1、考研数学二-155 及答案解析(总分:151.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是_Af(0)是极大值, 是极小值 Bf(0)是极小值, 是极大值Cf(0)是极大值, 也是极大值 Df(0)是极小值, (分数:4.00)A.B.C.D.2.设 f(x)在a,+)内连续,则 (分数:4.00)A.B.C.D.3.考察一元函数 f(x)的下列四条性质:f(x)在区间a,b上连续 f(x)在区间a,b上可积f(x)在区间a,b上存在原函数 f(x)在区间a,b上可导若用 PQ 表示可由性质 P 推出性质 Q,
2、则有_A B C D(分数:4.00)A.B.C.D.4.设 f(x)=3x3+x2|x|,则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_A0 B1 C2 D3(分数:4.00)A.B.C.D.5.二元函数 f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是_AB ,且CD ,且 (分数:4.00)A.B.C.D.6.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ,其中 a 是比 x(x0)高阶的无穷小,且 y(0)=,则y(1)=_A B2 C D (分数:4.00)A.B.C.D.7.设 A 为反对称矩阵,且|A|0,B 可逆,A、B 为同阶方阵,A *为 A 的伴随矩阵,则A TA*(B-1
3、)T-1=_A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.8.设向量组() 1, 2, s,其秩为 r1,向量组() 1, 2, s,其秩为 r2,且 i(i=1,2,s)均可以由 1, s线性表示,则_A向量组 1+ 1, 2+ 2, s+ s的秩为 r1+r2B向量组 1- 1, 2- 2, s- s的秩为 r1-r2C向量组 1, 2, s, 1, 2, s的秩为 r1+r2D向量组 1, 2, s, 1, 2, s的秩为 r1(分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导,且 f(x)=ef(x),f(2)
4、=1,则 f“(2)=_(分数:4.00)填空项 1:_10.设 f(x)=xex,则 f(n)(x)的极小值为_(分数:4.00)填空项 1:_11.设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y),则 dz|(1,0) =_(分数:4.00)填空项 1:_12.设 (分数:4.00)填空项 1:_13. (分数:4.00)填空项 1:_14.设矩阵 (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:95.00)15.求 (分数:10.00)_16.设函数 f(x)在0,3上连续,在(0,3)内可导,且 f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证必存在(0,3),使
5、 f()=0(分数:10.00)_17.设 ,求 (分数:10.00)_18.已知连续函数 f(x)满足条件 (分数:10.00)_19.假设曲线 l1:y=1-x 2(0x1)与 x 轴,y 轴所围成区域被曲线 l2:y=ax 2分为面积相等的两部分,其中 a 是大于零的常数,试确定 a 的值(分数:10.00)_设函数 f(u)在(0,+)内具有二阶导数,且 满足等式 (分数:11.00)(1).验证*;(分数:5.50)_(2).若 f(1)=0,f(1)=1,求函数 f(u)的表达式(分数:5.50)_20.设二元函数 ,计算二重积分 (分数:11.00)_设矩阵 A 与 B 相似,其
6、中 (分数:11.00)(1).求 x 与 y 的值;(分数:5.50)_(2).求可逆矩阵 P,使得 P-1AP=B(分数:5.50)_设矩阵 (分数:12.00)(1).已知 A 的一个特征值为 3,试求 y;(分数:6.00)_(2).求矩阵 P,使(AP) T(AP)为对角矩阵(分数:6.00)_考研数学二-155 答案解析(总分:151.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是_Af(0)是极大值, 是极小值 Bf(0)是极小值, 是极大值Cf(0)是极大值, 也是极大值 Df(0)是极小值, (
7、分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 函数的最(极)大值、最(极)小值解析 因为 f(x)在 上可导,f(x)=xcosx0 在区间 上成立,所以函数 f(x)在区间 上单调增加所以 ,即 f(0)是最(极)小值,2.设 f(x)在a,+)内连续,则 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点 函数的极限与有界性的关系解析 由 定义知,存在 x0a 使得 ax 0,+)时 f(x)有界,又 f(x)在a,x 0上连续,则 f(x)在a,x 0内有界,因此 f(x)在a,+)内有界,但 f(x)在a,+)内有界,3.考察一元函数 f(x)的下列四条性质:f(x)在区间a,b上连续 f
