1、考研数学二-159 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3.如果曲线 y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则 a=_，b=_（分数：4.00）填空项 1:_4.设函数 f，g 都具有一阶连续偏导数，且 z= 则 （分数：4.00）填空项 1:_5.设方程 的通解为 （分数：4.00）填空项 1:_6.设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵，A T是 A 的转置)，则A+E=_.（分数：4.00）填空项 1:_二、选择题(
2、总题数：8，分数：32.00)7.对于函数 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 是实数， （分数：4.00）A.B.C.D.9.已知函数 y=f(x)对一切 x 满足 xf(x)+3xf(x)2=1-e-x，若 f(x0)=0(x00)，则_Af(x 0)是 f(x)的极大值B(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点Cf(x 0)是 f(x)极小值Df(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)不是曲线 y=f(xz)的拐点（分数：4.00）A.B.C.D.10.设 f(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.11.若 （分数：4.00）A.B.C.D.12.设 t0
3、，当 t0 时，f(t)= （分数：4.00）A.B.C.D.13.若 P，Q 均为 n 阶方阵，且 p2=P，Q 2=Q又 E-(P+Q)非奇异，则_Ar(P)r(Q) Br(P)r(Q)Cr(P)=r(Q) Dr(P)，r(Q)无法比较（分数：4.00）A.B.C.D.14.已知实二次型 f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵 A=(aij)33，则_AA 是正定矩阵。 BA 是可逆矩阵CA 是不可逆矩阵 D以上结论都不对（分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：9，分数：-9.
4、00)15.计算 （分数：-1.00）_16.设函数 f(x)满足 f(0)=1， （分数：-1.00）_17.设 f 是可导函数，对于任意实数 s，t 有 f(s+t)=f(s)+f(t)+2st，且 f(0)=1，求 f 的表达式（分数：-1.00）_18.证明：若 q(x)0，则方程 y+q(x)y=0 的任一非零解至多有一个零点（分数：-1.00）_19.设 f(x)，g(x)为有界闭区间a，b上的连续函数，且有数列 （分数：-1.00）_20.计算()求 I(a)；() （分数：-1.00）_21.周长为 2l 的等腰三角形，绕其底边旋转形成旋转体，求所得体积为最大的那个等腰三角形（
5、分数：-1.00）_22.设 A、B 为三阶相似非零实矩阵，矩阵 A=(aij)满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，A ij为 aij的代数余子式，矩阵 B 满足E+2B=E+3B=0，计算行列式A *B-A*+B-E（分数：-1.00）_23.设 (X)=XAX T，(X)=XAX T是正定二次型，其中 A=(aij)，B=(b ij)，令 cij=aijbij，以 C=(cij)作二次型f(X)=XCXT证明：f 是正定的（分数：-1.00）_考研数学二-159 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1. （分数：4.00）填空
6、项 1:_ （正确答案：e -2）解析：解析 2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 3.如果曲线 y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则 a=_，b=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1，-3）解析：解析 由题意可得 y(1)=a+b+c=1，y(1)=6a+4b+2c=0，y(1)=30a+12b+2=0，解上述方程组可得 a=1，b=-3，c=34.设函数 f，g 都具有一阶连续偏导数，且 z= 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 5.设方程 的通解为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案
7、：*）解析：解析 由6.设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵，A T是 A 的转置)，则A+E=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 因为A+E=A+AA T=AE+A T=A(E+A) T=AE+A，所以(1-A)A+E=0，又因为A0，即 1-A0，所以A+E=0二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.对于函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 8.设 是实数， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由导数定义，有则当 +10，即 -1 时，而 所以若 f(x)在 x-1 处可导，即9.已知函数 y=f(x)
