1、考研数学二-172 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_2.微分方程(1+x 2)y-y=0 满足初始条件 y(0)= 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_3.设 （分数：4.00）填空项 1:_4.设 u=ex+y+z，且 y，z 由方程 及 ey+z+1=e+lnz 确定为 x 的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_5.设 f 是连续的奇函数，D 由 y=-x3，x=1，y=1 所围成的平面区域，则 （分数：4.00）填空项 1:_6.已知 （分数：4.00）填空项 1:_二、选择题
2、(总题数：8，分数：32.00)7.当 x时，下列命题正确的是_A设 f(x)为有界函数且 f(x)0，B设 (x)为无穷小量，C设 (x)为无穷大量，D设 (x)为无界函数， （分数：4.00）A.B.C.D.8.函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，f(0)=1，设 （分数：4.00）A.B.C.D.9.设 f(x)，g(x)在点 x=0 的某邻域内连续，且 f(x)具有一阶连续导数满足 （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 (x0)，则 F(x)等于_A0 B （分数：4.00）A.B.C.D.11.设 z=f(x，y)满足 且 f(x，0)=x 2，f(0，y)=y
3、，则 f(x，y)为_（分数：4.00）A.B.C.D.12.设 f(t)为连续函数，区域 为常数)， _（分数：4.00）A.B.C.D.13.已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，则下列结论中不正确的是_A矩阵 A 是不可逆的 B矩阵 A 的主对角线的元素之和为零C1 和-1 所对应的特征向量正交 DAx=0 的基础解系仅含一个向量（分数：4.00）A.B.C.D.14.设 A，B 为 n 阶矩阵，其中 A 可逆，B 不可逆，A *，B *分别是 A，B 的伴随矩阵，则_AA *+B*必可逆 BA *+B*必不可逆CA *B*必可逆 DA *B*必不可逆（分数：4.00）A.B.C.D.三
4、、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 f(x)在 x=a 的某邻域内可导，且 f(a)0， （分数：-1.00）_16.设 f(x)= （分数：-1.00）_17.设 f(x)是由 x-x3+x5-+(-1)n-1x2n-1+所确定的函数()判定函数 f(x)的单调性及函数 f(zx)的图形的凹凸性；()求函数 f(x)的极值及函数 f(x)的图形的拐点（分数：-1.00）_18.设 f(x)在区间a，b上可导，且 （分数：-1.00）_19.设 D：x 2+y24x，y-x在 D 的边界 y=-x 上任取点 P，设 P 到原点的距离为 t，作 PQ 垂直于 y=-x，交 D 的边
5、界 x2+y2=4x 于 Q()试将 PQ 的距离PQ表示为 t 的函数；()求 D 绕 y=-x 旋转一周的旋转体的体积（分数：-1.00）_20.设平面区域 D=(x，y)x 3y1，-1x1，f(x)是定义在-a，a(a1)上的任意连续函数，试求：（分数：-1.00）_21.设二元函数 f(x，y)=13+14x+32y-8xy-2x 2-10y2()求极值点及极值；()求在条件 x+y=2 下的极值点及极值（分数：-1.00）_22.已知 A 为三阶矩阵， 1， 2为 Ax=0 的基础解系，又 AB=2B，B 为三阶非零矩阵()计算行列式A+E；()求 (A-2E)；()求矩阵 2A+
6、3E 的特征值（分数：-1.00）_23.设三阶矩阵 A 的三个特征值分别为-1，0，1，对应的特征向量分别为 1(a，a+3，a+2) T， 2=(a-2，-1，a+1) T， 3=(1，2a，-1) T，且有 （分数：-1.00）_考研数学二-172 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 (当 x0 时，sinxx，1-cosx2.微分方程(1+x 2)y-y=0 满足初始条件 y(0)= 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=e arctanx）
7、解析：解析 根据微分的定义及题设，知 y=y(x)满足微分方程此为可分离变量方程，分离变量得两边积分可得lny=arctanx+C13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e+1）解析：解析 4.设 u=ex+y+z，且 y，z 由方程 及 ey+z+1=e+lnz 确定为 x 的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 5.设 f 是连续的奇函数，D 由 y=-x3，x=1，y=1 所围成的平面区域，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 加一条曲线 y=x3将 D 分成两部分 D1，D 2，其中于是由于 f 是连续的奇函
8、数，所以 f(-xy)=-f(xy)，而 D1关于 y 轴对称，D 2关于 x 轴对称，所以6.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 在 A*BA=E+A-1B 两边左乘 A 得ABA=A+B，而A=3，所以 B(3A-E)=A，即 B=A(3A-E)-1二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.当 x时，下列命题正确的是_A设 f(x)为有界函数且 f(x)0，B设 (x)为无穷小量，C设 (x)为无穷大量，D设 (x)为无界函数， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题各函数均为抽象函数，可用举反例排除法来做故选 C事实上，若当 x时，(x)
9、为无穷大量，8.函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，f(0)=1，设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 9.设 f(x)，g(x)在点 x=0 的某邻域内连续，且 f(x)具有一阶连续导数满足 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x)=-4x+g(x)，f(0)=0，10.设 (x0)，则 F(x)等于_A0 B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 则故 F(x)=11.设 z=f(x，y)满足 且 f(x，0)=x 2，f(0，y)=y，则 f(x，y)为_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 故 f(x，y)=12.设 f
10、(t)为连续函数，区域 为常数)， _（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 更换积分次序后，13.已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，则下列结论中不正确的是_A矩阵 A 是不可逆的 B矩阵 A 的主对角线的元素之和为零C1 和-1 所对应的特征向量正交 DAx=0 的基础解系仅含一个向量（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为A=01(-1)=0，trA=1+0+(-1)=0，(A)=2，所以 A、B、D 是正确的，故选 C14.设 A，B 为 n 阶矩阵，其中 A 可逆，B 不可逆，A *，B *分别是 A，B 的伴随矩阵，则_AA *+B*必可逆 BA *+B*必不
11、可逆CA *B*必可逆 DA *B*必不可逆（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 B 不可逆，则 (B)n，由 B 和 B*秩的关系可知，(B *)1，即 B*不可逆，于是有B *=0，所以A *B*=A *B *=0，即 A*B*必不可逆，故选 D三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 f(x)在 x=a 的某邻域内可导，且 f(a)0， （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 评注 本题中若继续用洛必达法则，有16.设 f(x)= （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 令 u=lnx，则 g(x)+g(x)=x，即(e xg(x)=xex17.