8、(x)在区间a,b上可积f(x)在区间a,b上存在原函数 f(x)在区间a,b上可导若用 PQ 表示可由性质 P 推出性质 Q,则有_A B C D(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 函数的性质解析 f(x)在区间a,b上可导,则 f(x)在区间a,b上必连续,由 f(x)在区间a,b上连续可得到f(x)在区间a,b上可积的结论,同时也说明 f(x)在区间a,b上存在原函数,故选(C)4.设 f(x)=3x3+x2|x|,则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_A0 B1 C2 D3(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 分段函数的高阶导数解析 3x 3处处任意阶可导,
9、只需考查 (x)=x 2|x|,它是分段函数,x=0 是连接点又 +(0)=(-x3)+|x=0=0, -(0)=(-x3)-|x=0=0 (0)=0;同理可得 ;即 因 y=|x|在 x=0 处不可导5.二元函数 f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是_AB ,且CD ,且 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 可微的充分条件和必要条件解析 选项(A)相当于已知 f(x,y)在点(0,0)处连续选项(B)相当于已知两个一阶偏导数 fx(0,0),f y(0,0)存在,因此(A),(B)均不能保证 f(x,y)在点(0,0)处可微,选项(D)相当于已知两个一阶偏导数 fx(
10、0,0),f y(0,0)存在,但不能推导出两个一阶偏导数 fx(x,y),f y(x,y)在点(0,0)处连续,因此也不能保证 f(x,y)在点(0,0)处可微,对于选项(C),若 ,则 ,即 fx(0,0)=0同理有 fy(0,0)=0从而有6.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ,其中 a 是比 x(x0)高阶的无穷小,且 y(0)=,则y(1)=_A B2 C D (分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点 导数定义、微分方程解析 由题设, ,且 是比 x(x0)高阶的无穷小从而 ,即 ,此为可分离变量的微分方程,则 ,两边积分得 ln|y|=arctanx+C由已知 y
11、(0)=,代入上式解得 C=ln,于是 y=e arctanx,因此7.设 A 为反对称矩阵,且|A|0,B 可逆,A、B 为同阶方阵,A *为 A 的伴随矩阵,则A TA*(B-1)T-1=_A B C D (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 矩阵的计算解析 8.设向量组() 1, 2, s,其秩为 r1,向量组() 1, 2, s,其秩为 r2,且 i(i=1,2,s)均可以由 1, s线性表示,则_A向量组 1+ 1, 2+ 2, s+ s的秩为 r1+r2B向量组 1- 1, 2- 2, s- s的秩为 r1-r2C向量组 1, 2, s, 1, 2, s的秩为 r1+r2
12、D向量组 1, 2, s, 1, 2, s的秩为 r1(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 向量组的秩解析 设二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导,且 f(x)=ef(x),f(2)=1,则 f“(2)=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2e 3)解析:考点 一元复合函数求导法则解析 已知 f(x)在 x=2 的某邻域内可导,f(x)=e f(x),所以 f(x)在 x=2 的同一邻域内可导,即在该邻域内函数 f(x)二阶可导,且 f“(x)=ef(x)=f(x)ef(x)=e2f(x)于是 f“(x)也在 x=2 的
13、同一邻域内可导,即在该邻域内函数 f(x)三阶可导,且 f“(x)=e2f(x)=2f(x)e2f(x)=2e3f(x),将 f(2)=1 代入可得 f“(2)=2e310.设 f(x)=xex,则 f(n)(x)的极小值为_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 先求 n 阶导数,再求极值即可解析 f(x)=xe x,f(n)(x)=(n+x)ex,f(n+1)(x)=(n+1+x)ex,f(n+2)(x)=(n+2+x)ex,令 f(n+1)(x)=0,解得 f(n)(x)的驻点 x=-(n+1),又 f(n+2)-(n+1)=n+2-(n+1)e-(n+1)=e-(
