1、考研数学二-171 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 y(x)是微分方程 y“+(x-1)y+x2y=ex的满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A 为三阶矩阵，E 为三阶单位阵， 是两个线性无关的 3 维列向量，且 A 的行列式|A|=0，A=，A=，则行列式|A+2E|的值等于( )（分数：4.00）A.0B.18C.6D.243.设 f(x)是在(-，+)上以丁为周期的连续函数，则下列函数中以 T 为周期的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00
2、）A.B.C.D.5.已知 且 f(0)=0，则 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.由 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 为 mn 矩阵，mn，r（分数：4.00）A.=n，b 为 m 维非零列向量，则非齐次线性方程组 Ax=b( )(A) 必有唯一解B.必定没有解C.必定没有无穷多解D.()，()，()均不正确二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)有连续导数，且 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x，y)在(0，0)处连续且 （分数：4.00）填空项 1:_12.
3、已知函数 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=1，y=e x，y=2e x， （分数：4.00）填空项 1:_14.已知向量组 1， 2， 3， 4线性无关，则向量组 2 1+ 2+ 4， 2- 4， 3+ 4， 2+ 3，2 1+ 2- 2的秩为_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 且 f(0)=g(0)=0，试求 （分数：10.00）_16.设 D:2xx 2+y2，0yx2，求 （分数：11.00）_17.计算二重积分 （分数：10.00）_18.求微分方程 y“+y=f(x)满足初始条件：y(0)=0，y(0)=1 的特解，
4、其中连续函数 f(x)满足条件（分数：10.00）_19.设|y|1，求 （分数：11.00）_设函数（分数：10.00）(1).讨论函数 f(x)在 x=0 处的连续性；（分数：5.00）_(2).f(x)在何处取得极值，为什么?（分数：5.00）_设 f(x)在a，b上连续，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0， （分数：10.00）(1).在(a，b)内至少存在两个不同的点 1， 2( 1 2)，使得 f( 1)=f( 1)，f( 2)=f( 2)；（分数：5.00）_(2).在(a，b)内至少有一点 ，使得 f“()=f()。（分数：5.00）_设 B 是 mn 矩阵
5、，BB T可逆，A=E-B T(BBT)-1B，其中 E 是 n 阶单位矩阵。（分数：11.01）(1).证明：A T=A（分数：3.67）_(2).证明：A 2=A（分数：3.67）_(3).若 r(A)=rn，且 A 可对角化，求行列式|A+E|。（分数：3.67）_已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的矩阵 A 满足 且 AB-3B=0，其中（分数：11.00）(1).用正交变换 x=Py 化二次型为标准型，并写出所用正交变换及所得标准型；（分数：5.50）_(2).求出二次型 f(x1，x 2，x 3)的具体表达式。（分数：5.50）_考研数学二-171 答案解析(总分
6、：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 y(x)是微分方程 y“+(x-1)y+x2y=ex的满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由于方程为变系数的线性微分方程，不容易直接求解，所以利用洛必达法则讨论。详解 *又由原方程知：y“(0)=2，所以所求极限为 1，故应选(C)。2.设 A 为三阶矩阵，E 为三阶单位阵， 是两个线性无关的 3 维列向量，且 A 的行列式|A|=0，A=，A=，则行列式|A+2E|的值等于( )（分数：4.00）A.0B.18C.6 D.24解析：详解 由|A|=0
7、 得 A 有特征值 1=0，又 A=，A=，于是A(+)=A+A=+=+，A(-)=A-A=-=-(-)。， 线性无关，从而 +0，-0，故 2=1， 3=-1 为 A 的另外两个特征值，A+2E 的 3 个特征值为 1=2， 2=3， 3=1，|A+2E|=231=6，即选(C)。3.设 f(x)是在(-，+)上以丁为周期的连续函数，则下列函数中以 T 为周期的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 利用周期函数积分的特性讨论详解 因*故应选(C)。评注 一般地，若 f(x)是以 T 为周期的连续函数，且*则*仍是以 T 为周期的函数。4.设 （分数：4.00）A.B.C.D
