(x)在(-，+
5、)上有定义，且对任意的 x，y(-，+)有|f(x)-f(y)|x-y|证明：（分数：11.00）_20.设 z=f(x2+y2，xy，x)，其中厂(u，v，)二阶连续可偏导，求 （分数：11.00）_设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2为 A 的分别属于特征值-1、1 的特征向量，向量 3满足 A 3= 2+ 3，（分数：11.00）(1).证明 1， 2， 3线性无关；（分数：5.50）_(2).令 P=( 1， 2， 3)，求 P-1AP（分数：5.50）_21.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak=0，试证明矩阵 E-A 可逆，并求出逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位矩阵)
6、（分数：11.00）_考研数学二-173 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 极值点、拐点解析 由题设， ，则 又因为 f(x)在 x=a 处导数连续，则 f(a)=0，即 x=a 是 f(x)的驻点又由2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 题设条件是在一点的导数信息，应利用导数在一点的定义解析 因为 ，知3.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 可考虑用洛必达法则或泰勒公式解析 用洛必达法则，有于是，必有 1-
7、a=0，即 a=1从而4.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二重积分解析 利用分部积分法，得5.矩形闸门宽 a 米，高度 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为_A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 定积分在物理中的应用解析 取x，x+dx 0，h，dF=1xadx=axdx，6.设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y-ex=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在_Ax 0的某个邻域内单调增加 Bx 0的某个邻域内单调减少Cx 0处取得极小值 Dx 0处取得极大值（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点
8、将 f(x0)=0 代入方程，得 f“(x0)的符号，从而由极值的充分条件得选项解析 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)-ex=0，所以有7.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=O，则_AE-A 不可逆，E+A 也不可逆 BE-A 不可逆，E+A 可逆CE-A 可逆，E+A 也可逆 DE-A 可逆，E+A 不可逆（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的可逆性解析 由 A3=O 可得E-A3=(E-A)(E+A+A2)=E 和 E+A3=(E+A)(E-A+A2)=E显然|E-A|0，|E+A|0，所以 E-A 和层+A 均可逆故应选(C)8.设向量 可
9、由向量组 1， 2， m线性表示，但不能由向量组() 1， 2， m-1线性表示，记向量组() 1， 2， m-1，则_A m不能由()线性表示，也不能由()线性表示B m不能由()线性表示，但可能由()线性表示C m可由()线性表示，也可由()线性表示D m可由()线性表示，但不可由()线性表示（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 线性表示解析 由题设， 可由向量组 1， 2， m线性表示，则存在一组数 k1，k 2，k m，使 =k 1 1+k2 2+km m，但是 不能由 1， 2， m-1线性表示，从而 km0，因此二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4
10、.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 高阶导数解析 ，于是f(x)=2(-1)(1+x)-2，f“(x)=2(-1)(-2)(1+x)-3，10.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 分段函数、定积分解析 由题设，11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 广义积分解析 由题设原积分=12.改变积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 交换积分次序计算二重积分解析 13.设 f(x)连续可导，f(0)=0 且 f(0)=b，若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a+b）解析：考点