14、n+1)0,故 x=-(n+1)为 f(n)(x)的极小值点,11.设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y),则 dz|(1,0) =_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy)解析:考点 全微分的四则运算、一阶全微分形式不变性解析 因为12.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2)解析:考点 导数的连续性解析 由题设,当 x0 时, 当 x=0 时,又因此,当 2 时,13. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 定积分计算解析 令 ,则 x=1-t2,dx=-2tdt,当 x=
15、0 时,t=1,当 x=1 时,t=0,于是14.设矩阵 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:-3)解析:考点 矩阵的秩解析 由题设,r(A)=3,则|A|=0,即从而 k=-3 或 k=1当 k=1 时,三、解答题(总题数:9,分数:95.00)15.求 (分数:10.00)_正确答案:( )解析:考点 数列的极限16.设函数 f(x)在0,3上连续,在(0,3)内可导,且 f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证必存在(0,3),使 f()=0(分数:10.00)_正确答案:(由题设,f(x)在0,3上连续,则 f(x)在0,2上也必然连续,则在0,2上 f(x)必有
16、最大值 M 和最小值 m,因而 mf(0)M,mf(1)M,mf(2)M,从而 由连续函数的介值定理,知存在一点 0,2,使 由已知条件 f(0)+f(1)+f(2)=3,可推知 f()=1,因此 f()=f(3)=1,0,2由罗尔定理,知存在 (,3) )解析:考点 介值定理、微分中值定理17.设 ,求 (分数:10.00)_正确答案:(由参数方程求导法知 ,)解析:考点 参数方程求导数18.已知连续函数 f(x)满足条件 (分数:10.00)_正确答案:(方程 )解析:考点 先在等式两边对 x 求导,消去变限积分,将原方程化为关于未知函数 f(x)的微分方程,再求解该微分方程19.假设曲线
17、 l1:y=1-x 2(0x1)与 x 轴,y 轴所围成区域被曲线 l2:y=ax 2分为面积相等的两部分,其中 a 是大于零的常数,试确定 a 的值(分数:10.00)_正确答案:(如图,由 ,得曲线 l1与曲线 l2的交点为 ,所求平面图形面积为S1 , ,因为 S1=S2,所以 )解析:考点 先求出曲线 l1与曲线 l2的交点,然后利用定积分求平面图形面积的公式计算出 S1和 S2,由 S1=S2求 a 的值设函数 f(u)在(0,+)内具有二阶导数,且 满足等式 (分数:11.00)(1).验证*;(分数:5.50)_正确答案:(用复合函数求导法验证,令 ,则,即 )解析:(2).若
18、f(1)=0,f(1)=1,求函数 f(u)的表达式(分数:5.50)_正确答案:(因为 (已证),所以 uf“(u)+f(u)=0,即uf(u)=0,积分得 uf(u)=C1,由 f(1)=1C1=1,于是 ,再积分得 f(u)=lnu+C2由 f(1)=0 )解析:考点 二阶偏导数的计算20.设二元函数 ,计算二重积分 (分数:11.00)_正确答案:(设区域 D1=(x,y)|x|+|y|1,D 2=(x,y)|1|x|+|y|2则)解析:考点 二重积分的计算设矩阵 A 与 B 相似,其中 (分数:11.00)(1).求 x 与 y 的值;(分数:5.50)_正确答案:(因为 AB,故其
19、特征多项式相同,即|E-A|=|E-B|,(+2) 2-(x+1)+(x-2)=(+1)(-2)(-y),令 =0,得 2(x-2)=2y,即 y=x-2,令 =1,得 y=-2从而 x=0)解析:(2).求可逆矩阵 P,使得 P-1AP=B(分数:5.50)_正确答案:(知 ,对应于 A 和 B 的共同的特征值-1、2、-2 的特征向量分别为 1=(0,2,-1) T, 2=(0,1,1) T, 3=(1,0,-1) T,则可逆矩阵 )解析:考点 若 AB,则|E-A|=|E-B|对所有 均成立,由此可定出参数 x,y,故其特征多项式相同设矩阵 (分数:12.00)(1).已知 A 的一个特
20、征值为 3,试求 y;(分数:6.00)_正确答案:(因为当 =3 时,代入上式解得 y=2于是 )解析:(2).求矩阵 P,使(AP) T(AP)为对角矩阵(分数:6.00)_正确答案:(由 AT=A,得(AP) T(AP)=PTA2P,而矩阵 考虑二次型令 y1=x1,y 2=x2, ,y 4=x4,得取 ,则有 )解析:考点 由定义有|3E-A|=0,由此可定出参数 y考虑到 A2为对称矩阵,而(AP) T(AP)=PTA2P,化其对角矩阵方法有两种:转化为对应二次型 xTA2x,通过非退化线性变换 x=Py 化为标准形,相应求出 P;或者求出 A2的特征值、单位化,最后构造出正交矩阵 P,本题所求 P 不唯一