1、考研数学二-161 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.设 f(x)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_2.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，其中 f 可导，且 f(0)0 则 （分数：4.00）填空项 1:_3.计算 （分数：4.00）填空项 1:_4.设 (u，v，w)有一阶连续偏导数，z=z(x，y)是由 (bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 确定的函数，则（分数：4.00）填空项 1:_5.设 D 为闭区域 x2+y21，则 （分数：4.00）填空项 1:_6.设
2、n 阶可逆矩阵 A 满足 （分数：4.00）填空项 1:_二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某去心邻域内有定义，并且当 x0 时，f(x)与 g(x)都为 x 的同阶无穷小，则当 x0 时，_Af(x)-g(x)必是 x 的同阶无穷小 Bf(x)-g(x)必是 x 的高阶无穷小Cf(g(x)必是 x 的同阶无穷小 Df(g(x)必是 x 的高阶无穷小（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)在a，b上可导，且 f(a)f(b)0，则下列命题至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0
3、)f(b)至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)= （分数：4.00）A.B.C.D.9.已知 k0，对于反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.10.已知 y=y(x)是(x 2+y2)dy=dx-dy 的任意解，则_（分数：4.00）A.B.C.D.11.设 f(t)为连续函数，a 是常数，下述命题正确的是_A若 f(t)是奇函数，则 是 x 的奇函数B若 f(t)是偶函数，则 是 x 的奇函数C若 f(t)是奇函数，则 是 x 的奇函数D若 f(t)是偶函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.12.设在全平面上有 （分数：
4、4.00）A.B.C.D.13.设 A 为三阶矩阵，E 为三阶单位阵， 是两个线性无关的三维列向量，且 A 的行列式A=0，A=，A=，则行列式A+3E的值等于_A0 B18 C6 D24（分数：4.00）A.B.C.D.14.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 ns 阶矩阵，则方程组 Bx=0 与 ABx=0 同解的充要条件是_Ar(A)=n Br(A)=mCr(B)=n Dr(B)=s（分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 f(x)连续且 f(x)0，f(0)=0，求极限 （分数：-1.00）_16.求所有(0，+)上的正连续函数 g(x)，使得
5、对任意 x0 有（分数：-1.00）_17.设a1，求 I(a)= （分数：-1.00）_18.设 f(x)在0，1上连续，且 f(0)=f(1)=0，求证：（分数：-1.00）_19.设 x00， 证明 （分数：-1.00）_20.证明方程 2x=x2+1 有且仅有三个实根（分数：-1.00）_21.设 D：0x2，0y2()求()设 f(x，y)在 D 上连续，且 ，证明：存在(，)D，使f(，) （分数：-1.00）_22.设齐次线性方程组（分数：-1.00）_23.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：-1.00）_考研数学二-161 答案解析(总分：47.00，做题时间：9
6、0 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.设 f(x)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 当 x0 时，所以该极限为“1 ”型，所以所以原极限2.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，其中 f 可导，且 f(0)0 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 3.计算 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 由积分中值定理可得 ，而4.设 (u，v，w)有一阶连续偏导数，z=z(x，y)是由 (bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 确定的函数，则（分数：
7、4.00）填空项 1:_ （正确答案：c）解析：解析 (bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 两边对 z 求偏导得5.设 D 为闭区域 x2+y21，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由对称性，可得所以 ，故6.设 n 阶可逆矩阵 A 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 A=kA二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某去心邻域内有定义，并且当 x0 时，f(x)与 g(x)都为 x 的同阶无穷小，则当 x0 时，_Af(x)-g(x)必是 x 的同阶无穷小 Bf(x)-g(x)必是
8、 x 的高阶无穷小Cf(g(x)必是 x 的同阶无穷小 Df(g(x)必是 x 的高阶无穷小（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设可知，则当 C1=C2时，选项 B 成立，当 C1C 2时，选项 A 成立所以可排除 A，B 选项而8.设 f(x)在a，b上可导，且 f(a)f(b)0，则下列命题至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(b)至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)= （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 f(a)f(b)0，不妨设
