1、考研数学二-164 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在区间-1，1上连续，则 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 ，其中 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：4.00）A.B.C.D.5.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 ，其中 D：x 2+y2a 2，则 a 为_
2、A1 B2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设矩阵 A=(aij)33，满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T为 A 的转置矩阵若 a11，a 12，a 13为三个相等的正数，则 a11为_A B3 C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 1， 2， s均为 n 维向量，下列结论不正确的是_A若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2，k s，都有 k1 1+k2 2+ks s0，则 1， 2， s线性无关B若 1， 2， s线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k1，k 2，k s，有k1 1+k2 2+ks s=0C 1， 2， s线性无关的充分必要条
3、件是此向量组的秩为 sD 1， 2， s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_10.设 ，其中 f，g 均可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.已知 f(lnx)=1+x，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_12.改变积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_13.计算 （分数：4.00）填空项 1:_14.设三阶矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.当 x
4、0 时，f(x)=x，设 ，当 x0 时，求 （分数：10.00）_17.设 f(x)在0，1上连续，且 0f(x)1，试证在0，1内至少存在一个 ，使 f()=（分数：10.00）_18.求函数 （分数：10.00）_19.假设：(1)函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)e x-1；(2)平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=ex-1 分别相交于点 P1和 P2；(3)曲线 y=f(x)，直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2的长度，求函数 y=f(x)的表达式（分数：10.00）_20.设 x=f(exsiny，
5、x 2+y2)，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 （分数：11.00）_21.计算 （分数：11.00）_已知 3 阶矩阵 B 为非零向量，且 B 的每一个列向量都是方程组 （分数：11.00）(1).求 的值；（分数：5.50）_(2).证明|B|=0（分数：5.50）_设向量 =(a 1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T都是非零向量，且满足条件 T=0，记 n 阶矩阵A= T求：（分数：11.00）(1).A2；（分数：5.50）_(2).矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：5.50）_考研数学二-164 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(
6、总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在区间-1，1上连续，则 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的间断点解析 2.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 函数的连续性与右导数的概念解析 令 x=h2，则 于是 ，即 f(0+0)=0又已知函数 f(x)在 x=0 处连续，从而 f(0)=f(0+0)=0，所以3.设 ，其中 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 利用洛必达法则及连续性求解即可解析 4.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：4.
7、00）A. B.C.D.解析：考点 多元函数的极值解析 因为 ，所以由极限的保号性，存在 0，当 时， ，因为当 时，|x|+y 20，所以当5.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 微分方程的解法解析 微分方程 y“-4y=0 的特征方程为 2-4=0，特征值为-2、2，则方程 y“-4y=0 的通解为 C1e-2x+C2e2x，显然方程 y“-4y=x+2 有特解6.设 ，其中 D：x 2+y2a 2，则 a 为_A1 B2 C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二重积分解析 由 ，解得 a=2，选(B)7.
