1、考研数学二-158 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 f(x)在 x=0 某邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则_A当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0B对任何 (a，b)，有 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)在(-，+)上连续，则 df(x)dx 等于_Af(x) Bf(x)dx Cf(x)+C
2、Df(x)dx（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 ，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 n 阶方程 A=( 1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组()： 1， 2， n，()： 1， 2， n，()： 1， 2， n，如果向量组()线性相关，则_A向量组()与()都线性相关B向量组()线性相关C向量组()线性相关D向量组()与()中至少有一个线性相关（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式|A|=0，则 A_A必有一列元素全为 0B必有
3、两列元素对应成比例C必有一列向量是其余列向量的线性组合D任一列向量是其余列向量的线性组合（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.方程 yy“=1+y2满足初始条件 y(0)=1，y(0)=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_11.已知曲线 y=f(x)过点 （分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.下列两个积分的大小关系是： _ （分数：4.00）填空项 1:_14.在函数 （分数：4.00）填空项
4、 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_16.计算 （分数：10.00）_17.设曲线 L 的方程为 y=f(x)，且 y“0又 MT、MP 分别为该曲线在点 M(x0，y 0)处的切线和法线已知线段 MP 的长度为 （分数：11.00）_18.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y-xey-1=1 所确定设 z=f(lny-sinx)，求 （分数：10.00）_19.计算二重积分 （分数：10.00）_已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：11.00）
5、(1).存在 (0，1)，使得 f()=1-；（分数：5.50）_(2).存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：5.50）_20.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：10.00）_设向量组 1， 2， 3线性相关，向量组 2， 3， 4线性无关，问：（分数：11.00）(1). 1能否由 2， 3线性表出?证明你的结论（分数：5.50）_(2). 4能否由 1， 2， 3线性表出?证明你的结论（分数：5.50）_21.设线性方程组 （分数：11.00）_考研数学二-158 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：
6、8，分数：32.00)1.已知 f(x)在 x=0 某邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 求函数极值解析 利用等价无穷小的代换求得 f(x)由于 x0 时，2.曲线 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 求曲线的渐近线解析 因故 是曲线的水平渐近线，又3.设函数 f(x)在a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则_A当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0B对任何 (a，b)，有 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数连续性解析 由于 f(x)在(a，b)内可导，(a，b)则 f(x)在 点可导，因而在
7、 点连续，故4.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 导数定义解析 由左、右导数的定义知5.设函数 f(x)在(-，+)上连续，则 df(x)dx 等于_Af(x) Bf(x)dx Cf(x)+C Df(x)dx（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 微分与积分关系解析 因 df(x)dx=f(x)dxdx=f(x)dx，故应选(B)6.设函数 ，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有_A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二阶导数解析 由题设可得因为7.设 n 阶方程 A=( 1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1，
8、2， n)，记向量组()： 1， 2， n，()： 1， 2， n，()： 1， 2， n，如果向量组()线性相关，则_A向量组()与()都线性相关B向量组()线性相关C向量组()线性相关D向量组()与()中至少有一个线性相关（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 向量组的线性相关性解析 因为向量组()线性相关，所以矩阵 AB 不可逆，即|AB|=|A|B|=0因此|A|、|B|中至少有一个为 0，即 A 与 B 中至少有一个不可逆，亦即向量组()与()中至少有一个线性相关，所以选(D)8.设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式|A|=0，则 A_A必有一列元素全为 0B必有两列元素
9、对应成比例C必有一列向量是其余列向量的线性组合D任一列向量是其余列向量的线性组合（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵、行列式、向量的综合题解析 本题考查|A|=0 的充分必要条件，而选项(A)、(B)、(D)都是充分不必要条件以 3 阶矩阵为例，若 ，条件(A)、(B)均不成立，但|A|=0若二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 复合函数的定义解析 由10.方程 yy“=1+y2满足初始条件 y(0)=1，y(0)=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x）解析：考点 高阶微分方
10、程的解解析 令 y=p，则 ，即 ，解得 ln(1+p2)=lny2+lnC1，则 1+p2=C1y2，由 y(0)=1，y(0)=0 得 ，由 y(0)=1 得 C2=0，所以特解为11.已知曲线 y=f(x)过点 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 导数的几何意义解析 由已知得 y=xln(1+x2)，于是代入条件 ，得 ，所以12.设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 复合函数求导数解析 方程两边对 x 求导得 ex+y(1+y)-sin(xy)(xy+y)=0解得13.