8、对一切 x 满足 xf(x)+3xf(x)2=1-e-x，若 f(x0)=0(x00)，则_Af(x 0)是 f(x)的极大值B(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点Cf(x 0)是 f(x)极小值Df(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)不是曲线 y=f(xz)的拐点（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设可得10.设 f(x)= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 所以 x=0 是 f(x)的跳跃间断点，是第一类间断点，于是 f(x)在区间(-1，1)上不存在原函数；11.若 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 应用二元函数在
9、某点极限存在、连续与可偏导之间的结论可知，A，B，C 均错，故选 D12.设 t0，当 t0 时，f(t)= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 f(t)13.若 P，Q 均为 n 阶方阵，且 p2=P，Q 2=Q又 E-(P+Q)非奇异，则_Ar(P)r(Q) Br(P)r(Q)Cr(P)=r(Q) Dr(P)，r(Q)无法比较（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 E-(P+Q)非奇异，所以14.已知实二次型 f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵 A=(aij)3
10、3，则_AA 是正定矩阵。 BA 是可逆矩阵CA 是不可逆矩阵 D以上结论都不对（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令 x=(x1，x 2，x 3)T，则 f=xTATAx=(Ax)TAx 正定 Ax0(三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.计算 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 故 lnf(x)0由于 exp 是连续函数，所以16.设函数 f(x)满足 f(0)=1， （分数：-1.00）_正确答案：(证 由 可知 f(x)0，所以当 x0 时，有 f(x)f(0)=1)解析：17.设 f 是可导函数，对于任意实数 s，t 有 f(s+t)=f(s)+f(
11、t)+2st，且 f(0)=1，求 f 的表达式（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 在 f(s+t)=f(s)+f(t)+2st 中令 s=0，t=0 得 f(0)=0于是有18.证明：若 q(x)0，则方程 y+q(x)y=0 的任一非零解至多有一个零点（分数：-1.00）_正确答案：(证 利用反证法设 x1，x 2是原方程的一个非零解 y(x)的两个相邻的零点，则y(x1)-y(x2)=0，不妨设在区间(x 1，x 2)内，y(x)0，由导数定义，即函数 y(x)在(x 1，x 2)内的导函数 y(x)不具有单调性而由已知条件 y+q(x)y=0 )解析：19.设 f(x)，g
12、(x)为有界闭区间a，b上的连续函数，且有数列 （分数：-1.00）_正确答案：(证 ()假设 f(x1)g(x 1)，则可推出，对任何自然数 n，都有 f(xn)g(x n)否则就存在某个正整数 n0。，使得 f(xn0)g(x n0)，于是由 f(x)，g(x)的连续性和介值定理可知，在 x1和 xn0之间至少存在一点 x0a，b，使 f(x0)-g(x0)=0，即 f(x0)-g(x0)从而命题成立考虑数列f(x n)，因为对所有自然数 n，都有f(xn+1)=g(xn)f(x n)，所以数列f(x n)是单调增加的，同理数列g(x n)也是单调增加的()因为有界闭区间上的连续函数是有界
13、的，所以数列f(x n)，g(x n)均有上界，从而它们的极限都存在，并且即数列f(x n)，g(x n)的极限都等于 A最后取数列x n的一个收敛子列x nk(在有界闭区间内这样的子列必然存在)，并设 =x0a，b，于是由 f(x)，g(x)的连续性，有)解析：20.计算()求 I(a)；() （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 D 关于 x 轴对称，于是21.周长为 2l 的等腰三角形，绕其底边旋转形成旋转体，求所得体积为最大的那个等腰三角形（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 以等腰三角形的底边为 x 轴，以底边的中点作垂线为 y 轴，设等腰三角形的腰为 a，底为b
14、，则 2a+b=2l，于是旋转体的体积为因为 b=2(l-a)，所以因为是实际问题，极值点即为最大值点，故所得体积最大的那个等腰三角形的腰为22.设 A、B 为三阶相似非零实矩阵，矩阵 A=(aij)满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，A ij为 aij的代数余子式，矩阵 B 满足E+2B=E+3B=0，计算行列式A *B-A*+B-E（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 A *B-A*+B-E=A *(B-E)+(B-E)=(A *+E)(B-E)=A *+EB-E由 aij=Aij(i，j=1，2，3)，可知 AT=A*，于是AAT=AA*=A AA T=A 3 A 2=
15、A 3 A=0 或A=1因为 A0，不妨假定 a110，所以又由题设可知，A，B 相似，所以 A，B 有相同的特征值，且B=A=1由E+2B=E+3B=0 可知 B 有特征值设另外一个特征值为 3，则有 1 2 3=所以 A，B 的特征值为于是A *+E=A T+E=A+E故A *B-A*+B-E=23.设 (X)=XAX T，(X)=XAX T是正定二次型，其中 A=(aij)，B=(b ij)，令 cij=aijbij，以 C=(cij)作二次型f(X)=XCXT证明：f 是正定的（分数：-1.00）_正确答案：(证 对于正定矩阵 B=(bij)，存在满秩矩阵 P=(pij)，使得)解析：
