1、考研数学二-156 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知当 x0 时， （分数：4.00）A.B.C.D.2. （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在0，1上连续，又 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 y=f(x)在区间0，4上的导函数的图形如图，则 f(x)（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 则必有（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0，y 0)
2、=0，F y(x0，y 0)0，F xx(x0，y 0) 0由方程 F(x，y)=0 在 x0的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且 y(x0)=y0，则(A) y(x)以 x=x0为极大值点 (B) y(x)以 x=x0为极小值点(C) y(x)在 x=x0不取极值 (D) (x 0，y(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点，（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B，C 是，n 阶矩阵，并满足 ABAC=E，则下列结论中不正确的是(A) ATBTATCT=E. (B) BAC=CAB.(C) BA2C=E. (D) ACAB=CABA.（分数：4.00）A.B.C.
3、D.8.设矩阵 则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.x 轴上方的星形线： （分数：4.00）填空项 1:_11.设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1， f(0)= （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(u)连续，且 du(x，y)=f(xy)(ydx+xdy)，则 u(x，y)=_.（分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.
4、00)15. （分数：10.00）_16.一质量为 M、长为 1 的均匀杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点 C 位于杆 AB 的中垂线上，且与AB 的距离为 a试求：()杆 AB 与质点 C 的相互吸引力；()当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C 沿 y 轴移向无穷远处时，克服引力所做的功（分数：10.00）_17.()求证：f(x)在0，+)上连续；()求 f(x)在0，+)的单调性区间；()求 f(x)在0，+)的最大值与最小值（分数：10.00）_18.已知，y 1*(x)= xe-x+e-2x，y 2*(x)=xe-x+xe-2x，y 3*(x)=xe-x+e-2x
5、+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y+py+qy=f(x)的三个特解()求这个方程和它的通解；()设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解， （分数：10.00）_19. （分数：10.00）_20.设 D=(x，y)|x 2+y21，（分数：10.00）_21.设函数 f(x)在a，+)内二阶可导且 f“(x)0，又 ba，f(a)=A0，f(b)=B0，f(b)0，求证：() （分数：10.00）_22.设 A 是 n 阶反对称矩阵，()证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A *是对称矩阵；()举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；()证
6、明：如果 A 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值（分数：10.00）_23. .（分数：10.00）_考研数学二-156 答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知当 x0 时， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题即要确定正的常数 n，使得为非零常数，这是 型极限，用洛必达法则及变限积分求导法得2. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 当 x=0 时，应用定积分定义求极限，有3.设 f(x)在0，1上连续，又 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 4.设函数 y=f(x)在区间0，4
7、上的导函数的图形如图，则 f(x)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 分别考察 f(x)的正负号与升降性x(0，1)或 x(3，4)时 f(x)0 f(x)在(0，1)，(3，4)单调下降；当 x(1，3)时 f(x)0f(x)在(1，3)单调上升，又 f(x)在(0，2)单调上升 f(x)在(0，2)是凹的；f(x)在(2，4)单调下降 f(x)在(2，4)是凸的综上分析，应选(B)5.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 则必有（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 考察 f(x)与 f(x)的关系，设 x0，1，则由牛顿一莱布尼兹公式及 f(0)=0，
8、有分析二 同样考察 f(x)与 f(x)的关系由拉格朗日中值定理知当 x0，1时f(x)=f(x)-f(0)=f(0)=f() (0，x)6.设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0，y 0)=0，F y(x0，y 0)0，F xx(x0，y 0) 0由方程 F(x，y)=0 在 x0的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且 y(x0)=y0，则(A) y(x)以 x=x0为极大值点 (B) y(x)以 x=x0为极小值点(C) y(x)在 x=x0不取极值 (D) (x 0，y(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点，