12、设 f(x)是由 x-x3+x5-+(-1)n-1x2n-1+所确定的函数()判定函数 f(x)的单调性及函数 f(zx)的图形的凹凸性；()求函数 f(x)的极值及函数 f(x)的图形的拐点（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 由 x-x3+x5-+(-1)n-1x2n-1+= (x1)得f(x)= (x1).于是故列表如下：因此， 函数 f(x)在区间(-，-1)和(1，+)内单调减少，在区间(-1，1)内单调增加；函数 f(x)的图形在区间(-，- )和(0， )内是凸的，在区间(- ，0)和( ，+)内是凹的函数 f(x)在 x=-1 处取得极小值 f(-1)= ，在 x=1
13、 处取得极大值 f1= ；函数 f(x)的图形的拐点为18.设 f(x)在区间a，b上可导，且 （分数：-1.00）_正确答案：(证 令 F(x)= 则 F()=F(b)=0，且 F(x)=f(x)-x，F()F(b)0不妨设 F()0，F(b)0，则)解析：19.设 D：x 2+y24x，y-x在 D 的边界 y=-x 上任取点 P，设 P 到原点的距离为 t，作 PQ 垂直于 y=-x，交 D 的边界 x2+y2=4x 于 Q()试将 PQ 的距离PQ表示为 t 的函数；()求 D 绕 y=-x 旋转一周的旋转体的体积（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 ()设 P，Q 的坐标分
14、别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由题设知OP=t，x 1+y1=0，故由于直线 PQ 垂直于直线 y=-x，故直线段 PQ 的方程为()所求体积20.设平面区域 D=(x，y)x 3y1，-1x1，f(x)是定义在-a，a(a1)上的任意连续函数，试求：（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 因为(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)=xf(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)，而 f(x)+f(-x)在-1，1是偶函数，则 xf(x)+f(-x)为奇函数；f(x)-f(-x)在-1，1是奇函数，所以(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)在-1，1上是奇函数，即(1-
15、x 6)(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)在-1，1上是奇函数故21.设二元函数 f(x，y)=13+14x+32y-8xy-2x 2-10y2()求极值点及极值；()求在条件 x+y=2 下的极值点及极值（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 ()()设 L(x,y)=f(x,y)+(x+y-2)=13+14x+32y-8xy-2x2-10y2+(x+y-2). 22.已知 A 为三阶矩阵， 1， 2为 Ax=0 的基础解系，又 AB=2B，B 为三阶非零矩阵()计算行列式A+E；()求 (A-2E)；()求矩阵 2A+3E 的特征值（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解
16、析 由题设， 1， 2是 A 的属于特征值 0 的两个线性无关的特征向量，又由 AB=2B，B 为三阶非零矩阵，不妨设 B 的第一列 b1非零，则 b1是 A 的属于特征值 2 的特征向量，于是令P= 1， 2，b 1则有 P-1AP=23.设三阶矩阵 A 的三个特征值分别为-1，0，1，对应的特征向量分别为 1(a，a+3，a+2) T， 2=(a-2，-1，a+1) T， 3=(1，2a，-1) T，且有 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 由 0= =(+1)可得 =-1，0当 =-1 时， 1-(-1，2，1) T， 2=(-3，-1，0) T， 3=(1，-2，-1) T满足 1+ 3=0，所以 1， 2， 3线性相关，这与 1， 2， 3是对应不同特征值的特征向量矛盾(因为不同特征值对应的特征向量线性无关)，因此 -1，故 =0此时 1=(0，3，2) T， 2=(-2，-1，1) T， 3=(1，0，-1) T
