1、考研数学二-168 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.数列 （分数：4.00）填空项 1:_2.曲线 y=xsinx在 x= （分数：4.00）填空项 1:_3.设连续非负函数满足 f(x)f(-x)=1(-x+)，则 （分数：4.00）填空项 1:_4.设函数 f(x，y，z)=_.其中 z=z(x，y)是由方程 2x+y-z+xyz=0所确定的隐函数，则 fy(x，y，z)=_（分数：4.00）填空项 1:_5.设 y1=ex，y 2=ex+e2x，y 3=ex+e-x是二阶常系数非齐次微分方程 y+Py+qy=f(x)的三个
2、特解，则该方程为_（分数：4.00）填空项 1:_6.设 A为三阶方阵，且A=2，则2(A *)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.设 f(x)=x2sin （分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 F(x) （分数：4.00）A.B.C.D.9.设 f(x （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 0，f(x)在(-，)内恒有f(x)0，且f(x)x 2，记 I= （分数：4.00）A.B.C.D.11.设三元方程为 x2y-2zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，2)的一个邻域，在此邻域内，该方程_A只能确定一个具
3、有连续偏导数的隐函数：z=z(x，y)B可以确定两个具有连续偏导数的隐函数：y=y(x，z)和 z=z(x，y)C可以确定两个具有连续偏导数的隐函数：z=x(y，z)和 z=z(x，y)D可以确定两个具有连续偏导数的隐函数：z=x(y，z)和 y=y(x，z)（分数：4.00）A.B.C.D.12.设 f(x，y)为连续函数，则使 （分数：4.00）A.B.C.D.13.设矩阵 Amn的秩 r(A)=mn，E m为 m阶单位矩阵，则下列结论中正确的是_AA 的任意 m个列向量必线性无关BA 的任意 m阶子式不等于零C若矩阵 B满足 BA=0，则 B=0DA 通过初等行变换，必可以化为(E m，
4、O)的形式（分数：4.00）A.B.C.D.14.设 A，B，C，D 是 4个四阶矩阵，其中 AO，B0，C0，DO，且满足 ABCD=O，若 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r的取值范围是_Ar10 B10r12.C12r16 D10r16（分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设函数 f(x)满足 f(1)=1，且对 x1，有 f(x)= ，试证极限 存在，且极限值小于（分数：-1.00）_16.假定下列微分方程初值问题有唯一解，试确定 u(t)：（分数：-1.00）_17.设抛物线 y=ax2+bx+c满足：通过两点(0，0)和(
5、1，2)；与抛物线 y=-x2+2x所围图形的面积最小试求：a，b，c 的值（分数：-1.00）_18.设曲线方程为 y=e-x(x0)()把曲线 y=e-x，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围平面图形绕 x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体的体积 V()，并求满足 V(a)= （分数：-1.00）_19.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(1)，f(2)= （分数：-1.00）_20.计算 （分数：-1.00）_21.已知函数 u=u(x，y)满足方程 （分数：-1.00）_22.已知向量组 1=0，1，-1 T， 2=a，2，1 T， 3=b，1，0 T与向量组
6、 1=1，2，-3T 2=3，0，1 T， 3=9，6，-7 T具有相同的秩，且 1， 2， 3可由 3线性表出，求 a，b 的值（分数：-1.00）_23.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= 的正惯性指数为 1，负惯性指数为 0()求正交变换矩阵 Q，使得通过变换 x=Qy，化此二次犁为标准型：()计算 （分数：-1.00）_考研数学二-168 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.数列 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析 设当 2x5 时，y0；当 x5 时，y0故函数2.曲线 y=xsinx在 x=
7、 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 y=sinx+xcosx，y=2cosx-xsinx，3.设连续非负函数满足 f(x)f(-x)=1(-x+)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1所以 ）解析：解析 I=于是4.设函数 f(x，y，z)=_.其中 z=z(x，y)是由方程 2x+y-z+xyz=0所确定的隐函数，则 fy(x，y，z)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：详解 而 2x+y-z+xyz=0两边对 y求导得）解析：5.设 y1=ex，y 2=ex+e2x，y 3=ex+e-x是二阶常系数非齐次微分方程 y+Py+qy=f
8、(x)的三个特解，则该方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y-y-2y=-2e x）解析：解析 由题设可知，y 2-y1=e2x，y 3-y1=e-x为对应齐次方程的解，所以对应方程的特征根为 1=2， 2=-1，特征方程为(-2)(+1)=0，即 2-2=0，所以对应齐次方程为 y-y-2y=0，于是原方程为 y-y-2y=f(x)，将 y1=ex代入方程可得 f(x)=-2ex，故该方程为 y-y-2y=-2ex6.设 A为三阶方阵，且A=2，则2(A *)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 由题设可知A *=A 2=4，则(A *)-1
9、I=二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.设 f(x)=x2sin （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为8.设函数 F(x) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 F(x)=9.设 f(x （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 显然 f(x)在 x=1无意义10.设 0，f(x)在(-，)内恒有f(x)0，且f(x)x 2，记 I= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由f(x)x 2 f(0)=0，于是由麦克劳林公式有11.设三元方程为 x2y-2zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，2)的一个邻域，在此邻域内，该方
