1、考研数学二-153 及答案解析(总分:47.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:24.00)1.若 x0 时,F(x)= (分数:4.00)填空项 1:_2.设 (分数:4.00)填空项 1:_3.设函数 z=f(x,y)的二阶偏导数存在, ,且 f(x,0)=1, (分数:4.00)填空项 1:_4.微分方程 y+4y+4y=e-2x的通解为_(分数:4.00)填空项 1:_5.设 y=y(x),如果 (分数:4.00)填空项 1:_6.设三阶方阵 A=(, 1, 2),B=(, 1, 2),其中 , 1, 2均为三维列向量,且A=2,B=4,则2A-3B=_(分数:4
2、.00)填空项 1:_二、选择题(总题数:8,分数:32.00)7.若 存在,下列哪一个条件能推出 存在_A 存在 B 存在C 存在. D (分数:4.00)A.B.C.D.8.设函数 f(x),g(x)在 a点的某邻域内二阶可导,且 f(a)=g(a)=0,f(a)0,g(a)0,令 (分数:4.00)A.B.C.D.9.曲线 y=x(x-1)3(x-2)与 x轴所围成的平面图形的面积为_(分数:4.00)A.B.C.D.10.已知反常积分 和 (分数:4.00)A.B.C.D.11.设 D是由曲线 与直线 y=-x所围成的区域,D 1是 D在第二象限的部分, _C (分数:4.00)A.B
3、.C.D.12. 交换积分次序后为_(分数:4.00)A.B.C.D.13.如果向量 可由向量组 1, 2,线线性表示,则_A存在一组不全为零的数 k1,k 2,k S,使得 =k 1 1+k2 2+ks s成立B存在一组全为零的数 k1,k 2,k S,使得 =k 1 1+k2 2+ks s成立C该线性表达式唯一D以上均不对(分数:4.00)A.B.C.D.14.设 , 为三维非零的正交向量,且 A= T,则 A的线性无关的特征向量个数为_A1 个 B2 个 C3 个 D不确定(分数:4.00)A.B.C.D.三、解答题(总题数:9,分数:-9.00)15.求极限 (分数:-1.00)_16
4、.一个冬季的早晨开始下雪,且以恒定的速度不停地下一台扫雪机从上午 8点开始在公路上扫雪,到9点前进了 2km,到 10点前进了 3km假定扫雪机每个小时扫去积雪的体积为常数,问何时开始下雪?(分数:-1.00)_17.证明:x n+xn-1+x=1(n1)在(0,1)内必有唯一实根 xn,并求 (分数:-1.00)_18.设函数 f(x)在区间0,1上可导,且 f(0)=0,f(1)=1证明:在区间0,1上存在两点 x1,x 2,使(分数:-1.00)_19.设函数 f(x)在(-,+)有界且导数连续,又对于任意实数 x有f(x)+f(x)1试证明:f(x)1(分数:-1.00)_20.计算
5、(分数:-1.00)_21.求微分方程 xdy+(x-2y)dx=0的一个解 y=y(x),使得由曲线 y=y(x)与直线 x=1,x=2 以及 x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周形成的旋转体体积最小(分数:-1.00)_22.设 A= (分数:-1.00)_23.设 A为三阶矩阵, 1, 2, 3为对应特征值 1, 2, 3的特征向量,令 = 1+ 2+ 3若 1, 2, 3为 Bx=0基础解系,试求 ,A,A 2 也为 Bx=0的基础解系的条件(分数:-1.00)_考研数学二-153 答案解析(总分:47.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:24.00)1.若 x0
6、 时,F(x)= (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:解析 由题设可知,故 f(0)=2.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:e+1)解析:解析 3.设函数 z=f(x,y)的二阶偏导数存在, ,且 f(x,0)=1, (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:y 2+xy+1)解析:解析 由 ,可得 =2y+C1(x),由 即又 f(x,0)=14.微分方程 y+4y+4y=e-2x的通解为_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:解析 特征方程为 2+4+4=0 1=2=-2,所以原方程对应的齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x
