1、考研数学二-170 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.设方程 xy3=2y-1 确定 y 是 x 的函数，则 y 为整数时，y x=1=_.（分数：4.00）填空项 1:_2.曲线 y=x3+3x2-5 上与直线 2x-6y+3=0 垂直的切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_3.设 （分数：4.00）填空项 1:_4.设 f(u，v)具有一阶连续偏导数，且满足 又 g(x，y)= （分数：4.00）填空项 1:_5.微分方程(1+x 2)y=2xy满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解为_（分数：4.00）填空项
2、1:_6.已知 n 阶矩阵 A 满足 2A(A-E)=A3，则(E-A) -1=_（分数：4.00）填空项 1:_二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.设 f(x)= (-，+)内连续，且 则_（分数：4.00）A.B.C.D.8.设常数 i0(i=1，2，3)， 1 2 3，则方程 （分数：4.00）A.B.C.D.9.设函数 y=f(x)是微分方程 y+3y-5y=0 的一个解且 f(x0)0，f(x 0)=0，则 f(x)在 x=x0处_A取得极大值 B取得极小值C在某邻域内单调增加 D在某邻域内单调减少（分数：4.00）A.B.C.D.10.若在0，1上有 f(0)=g(0)=
3、0，f(1)=g(1)=0，且 f(x)0，g(x)0，则 （分数：4.00）A.B.C.D.11.可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，下列结论正确的是_Af(x 0，y)在 y=y0处的导数小于零Bf(x 0，y)在 y=y0处的导数等于零Cf(x 0，y)在 y=y0处的导数大于零Df(x 0，y)在 y=y0处的导数不存在（分数：4.00）A.B.C.D.12.以 y1=e-xcos2x，Y 2=e-xsin2x，y 3=ex为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_Ay+y+3y+5y=0By-y+3y+5y=0Cy-y-3y+5y=0Dy+y+3y-5y=0
4、（分数：4.00）A.B.C.D.13.设向量组 1， 2， 3是线性方程组 Ax=0 的基础解系若存在常数 l，m，使得 l 2- 1，m 3- 2， 1- 3也是 Ax=0 的基础解系，则_Alm=1 Blm1 Clm=2 Dlm2（分数：4.00）A.B.C.D.14.已知矩阵 A 和 B 相似，其中 （分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设函数 f(x)在点 x=0 的某邻域内具有二阶导数， 求 f(0)，f(0)f(0) （分数：-1.00）_16.设可微函数 f(x)满足 f(x)+xf(-x)=x(-x+)，且 f(0)=0，求 f(x
5、)的表达式（分数：-1.00）_17.设函数 f(x)在区间0，+)上可导，且 0f(x)证明：存在 0，使 f()= （分数：-1.00）_18.设 y=f(x)(x0)连续可微，且 f(0)=1现已知曲线 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长相等，求 f(x)（分数：-1.00）_19.求使函数 （分数：-1.00）_20.计算 （分数：-1.00）_21.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内大于 0，且满足 （分数：-1.00）_22.已知矩阵 有零特征值，又矩阵 （分数：-1.00）_23
6、.设矩阵 （分数：-1.00）_考研数学二-170 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.设方程 xy3=2y-1 确定 y 是 x 的函数，则 y 为整数时，y x=1=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 方程 xy3=2y-1 两边对 x 求导得2.曲线 y=x3+3x2-5 上与直线 2x-6y+3=0 垂直的切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3x+y+6=0）解析：解析 设切点为(x 0，Y 0)，则切线斜率为：又因为直线 2x-6y+3=0 的斜率为：所以3.设 （分数：
7、4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)-f(x)dx4.设 f(u，v)具有一阶连续偏导数，且满足 又 g(x，y)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 5.微分方程(1+x 2)y=2xy满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 方程变形为方程中不含 y，令 y=p，代入上述方程得分离变量，得两边积分，得 lnp=ln(1+x 2)+lnC 1，即 p=y=C1(1+x2)，代入初始条件 y(0)=1，可得 C1=1，即 p=y=1+x2，
8、两边再积分，得代入初始条件 y(0)=0 得 C2=0，所以满足条件的方程的解为6.已知 n 阶矩阵 A 满足 2A(A-E)=A3，则(E-A) -1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：A 2-A+E）解析：解析 2A(A-E)= 设法分解出因子 E-A二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.设 f(x)= (-，+)内连续，且 则_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 f(0)有定义知，a0，又 知 b08.设常数 i0(i=1，2，3)， 1 2 3，则方程 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令 则易知 x= 1，x= 2，x= 3是 f(
