1、考研数学二-154 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，则（分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 F(x，y，z)具有连续偏导数，若从方程 F(x，y，z)=0 能分别解出函数 x=f(y，z)，y=g(z，x)与 z=h(x，y)，则未必有（分数：4.00）A.B.C.D.3.已知累次积分 其中 a0 为常数，则 I 可写成（分数：4.00）A.B.C.D.4.设可导函数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设方程组 在点(1，2，1)的某一邻域内确定隐函数 n(x，y，z)与 v(
2、x，y，z)，且 v(1，2，1)0，则在点(1，2，1)处 的值为（分数：4.00）A.B.C.D.6.以 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是(A) y+y+3y+5y=0. (B) y-y+3y+5y=0.(C) y+y-3y+5y=0. (D) y-y-3y+5y=0.（分数：4.00）A.B.C.D.7.下列矩阵中属于正定矩阵的是（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 n 维向量 1， 2， s的秩为 r，则下列命题正确的是(A) 1， 2， s中任何 r-1 个向量必线性无关(B) 1， 2， s中任何 r 个
3、向量必线性无关(C) 如果 sn，则 s必可由 1， 2， s-1线性表示(D) 如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 1， 2， s线性表示.（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设动点 P(x，y)在曲线 9y=4x2上运动，且坐标轴的单位长是 1cm如果 P 点横坐标的速率是 30cm/s，则当 P 点经过点(3，4)时，从原点到 P 点间距离 r 的变化率是_（分数：4.00）填空项 1:_12.已知 a，b 满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程
4、yy-2(y)2=0 满足条件 y(0)=1 与 y(0)=-1 的特解是_（分数：4.00）填空项 1:_14.已知 A 是 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A *)*的最大特征值是 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.确定常数 A 与 B 的值，使得函数 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， 且（分数：10.00）_17.设 f(x)在a，b上有二阶导数，且 f(x)0()证明至少存在一点 a，b，使()对()中的 a，b，求 （分数：10.00）_1
5、8.设函数 f(x)在0，+)内二阶可导，且 f(0)=f(0)=0，并当 x0 时满足xf(x)+3xf(x)21-e -x.求证： （分数：10.00）_19.求凹曲线 y=y(x)，使得曲线上任一点处的曲率 （分数：11.00）_20.设 u=f(2x+3y，z)，其中 f 具有二阶连续偏导数，而 z=z(x，y)是由方程 1 确定并满足 z(0，0)=1 的函数，求 结果用 （分数：10.00）_21. （分数：11.00）_22. （分数：12.00）_23.设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且 A3=3A-2A 2.证明：()矩阵 B=(，A，
6、A 4)可逆；() B TB 是正定矩阵，（分数：10.00）_考研数学二-154 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 用排除法取 f(x)=arctanx，则(A)不对2.设函数 F(x，y，z)具有连续偏导数，若从方程 F(x，y，z)=0 能分别解出函数 x=f(y，z)，y=g(z，x)与 z=h(x，y)，则未必有（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 把 F(x，y，z)=0 看成关于(x，y)的恒等式，并将恒等式两边求微分，
7、由一阶全微分形式不变性即得从而不选(A)3.已知累次积分 其中 a0 为常数，则 I 可写成（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oxy 直角坐标系下的累次积分的问题4.设可导函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令 t=0，由题设方程可得 x(0)=0在题设方程两边对 t 求导，得cost-fx(t)x(t)+f(t)=0， (*)在(*)式中令 t=0，可得 x(0)=2在(*)两边再对 t 求导，得-sint-fx(t)x(t)2-fx(t)x(t)+f(t)=0， (*)在(*)式中令 t=0，可得 x(0)=-3故选(C)
8、.5.设方程组 在点(1，2，1)的某一邻域内确定隐函数 n(x，y，z)与 v(x，y，z)，且 v(1，2，1)0，则在点(1，2，1)处 的值为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用一阶全微分形式不变性将方程组每个方程两端求全微分得再由原隐函数方程组确定在点(1，2，1)处 u 与 v 的函数值，为此将 x=1，y=2 与 z=l 代入即知，u(1，2，1)与 v(1，2，1)满足方程组不难解得 u(1，2，1)=v(1，2，1)=1将它们代入(*)方程组就得到在点(1，2，1)处函数 u 与 v 的全微分满足6.以 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=
9、e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是(A) y+y+3y+5y=0. (B) y-y+3y+5y=0.(C) y+y-3y+5y=0. (D) y-y-3y+5y=0.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 线性无关特解 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x对应于特征根 1=1+2i， 2=1-2i 与3=-1，由此可得特征方程是7.下列矩阵中属于正定矩阵的是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 正定的充分必要条件是顺序主子式全大于 0，正定的必要条件是 aii0(C)中 a33=-10，必不正定；(A)中二阶顺序主子式8.设 n 维向
