1、考研数学二-155 及答案解析(总分：151.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是_Af(0)是极大值， 是极小值 Bf(0)是极小值， 是极大值Cf(0)是极大值， 也是极大值 Df(0)是极小值， （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在a，+)内连续，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.考察一元函数 f(x)的下列四条性质：f(x)在区间a，b上连续 f(x)在区间a，b上可积f(x)在区间a，b上存在原函数 f(x)在区间a，b上可导若用 PQ 表示可由性质 P 推出性质 Q，
2、则有_A B C D（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)=3x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_A0 B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C.D.5.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是_AB ，且CD ，且 （分数：4.00）A.B.C.D.6.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，其中 a 是比 x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则y(1)=_A B2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为反对称矩阵，且|A|0，B 可逆，A、B 为同阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则A TA*(B-1
3、)T-1=_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设向量组() 1， 2， s，其秩为 r1，向量组() 1， 2， s，其秩为 r2，且 i(i=1，2，s)均可以由 1， s线性表示，则_A向量组 1+ 1， 2+ 2， s+ s的秩为 r1+r2B向量组 1- 1， 2- 2， s- s的秩为 r1-r2C向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1+r2D向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)
4、=1，则 f“(2)=_（分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)=xex，则 f(n)(x)的极小值为_（分数：4.00）填空项 1:_11.设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz|(1，0) =_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.求 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在(0，3)，使
5、 f()=0（分数：10.00）_17.设 ，求 （分数：10.00）_18.已知连续函数 f(x)满足条件 （分数：10.00）_19.假设曲线 l1：y=1-x 2(0x1)与 x 轴，y 轴所围成区域被曲线 l2：y=ax 2分为面积相等的两部分，其中 a 是大于零的常数，试确定 a 的值（分数：10.00）_设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 （分数：11.00）(1).验证*；（分数：5.50）_(2).若 f(1)=0，f(1)=1，求函数 f(u)的表达式（分数：5.50）_20.设二元函数 ，计算二重积分 （分数：11.00）_设矩阵 A 与 B 相似，其
6、中 （分数：11.00）(1).求 x 与 y 的值；（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B（分数：5.50）_设矩阵 （分数：12.00）(1).已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；（分数：6.00）_(2).求矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵（分数：6.00）_考研数学二-155 答案解析(总分：151.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是_Af(0)是极大值， 是极小值 Bf(0)是极小值， 是极大值Cf(0)是极大值， 也是极大值 Df(0)是极小值， （
7、分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的最(极)大值、最(极)小值解析 因为 f(x)在 上可导，f(x)=xcosx0 在区间 上成立，所以函数 f(x)在区间 上单调增加所以 ，即 f(0)是最(极)小值，2.设 f(x)在a，+)内连续，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 函数的极限与有界性的关系解析 由 定义知，存在 x0a 使得 ax 0，+)时 f(x)有界，又 f(x)在a，x 0上连续，则 f(x)在a，x 0内有界，因此 f(x)在a，+)内有界，但 f(x)在a，+)内有界，3.考察一元函数 f(x)的下列四条性质：f(x)在区间a，b上连续 f
8、(x)在区间a，b上可积f(x)在区间a，b上存在原函数 f(x)在区间a，b上可导若用 PQ 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有_A B C D（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 函数的性质解析 f(x)在区间a，b上可导，则 f(x)在区间a，b上必连续，由 f(x)在区间a，b上连续可得到f(x)在区间a，b上可积的结论，同时也说明 f(x)在区间a，b上存在原函数，故选(C)4.设 f(x)=3x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_A0 B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 分段函数的高阶导数解析 3x 3处处任意阶可导，
9、只需考查 (x)=x 2|x|，它是分段函数，x=0 是连接点又 +(0)=(-x3)+|x=0=0， -(0)=(-x3)-|x=0=0 (0)=0；同理可得 ；即 因 y=|x|在 x=0 处不可导5.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是_AB ，且CD ，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 可微的充分条件和必要条件解析 选项(A)相当于已知 f(x，y)在点(0，0)处连续选项(B)相当于已知两个一阶偏导数 fx(0，0)，f y(0，0)存在，因此(A)，(B)均不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微，选项(D)相当于已知两个一阶偏导数 fx(
10、0，0)，f y(0，0)存在，但不能推导出两个一阶偏导数 fx(x，y)，f y(x，y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微，对于选项(C)，若 ，则 ，即 fx(0，0)=0同理有 fy(0，0)=0从而有6.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，其中 a 是比 x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则y(1)=_A B2 C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 导数定义、微分方程解析 由题设， ，且 是比 x(x0)高阶的无穷小从而 ，即 ，此为可分离变量的微分方程，则 ，两边积分得 ln|y|=arctanx+C由已知 y