8、. 解析：分析 按定义求 f(x)在 x=0 点的导数。详解 由于*有界，从而*即 f(x)在 x=0 连续，*当 x0 时，*所以 f(x)在 x=0 连续，故应选(D)。评注 本题主要考查可导性、连续性及用定义求导数。5.已知 且 f(0)=0，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 记*为常数，于是有 Af(x)=8，即*两边积分得*6.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为*所以*F“(x)=2f(x)故应选(B)。7.由 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 求参数方程确定的二阶导数，讨论其符号的凹凸性详解 *从而曲线单调下降且凹。故应选(B)
9、。评注 注意*考生常犯的错误是漏掉了*8.设 A 为 mn 矩阵，mn，r（分数：4.00）A.=n，b 为 m 维非零列向量，则非齐次线性方程组 Ax=b( )(A) 必有唯一解B.必定没有解C.必定没有无穷多解 D.()，()，()均不正确解析：详解 Ax=b 有解*r(A)=r(A，b)。当 r(A)=n 时，A 的列向量组线性无关，于是 r(A，b)=n 或 n+1，因此 Ax=b 要么有唯一解，要么没有解，即选(C)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)有连续导数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 利用无穷小同阶的定义确定 k 的
10、取值。详解 由*所以*因为 f(0)0，从而 k=2评注 本题主要考查求极限的方法和无穷小的比较概念，涉及导数的定义和洛必达法则。10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2n）解析：分析 利用对称区间上奇偶函数积分的特性并结合定积分的几何意义化简求定积分。详解 *评注 一般地有：(1)*(2)*11.设 f(x，y)在(0，0)处连续且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：详解 由*得*因而 f(0，0)=0*即 f(x，y)=-3x+4y+2+(x，y)(x 2+y2)用偏导数的定义*所以 2f x(0，0)+f y(0，0)=-212.已知函数 （分数：
11、4.00）填空项 1:_ （正确答案：C 1e2x+C2e-x）解析：分析 先由 f(x)在 x=0 处连续确定 a 的值，再求相应微分方程的解。详解 由*得：*所以微分方程为：y“-y -2y=0，特征方程的特征根为： 1=2， 2=-1。故方程的通解为：y=C 1e2x+C2e-x，C 1，C 2为任意常数。评注 本题的考点是函数的连续性概念和线性方程的解法。13.设 y=1，y=e x，y=2e x， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y“-y=0）解析：详解 在方程的解 1，e x，2e x，*可见*不是方程的独立解，而*常数，知 1 和 ex是方程的两个线性无关的解，1
12、和 ex对应的特征根分别为 0 和 1，因而对应的特征方程为 r(r-1)=r2-r=0，故对应的二阶常系数线性微分方程为 y“-y=0。14.已知向量组 1， 2， 3， 4线性无关，则向量组 2 1+ 2+ 4， 2- 4， 3+ 4， 2+ 3，2 1+ 2- 2的秩为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：详解 不妨设向量组为列向量组，由分块矩阵的运算得B=(2 1+ 2+ 4， 2- 4， 3+ 4， 2+ 3，2 1+ 2- 3)=( 1， 2， 3， 4)*又 1， 2， 3， 4线性无关，于是 r( 1， 2， 3， 4)=4，故*三、解答题(总题数：9，分
13、数：94.00)15.已知 且 f(0)=g(0)=0，试求 （分数：10.00）_正确答案：(由*又 f(0)=0*C=0，得*)解析：分析 由已知条件，先求出 f(x)，g(x)的表达式后，再求极限。评注 在求解此题的过程中也可利用：*16.设 D:2xx 2+y2，0yx2，求 （分数：11.00）_正确答案：(D:如图 1 所示，采用极坐标，x 2+y2=2x 的极坐标方程为 r=2cos，x=2 的极坐标方程为r=2sec，y=x 的极坐标方程为*，故*)解析：17.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(将正方形区域 D 用三条直线 x+y=1，x+y=2，x+y=3 分成
14、四个区域：D 1，D 2，D 3，D 4，如图 2 所示，*即x+y=*于是*)解析：18.求微分方程 y“+y=f(x)满足初始条件：y(0)=0，y(0)=1 的特解，其中连续函数 f(x)满足条件（分数：10.00）_正确答案：(因为*于是题设条件可表示为*两边对 x 求导，得*两边再对 x 求导，整理可得f“(x)+f(x)=-sinr，且 f(0)=0，f(0)=1解上述方程组得*可见原方程为*对应齐次方程的通解为 y=C1cosx+C2sinx，且特解可设为y*=x(b1x+b2)cosx+x(b3x+b4)sinx，代入方程后得*再根据初始条件 y(0)=0，y(0)=1 得所求
