1、考研数学二-153 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.若 x0 时，F(x)= （分数：4.00）填空项 1:_2.设 （分数：4.00）填空项 1:_3.设函数 z=f(x，y)的二阶偏导数存在， ，且 f(x，0)=1， （分数：4.00）填空项 1:_4.微分方程 y+4y+4y=e-2x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_5.设 y=y(x)，如果 （分数：4.00）填空项 1:_6.设三阶方阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2均为三维列向量，且A=2，B=4，则2A-3B=_（分数：4
2、.00）填空项 1:_二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.若 存在，下列哪一个条件能推出 存在_A 存在 B 存在C 存在. D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)，g(x)在 a点的某邻域内二阶可导，且 f(a)=g(a)=0，f(a)0，g(a)0，令 （分数：4.00）A.B.C.D.9.曲线 y=x(x-1)3(x-2)与 x轴所围成的平面图形的面积为_（分数：4.00）A.B.C.D.10.已知反常积分 和 （分数：4.00）A.B.C.D.11.设 D是由曲线 与直线 y=-x所围成的区域，D 1是 D在第二象限的部分， _C （分数：4.00）A.B
3、.C.D.12. 交换积分次序后为_（分数：4.00）A.B.C.D.13.如果向量 可由向量组 1， 2，线线性表示，则_A存在一组不全为零的数 k1，k 2，k S，使得 =k 1 1+k2 2+ks s成立B存在一组全为零的数 k1，k 2，k S，使得 =k 1 1+k2 2+ks s成立C该线性表达式唯一D以上均不对（分数：4.00）A.B.C.D.14.设 ， 为三维非零的正交向量，且 A= T，则 A的线性无关的特征向量个数为_A1 个 B2 个 C3 个 D不确定（分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.求极限 （分数：-1.00）_16
4、.一个冬季的早晨开始下雪，且以恒定的速度不停地下一台扫雪机从上午 8点开始在公路上扫雪，到9点前进了 2km，到 10点前进了 3km假定扫雪机每个小时扫去积雪的体积为常数，问何时开始下雪?（分数：-1.00）_17.证明：x n+xn-1+x=1(n1)在(0，1)内必有唯一实根 xn，并求 （分数：-1.00）_18.设函数 f(x)在区间0,1上可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：在区间0，1上存在两点 x1，x 2，使（分数：-1.00）_19.设函数 f(x)在(-，+)有界且导数连续，又对于任意实数 x有f(x)+f(x)1试证明：f(x)1（分数：-1.00）_20.计算
5、（分数：-1.00）_21.求微分方程 xdy+(x-2y)dx=0的一个解 y=y(x)，使得由曲线 y=y(x)与直线 x=1，x=2 以及 x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周形成的旋转体体积最小（分数：-1.00）_22.设 A= （分数：-1.00）_23.设 A为三阶矩阵， 1， 2， 3为对应特征值 1， 2， 3的特征向量，令 = 1+ 2+ 3若 1， 2， 3为 Bx=0基础解系，试求 ，A，A 2 也为 Bx=0的基础解系的条件（分数：-1.00）_考研数学二-153 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.若 x0
6、 时，F(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由题设可知，故 f(0)=2.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e+1）解析：解析 3.设函数 z=f(x，y)的二阶偏导数存在， ，且 f(x，0)=1， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y 2+xy+1）解析：解析 由 ，可得 =2y+C1(x)，由 即又 f(x，0)=14.微分方程 y+4y+4y=e-2x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 特征方程为 2+4+4=0 1=2=-2，所以原方程对应的齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x
7、由于非齐次项为 e-2x，所以可设特解为 y*=Ax2e-2x，于是有y*=2Axe-2x-2Ax2e-2x，y *=2Ae-2x-8Axe-2x+4Ax2e-2x，代入方程 y+4y+4y=e-2x可解得 A= ，即 y*所以所求方程的通解为 y=(C1+C2x)e-2x+5.设 y=y(x)，如果 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -x）解析：解析 由题设可得即(ydx) 2=y2 ydx=y 两边再求导得6.设三阶方阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2均为三维列向量，且A=2，B=4，则2A-3B=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答
8、案：-4）解析：解析 4A-3B=4(， 1， 2)-3(， 1， 2)=4-3， 1， 2=4， 1， 1-3， 1)， 2=42-34=-4二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.若 存在，下列哪一个条件能推出 存在_A 存在 B 存在C 存在. D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 (2an+5b，均存在，可推出 存在，故选 D另外，本题也可用举反例排除法求解令 可排除 A，B；令8.设函数 f(x)，g(x)在 a点的某邻域内二阶可导，且 f(a)=g(a)=0，f(a)0，g(a)0，令 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 (x)=f(x)g(x