11、(0)=，代入上式解得 C=ln，于是 y=e arctanx，因此7.设 A 为反对称矩阵，且|A|0，B 可逆，A、B 为同阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则A TA*(B-1)T-1=_A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的计算解析 8.设向量组() 1， 2， s，其秩为 r1，向量组() 1， 2， s，其秩为 r2，且 i(i=1，2，s)均可以由 1， s线性表示，则_A向量组 1+ 1， 2+ 2， s+ s的秩为 r1+r2B向量组 1- 1， 2- 2， s- s的秩为 r1-r2C向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1+r2
12、D向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 向量组的秩解析 设二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，则 f“(2)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2e 3）解析：考点 一元复合函数求导法则解析 已知 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，f(x)=e f(x)，所以 f(x)在 x=2 的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x)二阶可导，且 f“(x)=ef(x)=f(x)ef(x)=e2f(x)于是 f“(x)也在 x=2 的
13、同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x)三阶可导，且 f“(x)=e2f(x)=2f(x)e2f(x)=2e3f(x)，将 f(2)=1 代入可得 f“(2)=2e310.设 f(x)=xex，则 f(n)(x)的极小值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 先求 n 阶导数，再求极值即可解析 f(x)=xe x，f(n)(x)=(n+x)ex，f(n+1)(x)=(n+1+x)ex，f(n+2)(x)=(n+2+x)ex，令 f(n+1)(x)=0，解得 f(n)(x)的驻点 x=-(n+1)，又 f(n+2)-(n+1)=n+2-(n+1)e-(n+1)=e-(
14、n+1)0，故 x=-(n+1)为 f(n)(x)的极小值点，11.设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz|(1，0) =_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy）解析：考点 全微分的四则运算、一阶全微分形式不变性解析 因为12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 导数的连续性解析 由题设，当 x0 时， 当 x=0 时，又因此，当 2 时，13. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 定积分计算解析 令 ，则 x=1-t2，dx=-2tdt，当 x=
15、0 时，t=1，当 x=1 时，t=0，于是14.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：考点 矩阵的秩解析 由题设，r(A)=3，则|A|=0，即从而 k=-3 或 k=1当 k=1 时，三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：考点 数列的极限16.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在(0，3)，使 f()=0（分数：10.00）_正确答案：(由题设，f(x)在0，3上连续，则 f(x)在0，2上也必然连续，则在0，2上 f(x)必有
16、最大值 M 和最小值 m，因而 mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M，从而 由连续函数的介值定理，知存在一点 0，2，使 由已知条件 f(0)+f(1)+f(2)=3，可推知 f()=1，因此 f()=f(3)=1，0，2由罗尔定理，知存在 (，3) )解析：考点 介值定理、微分中值定理17.设 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(由参数方程求导法知 ，)解析：考点 参数方程求导数18.已知连续函数 f(x)满足条件 （分数：10.00）_正确答案：(方程 )解析：考点 先在等式两边对 x 求导，消去变限积分，将原方程化为关于未知函数 f(x)的微分方程，再求解该微分方程19.假设曲线
17、 l1：y=1-x 2(0x1)与 x 轴，y 轴所围成区域被曲线 l2：y=ax 2分为面积相等的两部分，其中 a 是大于零的常数，试确定 a 的值（分数：10.00）_正确答案：(如图，由 ，得曲线 l1与曲线 l2的交点为 ，所求平面图形面积为S1 ， ，因为 S1=S2，所以 )解析：考点 先求出曲线 l1与曲线 l2的交点，然后利用定积分求平面图形面积的公式计算出 S1和 S2，由 S1=S2求 a 的值设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 （分数：11.00）(1).验证*；（分数：5.50）_正确答案：(用复合函数求导法验证，令 ，则，即 )解析：(2).若
18、f(1)=0，f(1)=1，求函数 f(u)的表达式（分数：5.50）_正确答案：(因为 (已证)，所以 uf“(u)+f(u)=0，即uf(u)=0，积分得 uf(u)=C1，由 f(1)=1C1=1，于是 ，再积分得 f(u)=lnu+C2由 f(1)=0 )解析：考点 二阶偏导数的计算20.设二元函数 ，计算二重积分 （分数：11.00）_正确答案：(设区域 D1=(x，y)|x|+|y|1，D 2=(x，y)|1|x|+|y|2则)解析：考点 二重积分的计算设矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：11.00）(1).求 x 与 y 的值；（分数：5.50）_正确答案：(因为 AB，故其
19、特征多项式相同，即|E-A|=|E-B|，(+2) 2-(x+1)+(x-2)=(+1)(-2)(-y)，令 =0，得 2(x-2)=2y，即 y=x-2，令 =1，得 y=-2从而 x=0)解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B（分数：5.50）_正确答案：(知 ，对应于 A 和 B 的共同的特征值-1、2、-2 的特征向量分别为 1=(0，2，-1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，0，-1) T，则可逆矩阵 )解析：考点 若 AB，则|E-A|=|E-B|对所有 均成立，由此可定出参数 x，y，故其特征多项式相同设矩阵 （分数：12.00）(1).已知 A 的一个特
20、征值为 3，试求 y；（分数：6.00）_正确答案：(因为当 =3 时，代入上式解得 y=2于是 )解析：(2).求矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵（分数：6.00）_正确答案：(由 AT=A，得(AP) T(AP)=PTA2P，而矩阵 考虑二次型令 y1=x1，y 2=x2， ，y 4=x4，得取 ，则有 )解析：考点 由定义有|3E-A|=0，由此可定出参数 y考虑到 A2为对称矩阵，而(AP) T(AP)=PTA2P，化其对角矩阵方法有两种：转化为对应二次型 xTA2x，通过非退化线性变换 x=Py 化为标准形，相应求出 P；或者求出 A2的特征值、单位化，最后构造出正交矩阵 P，本题所求 P 不唯一