10、量 1， 2， s的秩为 r，则下列命题正确的是(A) 1， 2， s中任何 r-1 个向量必线性无关(B) 1， 2， s中任何 r 个向量必线性无关(C) 如果 sn，则 s必可由 1， 2， s-1线性表示(D) 如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 1， 2， s线性表示.（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：. ）解析：解析 10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 令 可用三种不同的方法来求 I第一种方法最直接，首先从 f(x)=arcsin(1-x
11、)用积分法求出函数 f(x)，然后再计算 I，第二种方法是利用变限定积分表示函数 f(x)可得 把它代入 I 后交换所得累次积分的积分次序即可求得，的值第三种方法是利用分部积分法计算 I，比较起来，后两种方法比较简单.方法 1 首先求函数 f(x)，由 f(x)=arcsin(1-x)与 f(0)=0 可得代入即得其中 D=(x，y) |0x1，0yx，因 D 又可表为 D=(x，y)|0y1，yx1，从而交换累次积分的积分次序即得11.设动点 P(x，y)在曲线 9y=4x2上运动，且坐标轴的单位长是 1cm如果 P 点横坐标的速率是 30cm/s，则当 P 点经过点(3，4)时，从原点到
12、P 点间距离 r 的变化率是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：82(cm/s)）解析：解析 这是相关变化率的问题x，y 以及原点到 P 点的距离 都是时间 t 的函数，在等式9y=4x2和 两边对 t 求导，得 用 x=3，y=4， 代入以上两式，即可解出12.已知 a，b 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为故常数 a 与 b 除满足 a0b 外还满足 a2+b2=1又曲线 y=x2+ax 与直线 y=bx 交于 x=0 与 x=b-a，从而它们所围图形的面积为与-1，当 a=0 时 b=1，此时 当 a=-1 时 b=0，此时 故所求面积的
13、最大值13.微分方程 yy-2(y)2=0 满足条件 y(0)=1 与 y(0)=-1 的特解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 14.已知 A 是 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A *)*的最大特征值是 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：18）解析：解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.确定常数 A 与 B 的值，使得函数 （分数：10.00）_正确答案：(改写函数 f(x)可得)解析：16.设函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， 且（分数：10.00）_正确答案：(
14、题设中等式左端的极限为 1 型，先转化成()证法 1 因 f(x)在(0，+)连续，又 所以 f(x)在(0，+)上有界证法 2 当 x(0，+)时显然有 即 f(x)在(0，+)有下界为证明 f(x)在(0，+)也有上界可利用熟知的不等式：当 从而当 0)解析：17.设 f(x)在a，b上有二阶导数，且 f(x)0()证明至少存在一点 a，b，使()对()中的 a，b，求 （分数：10.00）_正确答案：(故由闭区间上连续函数的性质知存在 a，b，使得 ()=0，即于是将 b 看作变量，分别对右端分式两次应用洛必达法则即得)解析：18.设函数 f(x)在0，+)内二阶可导，且 f(0)=f(
15、0)=0，并当 x0 时满足xf(x)+3xf(x)21-e -x.求证： （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 由泰勒公式得( *)分析与证明二 因此为证(* *)式，只需证 1-f(x)0(x0)，即 f(x)1(x0)现如同前面所证 f(x)1(x0)，于是 F(x)=1-f(x)0(x0) F(x)在0，+)单调增加F(0)=0(x0)，19.求凹曲线 y=y(x)，使得曲线上任一点处的曲率 （分数：11.00）_正确答案：(由题意知)解析：20.设 u=f(2x+3y，z)，其中 f 具有二阶连续偏导数，而 z=z(x，y)是由方程 1 确定并满足 z(0，0)=1 的函数
16、，求 结果用 （分数：10.00）_正确答案：(u 与 x，y 的变量依赖关系如图，其中 z 与 x，y 的函数关系由以下方程确定：)解析：21. （分数：11.00）_正确答案：(解法一 解法二 为简化计算将积分区域 D 表示为 D=D1/D2，其中 D1是上半圆域(x-2) 2+y24 且 y0 中横坐标满足 0x2 的四分之一圆域，即 D1=(x，y)|0x2，0y D2是上半圆域(x-1) 2+y21 且 y0，即 D2=(x，y)|0x2，0y 从而故 )解析：22. （分数：12.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式)解析：23.设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量
17、组 ，A，A 2 线性无关，且 A3=3A-2A 2.证明：()矩阵 B=(，A，A 4)可逆；() B TB 是正定矩阵，（分数：10.00）_正确答案：(由于 A3=3A-2A 2，故A4=3A 2-2A 3=3A 2-2(3A-2A 2)=7A 2-6A.若 k1+k 2A+k3A 4=0，即 k1+k 2A+k 3(7A2-6A)=0，亦即 k1+(k 2-6k3)A+7k 3A2=0，因为 ，A，A 2 线性无关，故所以，A，A 4 线性无关，因而矩阵 B 可逆()因为(B TB)T=BT(BT)T=BTB，故 BTB 是对称矩阵又 由于矩阵 B 可逆，恒有 Bx0，那么恒有 xT(BTB)x=(Bx)T(Bx)0，故二次型 xT(BTBx)x 是正定二次型，从而矩阵 BTB 是正定矩阵)解析：