9、)，则 (a)=09.曲线 y=x(x-1)3(x-2)与 x轴所围成的平面图形的面积为_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然，y=x(x-1) 3(x-2)的零点为 x=0，1，2，所以由平面图形的面积公式可知s= x(x-1) 3(x-2)dx，当 0x1 时，y=x(x-1) 3(x-2)0；当 1x2 时，y=x(x-1) 3(x-2)0，故10.已知反常积分 和 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为级数 与反常积分11.设 D是由曲线 与直线 y=-x所围成的区域，D 1是 D在第二象限的部分， _C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 作
10、出 D的图形如下作辅助线 y=x，则 D被分成两个子区域，而每个子区域又被坐标轴分成两个小区域，D 1与 D2关于 y轴对称，D3与 D4关于 x轴对称，又 xsiny关于 x，y 为奇函数，所以而 ycosx关于 x为偶函数，关于 Y为奇函数，所以故12. 交换积分次序后为_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由题设可画出积分区域，如下图中阴影所示：所以原积分13.如果向量 可由向量组 1， 2，线线性表示，则_A存在一组不全为零的数 k1，k 2，k S，使得 =k 1 1+k2 2+ks s成立B存在一组全为零的数 k1，k 2，k S，使得 =k 1 1+k2 2+ks s
11、成立C该线性表达式唯一D以上均不对（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由定义可得存在一组数 k1，k 2，k s，使得 =k 1 1+k2 2+ks s成立，k1，k 2，k s是否为零不确定，可排除 A，B，此外，因为题设中 1， 2， s并没有说明是线性无关的，所以表达式不一定唯一，可排除 C故选 D14.设 ， 为三维非零的正交向量，且 A= T，则 A的线性无关的特征向量个数为_A1 个 B2 个 C3 个 D不确定（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 ， 为三维的非零正交列向量，所以有 T=0， T=0而 A2= T T=( T) T=( T) T=O设
12、A的特征向量为 ，则 2为 A2的特征向量，于是有 2=0 =0而由 A= T三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.求极限 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 16.一个冬季的早晨开始下雪，且以恒定的速度不停地下一台扫雪机从上午 8点开始在公路上扫雪，到9点前进了 2km，到 10点前进了 3km假定扫雪机每个小时扫去积雪的体积为常数，问何时开始下雪?（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 设 h(t)为从开始下雪起到时刻 t时的积雪深度，则 =C(常数)设 x(t)为扫雪机从开始下雪起到时刻 t走过的距离，则 (扫雪机前进的速度由 ，可得h=Ct+C1因为 t=
13、0时，h=0，故 C1=0，从而 h=Ct代入 可得积分得 x=Alnt+B.将 t=T时，x=0；t=T+1 时，x=2；t=T+2 时，x=3.代入上式可得解方程组可得17.证明：x n+xn-1+x=1(n1)在(0，1)内必有唯一实根 xn，并求 （分数：-1.00）_正确答案：(证 f n(x)=xn+xn-1+x-1，f n(0)=-1，f n(1)=n-10，而 fn(x)连续，则由介值定理可得 fn(x)在(0，1)内有零点又 (x)=nxn-1+(n-1)xn-2+10，则 fn(x)单调增加，所以 fn(x)在(0，1)内有唯一零点，记为 xn于是有式-式得由于 Q内均是正
14、项，故 Q0，又 0，所以xn-xn-10，即 xnx n-1，即x n)单调递减且有下界，故有极限，设为 a由可得 )解析：18.设函数 f(x)在区间0,1上可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：在区间0，1上存在两点 x1，x 2，使（分数：-1.00）_正确答案：(证 因为 f(x)在0，1上连续，且 f(0)-0，f(1)=1，所以由介值定理可知，存在 (0，1)，使得 f()= ，又 f(x)在区间0，及，1上均满足拉格朗日中值定理条件，故分别存在 x1(0，)，x 2(，1)，使于是 )解析：19.设函数 f(x)在(-，+)有界且导数连续，又对于任意实数 x有f(x)+f(
15、x)1试证明：f(x)1（分数：-1.00）_正确答案：(证 作辅助函数 F(x)=exf(x)，则 F(x)=exf(x)+f(x)得F(x)e x，即-e xF(x)e x，则有)解析：20.计算 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 其中21.求微分方程 xdy+(x-2y)dx=0的一个解 y=y(x)，使得由曲线 y=y(x)与直线 x=1，x=2 以及 x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周形成的旋转体体积最小（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 原方程可化为 利用求解公式，得通解于是旋转体体积为为唯一极小值点，也是最小值点，故22.设 A= （分数：-1.00）
16、_正确答案：()解析：解析 由2E+A=0 9(a-6)=0 a=6E-A=(-7) 2(+2)=0 1= 2=7， 3=-2，解得特征向量： 1=(1，-2，0) T， 2=(1，0，-1) T， 3=(2，1，2) T，将 1， 2正交化： 1=再单位化 1， 2， 3：令 Q= 1， 2， 3，则 QTAQ=A23.设 A为三阶矩阵， 1， 2， 3为对应特征值 1， 2， 3的特征向量，令 = 1+ 2+ 3若 1， 2， 3为 Bx=0基础解系，试求 ，A，A 2 也为 Bx=0的基础解系的条件（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 若 1， 2， 3为 Bx=0基础解系，则 B 1=0，B 2=0，B 3=0则 B=B( 1+ 2+ 3)=1+2+3=0，BA=BA( 1+ 1+ 1)= 1B 1+ 2B 2+ 3B 3=0，BA2=BA 2( 1+ 2+ 3)=所以 ，A，A 2 也为 Bx=0的解则 ，A，A 2 也为 Bx=0的基础解系的条件为 ，A，A 2 线性无关令 k1+k 2A+k 3A2=0，则k1( 1+ 2+ 3)+K2( 1 1+ 2 2+ 3 3)+ =0整理后得因为 1， 2， 3为基础解系，从而线性无关，所以故上述方程组仅有零解的充要条件为系数矩阵行列式非零，即