9、 f(a)0，f(b)0，则由极限的保号性可得，存在 x1，x 2(a，b)，使得f(x1)-f(a)0，f(x 2)-f(b)0，所以 f(a)，f(b)不是 f(x)在a，b上的最小值，所以 f(x)在a，b上的最小值只可能在(a，b)内取得，由费尔马定理可知，至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0其他命题可用举反例排除法来求解令 f(x)=x-x2，则 f(x)在0，1可导，且f(0)=1，f(1)=-1 f(0)f(1)=-10但对于 x(0，1)，f(x)=x(1-x)0=f(0)=f(1)，可排除；令 f(x)=x2-x，则 f(x)在0，1可导，且f(0)=-1，f(
10、1)=19.已知 k0，对于反常积分 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 10.已知 y=y(x)是(x 2+y2)dy=dx-dy 的任意解，则_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由(x 2+y2)dy=dy-dy 可得所以 y=y(x)在(-，+)单调增加对 在x 0，x(x 0x)两边积分得所以 y=y(x)在(-，+)单调增加有上界，即 存在.同理可得11.设 f(t)为连续函数，a 是常数，下述命题正确的是_A若 f(t)是奇函数，则 是 x 的奇函数B若 f(t)是偶函数，则 是 x 的奇函数C若 f(t)是奇函数，则 是 x 的奇函数D若 f(t)是偶函
11、数，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题可用举反例法来做设 f(t)=t，则 f(t)是奇函数且连续，此式是否为奇函数与 a 有关，排除 A设 f(t)=1，则 f(t)是偶函数且连续，不是奇函数，可排除 B12.设在全平面上有 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 可知，固定 y，f(x，y)关于 x 单调增加；由13.设 A 为三阶矩阵，E 为三阶单位阵， 是两个线性无关的三维列向量，且 A 的行列式A=0，A=，A=，则行列式A+3E的值等于_A0 B18 C6 D24（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由A=014.设 A 是 mn 阶矩阵
12、，B 是 ns 阶矩阵，则方程组 Bx=0 与 ABx=0 同解的充要条件是_Ar(A)=n Br(A)=mCr(B)=n Dr(B)=s（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 ns 阶矩阵，则方程组 Bx=0 与 ABx=0 同解的充要条件是(A)r(A)=n (B)r(A)=m (C)r(B)=n (D)r(B)=s显然 Bx=0 的解是 ABx=0 的解；若要 ABx=0三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 f(x)连续且 f(x)0，f(0)=0，求极限 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 由导数的几何意义，曲线 y=
13、f(x)在 x 点处的切线方程为Y-f(x)=f(x)(X-x)，令 Y=0，则 于是16.求所有(0，+)上的正连续函数 g(x)，使得对任意 x0 有（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 题设等式两边对 x 求导，并整理得解得上式两边对 x 求导得即 两边积分，得17.设a1，求 I(a)= （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 =-a(e+e-1)+2ea-2e-1令18.设 f(x)在0，1上连续，且 f(0)=f(1)=0，求证：（分数：-1.00）_正确答案：(证 ()解析：19.设 x00， 证明 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 对一切 n，恒
14、有因此数列x n有界又于是可知 xn+1-xn与 x1-x0同号，故当 x1x 0时，x n+1x n，数列x n单调递增；当 x1x 0时，x n+1x n，数列x n单调递减，即数列x n为单调有界数列，所以20.证明方程 2x=x2+1 有且仅有三个实根（分数：-1.00）_正确答案：(证 令 f(x)=2x-x2-1，显然 f(0)=f(1)=0又 f(2)=-10，f5=60，且 f(x)连续，由连续函数的零点定理知 f(x)在(2，5)内至少存在一个零点，从而 f(x)至少有三个零点若 f(x)有四个或四个以上的零点，则由罗尔定理知 f(x)=2x1n32 至少有一个零点，这是不可
15、能的，故f(x)至多有三个零点综上可知 f(x)有且仅有三个零点，即方程 2x=x2+1 有且仅有三个实根)解析：21.设 D：0x2，0y2()求()设 f(x，y)在 D 上连续，且 ，证明：存在(，)D，使f(，) （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 ()令 有()因为 f(x，y)在 D 上连续，得f(x，y)在 D 上连续，所以，f(x，y)在 D 上存在最大值，即存在点(，)D，使得f(，)为f(x，y)在 D 上的最大值由已知得即存在(，)D，使22.设齐次线性方程组（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 所给方程组的系数矩阵为 A，则23.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 ()该二次型的矩阵为台同，所以 r(A)=2，即有所以()由E-A可得特征值 1=0， 2=4， 3=9由(0E-A)x=0 可得属于 0 的特征向量由(4E-A)x=0 可得属于 4 的特征向量由(9E-A)x=0 可得属于 9 的特征向量因为对实对称矩阵来讲，不同特征值对应的特征向量正交，所以只需单位化即可，令 Q=( 1， 2， 3)，x=Qy，于是 f(x1，x 2，x 3)=