10、程_A只能确定一个具有连续偏导数的隐函数：z=z(x，y)B可以确定两个具有连续偏导数的隐函数：y=y(x，z)和 z=z(x，y)C可以确定两个具有连续偏导数的隐函数：z=x(y，z)和 z=z(x，y)D可以确定两个具有连续偏导数的隐函数：z=x(y，z)和 y=y(x，z)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 F(x，y，z)=x 2y-2zlny十 exz-1，则 F(0，1，2)=0，且Fx(0，1，2)=(2xy+ze xz) (0，1，2) =20，12.设 f(x，y)为连续函数，则使 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设可知，13.设矩阵 Am
11、n的秩 r(A)=mn，E m为 m阶单位矩阵，则下列结论中正确的是_AA 的任意 m个列向量必线性无关BA 的任意 m阶子式不等于零C若矩阵 B满足 BA=0，则 B=0DA 通过初等行变换，必可以化为(E m，O)的形式（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 r(A)=m 表示 A中有 m个列向量线性无关，有 m阶子式不等于零，但不是任意的，因此A，B 均不正确经过初等变换可以把 A化为标准型，一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只用一种不一定能化为标准型例如 只用初等行变换就不能化为(E 2，O)的形式，所以 D不正确关于 C，由 BA=O可得 r(A)+r(B)m，又 r(A
12、)=m，则 r(B)0，于是 r(B)=014.设 A，B，C，D 是 4个四阶矩阵，其中 AO，B0，C0，DO，且满足 ABCD=O，若 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r的取值范围是_Ar10 B10r12.C12r16 D10r16（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 AO，BO，C0，DO，所以r(A)1，r(B)=4，r(C)=4，r(D)1，即有 r10；又 ABCD= (AB)(CD)=三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设函数 f(x)满足 f(1)=1，且对 x1，有 f(x)= ，试证极限 存在，且极限值小于（分数：-1.00）
13、_正确答案：(证 因为 f(x)处处为正，所以 f(x)严格单增，从而当 t1 时，有 f(t)1，所以于是由于 f(x)递增且有界，所以 存在，且至多为 )解析：16.假定下列微分方程初值问题有唯一解，试确定 u(t)：（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 则 a为一待定常数微分方程化为解之得 u(t)=-a+Cet由初值条件及 可得u(0)=-a+C=1，a=-a+C(e-1)，解之得于是17.设抛物线 y=ax2+bx+c满足：通过两点(0，0)和(1，2)；与抛物线 y=-x2+2x所围图形的面积最小试求：a，b，c 的值（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 由知，
14、(0，0)在抛物线上，故 c=0又 a+b=2，所以抛物线的方程为 y=ax2+(2-a)x由，先求两条抛物线的交点坐标：解得 故所围面积为18.设曲线方程为 y=e-x(x0)()把曲线 y=e-x，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围平面图形绕 x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体的体积 V()，并求满足 V(a)= （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 ()V()=()设切点为(x 0，e -x0)，则切线方程为 y-ee-x0=-e-x0(x-x0)写成截距式方程为所以，切线与两坐标轴所围面积为19.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(1)，f(2)
15、= （分数：-1.00）_正确答案：(证 因为 f(0)=f(1)，可知 f(x)在0，1上满足罗尔定理，于是存在一个 1(0，1)，使得 f( 1)=0(积分中值定理)由上可知，f(x)在，2上满足罗尔定理，于是存在一个 2(0，1)，使得 f( 2)=0由 f( 1)=f( 2)一 0，f(x)在(0，2)内可导，可知 f(x)在 1， 2上满足罗尔定理，故存在一个( 1， 2) )解析：20.计算 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 因为积分区域由两个圆周围成，并且被积因子是 x2+y2的函数，故选用极坐标计算21.已知函数 u=u(x，y)满足方程 （分数：-1.00）_正
16、确答案：()解析：解析 z=22.已知向量组 1=0，1，-1 T， 2=a，2，1 T， 3=b，1，0 T与向量组 1=1，2，-3T 2=3，0，1 T， 3=9，6，-7 T具有相同的秩，且 1， 2， 3可由 3线性表出，求 a，b 的值（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 1， 2， 3= =2，且 1， 2线性无关， 3=3 1+2 2于是 r( 1， 2， 3)=2，故 1， 2， 3线性相关，从而 3可由 1， 2， 3线性表出，从而可由 1， 2线性表出，即 1， 2， 3线性相关，于是有23.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= 的正惯性指数为 1，负惯性指数为 0()求正交变换矩阵 Q，使得通过变换 x=Qy，化此二次犁为标准型：()计算 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 ()A= 由于r(A)=1+0=1 A=-(a-1) 2(a+2)=0若 a=1，则 r(A)=1，符合题意；若 a=-2，不合题意令 x=Qy，其中 Y=(y1，y 2，y 3)，则f=xTAx=yTQTAQy=又()当 xTx=2时，y Ty=2，则 f在 xTx=2的最大值，即在 yTy=2下的最大值，取 y=(0，0，