8、设矩阵 A=(aij)33，满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T为 A 的转置矩阵若 a11，a 12，a 13为三个相等的正数，则 a11为_A B3 C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 伴随矩阵、转置矩阵解析 由题意知 A*=AT，即有 ，于是 aij=Aij，i，j=1，2，3， 又由 A*=AT，两边取行列式并利用|A *|=|A|n-1及|A T|=|A|得|A| 2=|A|，从而|A|=1，即 ，于是8.设 1， 2， s均为 n 维向量，下列结论不正确的是_A若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2，k s，都有 k1 1+k2 2+ks s
9、0，则 1， 2， s线性无关B若 1， 2， s线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k1，k 2，k s，有k1 1+k2 2+ks s=0C 1， 2， s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD 1， 2， s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 线性相关、线性无关解析 本题考查向量组线性相关和无关的定义根据定义，知(B)不正确，(A)正确，同时由向量组的秩的定义，知(C)正确，由向量组在部分向量线性相关则必然整个向量组线性相关的结论，知(D)正确综上，选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 x0 时， （分数
10、：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：考点 等价无穷小解析 由题设，根据等价无穷小的定义，知10.设 ，其中 f，g 均可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 复合函数求偏导数解析 由题设，11.已知 f(lnx)=1+x，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x+e x+C）解析：考点 先求出 f(x)的表达式，再积分即可解析 令 lnx=t，则 x=et，于是由题设有 f(t)=1+et，即 f(x)=1+ex积分得 f(x)=(1+e x)dx=x+ex+C12.改变积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答
11、案： ）解析：考点 二重积分解析 13.计算 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 定积分的计算解析 14.设三阶矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：考点 线性相关解析 由题设，由 A 与 线性相关，知 A 与 对应分量成比例，则三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(当 x1 时， ，按照等价无穷小代换 )解析：考点 函数的极限，无穷小16.当 x0 时，f(x)=x，设 ，当 x0 时，求 （分数：10.00）_正确答案：(1)当 时， ；(2)当 时， ，于是 )解析：考点 定积分的计算
12、17.设 f(x)在0，1上连续，且 0f(x)1，试证在0，1内至少存在一个 ，使 f()=（分数：10.00）_正确答案：(反证法)设 x0，1有 (x)=f(x)-x0，所以 (x)=f(x)-x 恒大于 0 或恒小于 0，不妨设 x0，1，(x)=f(x)-x0，令 m=min(x)，则 m0，因此 )解析：考点 函数零点存在性的证明18.求函数 （分数：10.00）_正确答案：(由 ，则 ，令 y=0，得驻点 x1=0，x 2=-1，列表如下：则单调递增区间为(-，-1)，(0，+)，单调递减区间为(-1，0)，极小值为 ，极大值为 由于 ，且 ，则得一条渐近线 y=e (x-2)又
13、由于 ，且 )解析：考点 导数、极值点、渐近线19.假设：(1)函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)e x-1；(2)平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=ex-1 分别相交于点 P1和 P2；(3)曲线 y=f(x)，直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2的长度，求函数 y=f(x)的表达式（分数：10.00）_正确答案：(由已知条件，有 ，方程两边对 x 求导得 f(x)=ex-f(x)，即 f(x)+f(x)=ex，令 x=0，由原方程得 f(0)=0，于是，原问题就转化为求微分方程 f(x)+f(x)=ex满
14、足初始条件 f(0)=0 的特解由一阶线性微分方程的通解公式，得代入初始条件 f(0)=0，得 ，从而 )解析：考点 由题设条件列出关系式，转化为微分方程求解20.设 x=f(exsiny，x 2+y2)，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 （分数：11.00）_正确答案：( ，)解析：考点 偏导数的计算21.计算 （分数：11.00）_正确答案：(令 ，解得 ，则 )解析：考点 二重积分的计算已知 3 阶矩阵 B 为非零向量，且 B 的每一个列向量都是方程组 （分数：11.00）(1).求 的值；（分数：5.50）_正确答案：(因|B|0，故 B 中至少有一个非零列向量，依题意，所给齐次方程
15、组非零解，故必有系数行列式 )解析：(2).证明|B|=0（分数：5.50）_正确答案：(因 B 的每一列向量都是原方程的解，故 AB=0因 A0 则必有|B|=0事实上，倘若不然，设|B|0，则 B 可逆，故由 AB=0 两边右乘 B-1，得 A=0，这与已知条件矛盾，可见必有|B|=0)解析：考点 线性方程组设向量 =(a 1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T都是非零向量，且满足条件 T=0，记 n 阶矩阵A= T求：（分数：11.00）(1).A2；（分数：5.50）_正确答案：(由题设， 都是非零向量，且 T=0，则 T=0，则 A2=( T)( T)=( T) T=O，即 A2为零矩阵)解析：(2).矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：5.50）_正确答案：(由特征值及特征向量的定义，设 为 A 的特征值，x 为其相应的特征向量，则Ax=x，x0，由前述知 A2=O，从而 0=AAx=AAx= 2x，即 =0，所以 A 的所有特征值都为 0又 ，不失一般性，可设 a10，b 10，则由初等行变换可化 A 为 ，由此 Ax=0 的基础解系为)解析：考点 矩阵运算、特征值和特征向量