7、由于非齐次项为 e-2x,所以可设特解为 y*=Ax2e-2x,于是有y*=2Axe-2x-2Ax2e-2x,y *=2Ae-2x-8Axe-2x+4Ax2e-2x,代入方程 y+4y+4y=e-2x可解得 A= ,即 y*所以所求方程的通解为 y=(C1+C2x)e-2x+5.设 y=y(x),如果 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:e -x)解析:解析 由题设可得即(ydx) 2=y2 ydx=y 两边再求导得6.设三阶方阵 A=(, 1, 2),B=(, 1, 2),其中 , 1, 2均为三维列向量,且A=2,B=4,则2A-3B=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答
8、案:-4)解析:解析 4A-3B=4(, 1, 2)-3(, 1, 2)=4-3, 1, 2=4, 1, 1-3, 1), 2=42-34=-4二、选择题(总题数:8,分数:32.00)7.若 存在,下列哪一个条件能推出 存在_A 存在 B 存在C 存在. D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 因为 (2an+5b,均存在,可推出 存在,故选 D另外,本题也可用举反例排除法求解令 可排除 A,B;令8.设函数 f(x),g(x)在 a点的某邻域内二阶可导,且 f(a)=g(a)=0,f(a)0,g(a)0,令 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 (x)=f(x)g(x
9、),则 (a)=09.曲线 y=x(x-1)3(x-2)与 x轴所围成的平面图形的面积为_(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 显然,y=x(x-1) 3(x-2)的零点为 x=0,1,2,所以由平面图形的面积公式可知s= x(x-1) 3(x-2)dx,当 0x1 时,y=x(x-1) 3(x-2)0;当 1x2 时,y=x(x-1) 3(x-2)0,故10.已知反常积分 和 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 因为级数 与反常积分11.设 D是由曲线 与直线 y=-x所围成的区域,D 1是 D在第二象限的部分, _C (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 作
10、出 D的图形如下作辅助线 y=x,则 D被分成两个子区域,而每个子区域又被坐标轴分成两个小区域,D 1与 D2关于 y轴对称,D3与 D4关于 x轴对称,又 xsiny关于 x,y 为奇函数,所以而 ycosx关于 x为偶函数,关于 Y为奇函数,所以故12. 交换积分次序后为_(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 由题设可画出积分区域,如下图中阴影所示:所以原积分13.如果向量 可由向量组 1, 2,线线性表示,则_A存在一组不全为零的数 k1,k 2,k S,使得 =k 1 1+k2 2+ks s成立B存在一组全为零的数 k1,k 2,k S,使得 =k 1 1+k2 2+ks s
11、成立C该线性表达式唯一D以上均不对(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由定义可得存在一组数 k1,k 2,k s,使得 =k 1 1+k2 2+ks s成立,k1,k 2,k s是否为零不确定,可排除 A,B,此外,因为题设中 1, 2, s并没有说明是线性无关的,所以表达式不一定唯一,可排除 C故选 D14.设 , 为三维非零的正交向量,且 A= T,则 A的线性无关的特征向量个数为_A1 个 B2 个 C3 个 D不确定(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 因为 , 为三维的非零正交列向量,所以有 T=0, T=0而 A2= T T=( T) T=( T) T=O设