15、解为*)解析：19.设|y|1，求 （分数：11.00）_正确答案：(被积函数*因为|y|1，故*其中*同理可得*故*)解析：分析 由于被积函数含有绝对值符号，故应先把它用分段函数来表示；其次把被积函数中的 y 视为参数，积分时用分部积分法即可以求出此题。设函数（分数：10.00）(1).讨论函数 f(x)在 x=0 处的连续性；（分数：5.00）_正确答案：(分别求 f(x)在 x0 时的左、右极限：*又 f(0)=1，所以 f(x)在 x=0 处连续。)解析：(2).f(x)在何处取得极值，为什么?（分数：5.00）_正确答案：(当 x0 时，令y=(x2x)=2x2x(1+lnx)=0，
16、解得*所以*是函数 f(x)的一个极小值点。当 x0 时，y*1，故函数 f(x)在区间(-，0)内无驻点，从而无极值点。最后考察在点 x=0 处的情况，由(1)知函数在 x=0 处连续；又由前面的讨论知，函数 y=f(x)在区间*内单调减少，在(-，0)内单调增加，所以 x=0 是 f(x)的一个极大值点。)解析：分析 本题(1)是常规问题；而在求极值时，不仅要注意函数可导的点，还要考察一些特殊点，如不连续、不可导的点等，对分段函数，要特别注意分段点，判断它是否是极值点。设 f(x)在a，b上连续，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0， （分数：10.00）(1).在(a，
17、b)内至少存在两个不同的点 1， 2( 1 2)，使得 f( 1)=f( 1)，f( 2)=f( 2)；（分数：5.00）_正确答案：(由积分中值定理，知存在 c(a，b)，使得*设 G(x)=e-xf(x)，显然，G(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且G(a)=G(b)=G(c)=0故根据罗尔定理分别存在 1(a，c)和 2(c，b)，使得 G( 1)=G( 2)=0，而G(x)=e-xf(x)-e-xf(x)=e-xf(x)-f(x)，所以有 f( 1)-f( 1)=0 和 f( 2)-f( 2)=0，即 f( 1)=f( 1)和 f( 2)f( 2)解析：(2).在(
18、a，b)内至少有一点 ，使得 f“()=f()。（分数：5.00）_正确答案：(设 F(x)=exf(x)-f(x)，则 F(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且F( 1)=F( 2)=0对 F(x)在区间( 1， 2)上应用罗尔定理，存在 ( 1， 2)使得 F()=0，而F(x)=exExf“(x)-f(x)，故有 f“()-f()=0，即 f“()=f()解析：设 B 是 mn 矩阵，BB T可逆，A=E-B T(BBT)-1B，其中 E 是 n 阶单位矩阵。（分数：11.01）(1).证明：A T=A（分数：3.67）_正确答案：(A T=E-BT(BBT)-1BT=
19、ET-EBT(BBT)-1BT=E-BT(BBT)-1T(BT)T=E-BT(BBT)T-1B=E-BT(BBT)-1B=A)解析：(2).证明：A 2=A（分数：3.67）_正确答案：(A 2=E-BT(BBT)-1BE-BT(BBT)-1B=E-2BT(BBT)-1B+BT(BBT)-1BBT(BBT)-1B=E-2BT(BBT)-1B+BT(BBT)-1B=A)解析：(3).若 r(A)=rn，且 A 可对角化，求行列式|A+E|。（分数：3.67）_正确答案：(设 Ax=x，x0，则由 A2=A，知 2=，即 =0 或 1，又存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=* i=0 或 1由 r(
20、A)=r 知，P -1AP=*(有 r 个 1)。于是 P-1(A+E)P=*故 |A+E|=*=2 r)解析：已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的矩阵 A 满足 且 AB-3B=0，其中（分数：11.00）(1).用正交变换 x=Py 化二次型为标准型，并写出所用正交变换及所得标准型；（分数：5.50）_正确答案：(由*知矩阵 A 有特征值 1=2令 B=( 1， 2， 3)，由 AB-3B=0 知 B 的每一列 j满足 A j-3 j=0，即 A j=3 j(j=1，2，3)。显然 B 的第 1，2 列线性无关，*是属于 A 的特征值 =3 的线性无关特征向量，从而知 A 有二重特征值 2= 3=3。设 1=2 对应的特征向量为*则 3与 1， 2正交，于是有*解得 3=-1，0，1 T，将 1， 2正交化得：*再将正交向量组 1， 2， 3单位化得正交单位向量组：*令 P= 1， 2， 3，则正交变换 x=Py 化二次型为标准型*)解析：(2).求出二次型 f(x1，x 2，x 3)的具体表达式。（分数：5.50）_正确答案：(因 P-1AP=*所以*故二次型*)解析：