9、x)的无穷间断点又 则除 x= 1，x= 2，x= 3三点外 f(x)0，即函数，f(x)在区间(-， 1)，( 1， 2)，( 2， 3)，( 3，+)内均单调递减当 x 1时，f(x)0，则方程 f(x)=0 在区间(-， 1)内无根；因为 所以由零值定理可知方程 f(x)=0 在区间( 1， 2)内有一根；同理，9.设函数 y=f(x)是微分方程 y+3y-5y=0 的一个解且 f(x0)0，f(x 0)=0，则 f(x)在 x=x0处_A取得极大值 B取得极小值C在某邻域内单调增加 D在某邻域内单调减少（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 y(x0)=5y(x0)-3y
10、(x0)0，所以 f(x)在 x=x0处取得极小值，故应选 B10.若在0，1上有 f(0)=g(0)=0，f(1)=g(1)=0，且 f(x)0，g(x)0，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设可知 f(x)0，f(x)凹，g(x)0，g(x)凸，且 f(0)=g(0)=ax x=0=0，f(1)=g(1)=ax x=1 =a，于是当 x0，1时，g(x)xf(x)，从而有 I2I 3I 1故选 C11.可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，下列结论正确的是_Af(x 0，y)在 y=y0处的导数小于零Bf(x 0，y)在 y=y0处的导数等于零Cf
11、(x 0，y)在 y=y0处的导数大于零Df(x 0，y)在 y=y0处的导数不存在（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 对二元函数 f(x，y)固定 x0，则 f(x0，y)是一元可导函数，且在点(x 0，y 0)处取得极小值，则 f(x0，y)在 y=y0的导数等于零，故选 B12.以 y1=e-xcos2x，Y 2=e-xsin2x，y 3=ex为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_Ay+y+3y+5y=0By-y+3y+5y=0Cy-y-3y+5y=0Dy+y+3y-5y=0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设可知，特征根为 1，2 =-12i， 3
12、=1，于是特征方程为(+1-2i)(+1+2i)(-1)0，即( 2+2+5)(-1)=0，即 3+ 2+3-5=0，由特征方程和方程的对应关系，可知所求的微分方程为y+y+3y-5y=0，故选 D13.设向量组 1， 2， 3是线性方程组 Ax=0 的基础解系若存在常数 l，m，使得 l 2- 1，m 3- 2， 1- 3也是 Ax=0 的基础解系，则_Alm=1 Blm1 Clm=2 Dlm2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 1， 2， 3是基础解系，所以线性无关时，若 l 2- 1，m 3- 2， 1- 3也是基础解系，必线性无关，14.已知矩阵 A 和 B 相似，其
13、中 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 B 为对角矩阵，又 AB，所以 A 有特征值-1，2，y，而特征方程为E-A=(+2) 2-(x+1)+(x-2)，以 =-1 代入得 x=0又由 trA=trB，即-2+x+1=-1+2+y，得 y=-2故选 B三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设函数 f(x)在点 x=0 的某邻域内具有二阶导数， 求 f(0)，f(0)f(0) （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 因为所以由无穷小比较可知从而 其中 即 f(x)=2x2+0(x2)，因此可得 f(0)=0，f(0)=0，f(0)=4，并有16.设可微函数
14、f(x)满足 f(x)+xf(-x)=x(-x+)，且 f(0)=0，求 f(x)的表达式（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 用-x 代替 x，可得f(x)-xf(x)=-x，联立 f(x)+xf(-x)=x 可解得f(x)= 由 f(0)=0 可得 C=0，故17.设函数 f(x)在区间0，+)上可导，且 0f(x)证明：存在 0，使 f()= （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 令 由于 f(0)=0，所以 F(0)=0又因为故由罗尔定理必有 (0，+)，使 F()=0，即18.设 y=f(x)(x0)连续可微，且 f(0)=1现已知曲线 y=f(x)，x 轴，y
15、轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长相等，求 f(x)（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 由题设可知上式两边对 x 求导得分离变量得两边积分得将 f(0)=1 代入上式可得 C=1，故19.求使函数 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 因为 f(x，y)与 lnf(x，y)最大值相同，且于是(B 2-AC) (x0,y0)，故 f(x，y)在 内取得唯一极大值，也是最大值，20.计算 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 将积分区域分割成 D1，D 2两个部分，如下图所示：21.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内大于 0，且满足 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 故当 t=-5 时，所求旋转体体积最小为22.已知矩阵 有零特征值，又矩阵 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 AX=B 有解()因为方程组 Ax= 1，Ax= 2，Ax= 3的通解依次为故矩阵方程的解为23.设矩阵 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 ()因为 3 为矩阵 A 的特征，所以3E-A=0，即于是()考虑二次型