12、A的特征向量为 ,则 2为 A2的特征向量,于是有 2=0 =0而由 A= T三、解答题(总题数:9,分数:-9.00)15.求极限 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解析 16.一个冬季的早晨开始下雪,且以恒定的速度不停地下一台扫雪机从上午 8点开始在公路上扫雪,到9点前进了 2km,到 10点前进了 3km假定扫雪机每个小时扫去积雪的体积为常数,问何时开始下雪?(分数:-1.00)_正确答案:()解析:解析 设 h(t)为从开始下雪起到时刻 t时的积雪深度,则 =C(常数)设 x(t)为扫雪机从开始下雪起到时刻 t走过的距离,则 (扫雪机前进的速度由 ,可得h=Ct+C1因为 t=
13、0时,h=0,故 C1=0,从而 h=Ct代入 可得积分得 x=Alnt+B.将 t=T时,x=0;t=T+1 时,x=2;t=T+2 时,x=3.代入上式可得解方程组可得17.证明:x n+xn-1+x=1(n1)在(0,1)内必有唯一实根 xn,并求 (分数:-1.00)_正确答案:(证 f n(x)=xn+xn-1+x-1,f n(0)=-1,f n(1)=n-10,而 fn(x)连续,则由介值定理可得 fn(x)在(0,1)内有零点又 (x)=nxn-1+(n-1)xn-2+10,则 fn(x)单调增加,所以 fn(x)在(0,1)内有唯一零点,记为 xn于是有式-式得由于 Q内均是正
14、项,故 Q0,又 0,所以xn-xn-10,即 xnx n-1,即x n)单调递减且有下界,故有极限,设为 a由可得 )解析:18.设函数 f(x)在区间0,1上可导,且 f(0)=0,f(1)=1证明:在区间0,1上存在两点 x1,x 2,使(分数:-1.00)_正确答案:(证 因为 f(x)在0,1上连续,且 f(0)-0,f(1)=1,所以由介值定理可知,存在 (0,1),使得 f()= ,又 f(x)在区间0,及,1上均满足拉格朗日中值定理条件,故分别存在 x1(0,),x 2(,1),使于是 )解析:19.设函数 f(x)在(-,+)有界且导数连续,又对于任意实数 x有f(x)+f(
15、x)1试证明:f(x)1(分数:-1.00)_正确答案:(证 作辅助函数 F(x)=exf(x),则 F(x)=exf(x)+f(x)得F(x)e x,即-e xF(x)e x,则有)解析:20.计算 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解析 其中21.求微分方程 xdy+(x-2y)dx=0的一个解 y=y(x),使得由曲线 y=y(x)与直线 x=1,x=2 以及 x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周形成的旋转体体积最小(分数:-1.00)_正确答案:()解析:解析 原方程可化为 利用求解公式,得通解于是旋转体体积为为唯一极小值点,也是最小值点,故22.设 A= (分数:-1.00)
16、_正确答案:()解析:解析 由2E+A=0 9(a-6)=0 a=6E-A=(-7) 2(+2)=0 1= 2=7, 3=-2,解得特征向量: 1=(1,-2,0) T, 2=(1,0,-1) T, 3=(2,1,2) T,将 1, 2正交化: 1=再单位化 1, 2, 3:令 Q= 1, 2, 3,则 QTAQ=A23.设 A为三阶矩阵, 1, 2, 3为对应特征值 1, 2, 3的特征向量,令 = 1+ 2+ 3若 1, 2, 3为 Bx=0基础解系,试求 ,A,A 2 也为 Bx=0的基础解系的条件(分数:-1.00)_正确答案:()解析:解析 若 1, 2, 3为 Bx=0基础解系,则 B 1=0,B 2=0,B 3=0则 B=B( 1+ 2+ 3)=1+2+3=0,BA=BA( 1+ 1+ 1)= 1B 1+ 2B 2+ 3B 3=0,BA2=BA 2( 1+ 2+ 3)=所以 ,A,A 2 也为 Bx=0的解则 ,A,A 2 也为 Bx=0的基础解系的条件为 ,A,A 2 线性无关令 k1+k 2A+k 3A2=0,则k1( 1+ 2+ 3)+K2( 1 1+ 2 2+ 3 3)+ =0整理后得因为 1, 2, 3为基础解系,从而线性无关,所以故上述方程组仅有零解的充要条件为系数矩阵行列式非零,即