9、（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 按隐函数求导法，y(x)满足7.设 A，B，C 是，n 阶矩阵，并满足 ABAC=E，则下列结论中不正确的是(A) ATBTATCT=E. (B) BAC=CAB.(C) BA2C=E. (D) ACAB=CABA.（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 这一类题目要注意的是矩阵乘法没有交换律、有零因子、没有消去律等法则由 ABAC=E 知矩阵 A，B，C 均可逆，那么由8.设矩阵 则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 可知矩阵 A 的特征值是 3，-3，0，故秩 r(A)=2，二次
10、型 xTAx 的正、负惯性指数均为 1(A)中矩阵的秩为 1，不可能与矩阵 A 等价；(C)中矩阵的特征值为 3，-3，0，与矩阵 A 不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意对于(D)，记其矩阵为 D，由二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：解析 10.x 轴上方的星形线： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：. ）解析：解析 x 轴上方的星形线表达式为11.设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1， f(0)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：. ）解析：解析 由反函数求导公式得分析二 将上
11、述导出的 (y)，(y)表达式代入得分析三 在 xOy 直角坐标系中 y=f(x)与它的反函数 x=(y)代表同一条曲线，作为 x 的函数 y=f(x)与作为 y 的函数 x=(y)在同一点处的曲率是相同的，按曲率公式应有12.设 f(u)连续，且 du(x，y)=f(xy)(ydx+xdy)，则 u(x，y)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因此 13. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：. ）解析：解析 I(a)是二重积分的一个累次积分，可写为14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：. ）解析：解析 由 BA=0 知 x(B)+r
12、(A)3又由 B0 知 r(B)1显然 A 中有 2 阶子式非 0，知 r(A)2故必有 r(A)=2，r(B)=1三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15. （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解一 分析与求解二 为了作分部积分，先求)解析：16.一质量为 M、长为 1 的均匀杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点 C 位于杆 AB 的中垂线上，且与AB 的距离为 a试求：()杆 AB 与质点 C 的相互吸引力；()当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C 沿 y 轴移向无穷远处时，克服引力所做的功（分数：10.00）_正确答案：()假定杆 AB 与质点 C 的位置如
13、图所示，根据对称性，引力 F 是沿 y 轴负方向的由于杆AB 的线密度为 M/l，于是，位于x，x+dx上微元的质量即为 它与质点 C 的引力在 y 轴方向的分力为其中 K 为引力常数.()根据()中的计算，当质点 C 位于坐标 y 处时，引力的大小为 于是所求功为)解析：17.()求证：f(x)在0，+)上连续；()求 f(x)在0，+)的单调性区间；()求 f(x)在0，+)的最大值与最小值（分数：10.00）_正确答案：()解析：18.已知，y 1*(x)= xe-x+e-2x，y 2*(x)=xe-x+xe-2x，y 3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程
14、y+py+qy=f(x)的三个特解()求这个方程和它的通解；()设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解， （分数：10.00）_正确答案：()由线性方程解的叠加原理y1(x)=y3*(x)-y2*(x)=e-2x，y 2(x)=y3*(x)-y1*(x)=xe-2x均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的，于是相应的特征方程为(+2) 2=0，即 2+4+4=0原方程为 y+ 4y+4y=f(x) )解析：19. （分数：10.00）_正确答案：(这是由两个方程式构成的方程组，有 4 个变量：x，y，u，v按题意 x，y 为自变量，而u，v 均为 x，y 的函数：u=
15、u(x，y)，v=v(x，y)将第一个方程两边分别对 x，y 求偏导数，并利用第二个方程得)解析：20.设 D=(x，y)|x 2+y21，（分数：10.00）_正确答案：()作极坐标变换化二重积分为定积分，令 x=rcos，y=rsin，则 D：02， 0r1于是()利用单调性证明不等式.()由题()，估计 转化为估计定积分 再利用 sinx 的不等式(题()的不等式及sinxx(x0)来估计这个定积分)解析：21.设函数 f(x)在a，+)内二阶可导且 f“(x)0，又 ba，f(a)=A0，f(b)=B0，f(b)0，求证：() （分数：10.00）_正确答案：(证明 ()方法 1方法
16、2由泰勒公式可得+)有一个零点.)解析：22.设 A 是 n 阶反对称矩阵，()证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A *是对称矩阵；()举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；()证明：如果 A 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值（分数：10.00）_正确答案：()按反对称矩阵定义：A T =-A，那么)解析：23. .（分数：10.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式得到属于 3=a+1 的特征向量 3=k3(2-a，-4a，(a+2) T，k 30如果 1， 2， 3互不相同，即 1-aa，1-aa+1，aa+1，即 则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A可以相似对角化，)解析：