11、下列两个积分的大小关系是： _ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：考点 定积分性质解析 因为 y=ex在实数域内严格单调增加，又在区间-2，-1上 1-x 38，-8x 3-1，所以在区间-2，-1上 ， ，由定积分的性质知14.在函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 行列式的计算解析 x 3的系数只要考察三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：考点 三角函数求极限16.计算 （分数：10.00）_正确答案：(被积函数为对数函数与幂函数的乘积，故采用分部积分法，将对数函数看作 u)解析：考
12、点 分部积分法17.设曲线 L 的方程为 y=f(x)，且 y“0又 MT、MP 分别为该曲线在点 M(x0，y 0)处的切线和法线已知线段 MP 的长度为 （分数：11.00）_正确答案：(由题设得又 PMMT，所以 ，解得由于 y“0，曲线 L 是凹的，故 y0-0，从而 又 ，于是得 )解析：考点 曲线的切线、法线18.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y-xey-1=1 所确定设 z=f(lny-sinx)，求 （分数：10.00）_正确答案：( ，在 y-xey-1=1 中，令 x=0，得 y=1由 y-xey-1=1，两边对 x 求导得 y
13、-ey-1-mey-1y=0，再对 x 求导得 y“-ey-1y-ey-1y-xey-1y2-xey-1y“=0将 x=0，y=1 代入上面两式得 y(0)=1，y“(0)=2，故 )解析：考点 隐函数的求导19.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(此题用分块积分法如图所示用分块积分法得而所以作极坐标变换求 I1：，又 ，因此 )解析：考点 二重积分已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：11.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1-；（分数：5.50）_正确答案：(即证 在(0，1)存在零点由于 F(x)在0，1
14、连续，且 F(0)=-1，F(1)=1，即 F(0)F(1)0，由连续函数的零点存在性定理知， )解析：(2).存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：5.50）_正确答案：(的结果，在0，上用拉格朗日中值定理知， (0，)，使得 在，1上，用拉格朗日中值定理知， (，1)，使得 )解析：考点 微分中值定理20.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：10.00）_正确答案：(要对 f(x)在0，1上使用罗尔中值定理，问题在于证明 f(x)在0，1上有两个等值点由积分中值定理， x02/3，1，使 ，从而 f(x0)-f(0)，又由罗尔中值定理， ，
15、使 f(C)=0 )解析：考点 积分中值定理设向量组 1， 2， 3线性相关，向量组 2， 3， 4线性无关，问：（分数：11.00）(1). 1能否由 2， 3线性表出?证明你的结论（分数：5.50）_正确答案：( 1能由 2， 3线性表示因为已知 2， 3， 4线性无关，所以 2， 3线性无关，又因为 1， 2， 3线性相关，所以 1能由 2， 3线性表出)解析：(2). 4能否由 1， 2， 3线性表出?证明你的结论（分数：5.50）_正确答案：(设 4=k1 1+k2 2+k3 3，由()知，可设 1=l2 2+l3 3，那么代入上式整理得 4=(k1l2+k2) 2+(k1l3+k3) 3即 4可以由 2， 3线性表出，从而 2， 3， 4线性相关，这与已知矛盾因此， 4不能由 1， 2， 3线性表出)解析：考点 向量组线性相关性的证明21.设线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：(设 B=( 1， 2， 3)，其 i(i=1，2，3)为三维列向量，由于 B0，所以至少有一个非零的列向量，不妨设 10，由于 AB=A( 1， 2， 3)=(A 1，A 2，A 3)=0，A 1=0，即 1为齐次线性方程组 AX=0 的非零解，于是系数矩阵的列阵的行列式必为零，即 )解析：考点 线性方程组中常数的确定