11、 函数的连续性解析 14.设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且|A|=a，|B|=b， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1) mnab）解析：考点 可利用拉普拉斯定理或行列式的性质进行求解解析 利用拉普拉斯展开定理，行列式 的 n 阶子式|B|的代数余子式为(-1)(m+1)+(m+2)+(m+n)+1+2+n|A|=(-1)mn|A|，由拉普拉斯展开定理有三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_正确答案：( )解析：考点 变上限定积分求导、洛必达法则、等价无穷小16.设 ，求 dz 与 （分数：10.00）_正确答案：(由题设，
12、从而)解析：考点 二元函数的全微分、二阶编导数17.设 A 从原点出发，以固定速度 v0沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：11.00）_正确答案：(设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 ，即(1)(2)两边对 x 求导，得 ，代入(2)式，得 ，令 ，则令 y=p，由 ，得两边积分，得 ，由 y(x0)=0，得 ，从而 当 k1 时，由 y(x0)=0，得 ，则 B 的轨迹方程为当 k=1 时，B 的轨迹方程为 )解析：考点 微分方程的应用设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可
13、导，且 f(0)=f(1)=0， ，试证：（分数：10.00）(1).存在*，使 f()=；（分数：5.00）_正确答案：(由题设，引入辅助函数 (x)=x-f(x)，则 (x)在0，1上连续，由已知条件 f(1)=0 及，知 (1)=1-f(1)=10 且 ，所以由闭区间上连续函数的介值定理知存在一点 ，使得()=0，即 -f()=0，因此存在 ，使 f()=，证毕 )解析：(2).对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()-f()-=1（分数：5.00）_正确答案：(引入辅助函数，由原函数法将所需证明的等式中的 改写为 x，有 f(x)-f(x)-x=1，且 f(x)-f(x)=1-x由
14、一阶线性非齐次微分方程的通解公式得：f(x)=ex C+e -dx (1-x)dx=e x C+e -x (1-x)dx=ex C+e -x dx-xe -x dx=ex C+xe-x =Cex +x，所以f(x)-xe -x =C，至此可令辅助函数为 g(x)=f(x)-xe-x =-(x)e -x ，由已知条件及()中结论，知 g(x)也是连续函数，且 g(0)=f(0)-0e0=0，g()=-()e - =0由罗尔定理知存在一点 (0，)，使得 g()=0，又 g(x)=-e -x f(x)-x+e-x f(x)-1，所以-f()-+f()-1=0此即 f()-f()-=1证毕)解析：考
15、点 介值定理、罗尔定理18.计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 以及曲线 （分数：10.00）_正确答案：(由题设，积分区域 D 如图阴影所示，其在 D1为辅助性半圆形区域，从而其中对于 可采用极坐标计算，即综上， )解析：考点 二重积分19.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意的 x，y(-，+)有|f(x)-f(y)|x-y|证明：（分数：11.00）_正确答案：(因为 ，所以 )解析：考点 积分不等式20.设 z=f(x2+y2，xy，x)，其中厂(u，v，)二阶连续可偏导，求 （分数：11.00）_正确答案：()解析：考点 二元函数的偏导数设 A 为 3
16、 阶矩阵， 1， 2为 A 的分别属于特征值-1、1 的特征向量，向量 3满足 A 3= 2+ 3，（分数：11.00）(1).证明 1， 2， 3线性无关；（分数：5.50）_正确答案：(假设 1， 2， 3线性相关，则 3可由 1， 2线性表出，可设 3=k1 1+k2 2，其中k1，k 2不全为 0，否则由等式 A 3= 2+ 3得到 2=0，不符合题设因为 1， 2为矩阵 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，所以 A 1=- 1，A 2= 2，则 A 3=A(k1 1+k2 2)=-k1 1+k2 2= 2+k1 1+k2 2等式中 1， 2的对应系数相等，即 )解析：(2).令
17、 P=( 1， 2， 3)，求 P-1AP（分数：5.50）_正确答案：(因为 1， 2， 3线性无关，所以矩阵 P=( 1， 2， 3)可逆，由于 ，等式两边同时左乘矩阵 P 的逆矩阵 P-1，可得 P-1AP=P-1P)解析：考点 向量的线性相关性和矩阵的特征值与特征向量21.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak=0，试证明矩阵 E-A 可逆，并求出逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位矩阵)（分数：11.00）_正确答案：(由代数公式 1-ak=(1-a)(1+a+ak-1)以及 A 与 E 可交换，有 E-Ak=(E-A)(E+A+Ak-1)，而Ak=0，故有(E-A)(E+A+A k-1)=E，可知 E-A 可逆，且有(E-A) -1=E+A+Ak-1)解析：考点 单位矩阵、逆矩阵
