1、考研数学二-152 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_2. 在 （分数：4.00）填空项 1:_3.微分方程(y+x 3)dx-xdy=0，则满足 y x=1=1的解为_（分数：4.00）填空项 1:_4.设 （分数：4.00）填空项 1:_5.设 D是由曲线 x=y2和 所围成的平面区域， （分数：4.00）填空项 1:_6.三阶矩阵 A满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij为代数余子式，且 a110，则A=_（分数：4.00）填空项 1:_二、选择题(总题数：8，分数：32.
2、00)7.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设常数 k0，函数 f(x) （分数：4.00）A.B.C.D.9.设 f(x)连续，且满足 则 f(x)_A存在极小值 B存在极大值C存在极小值 D存在极大值 （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 f(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.11.设 (x)为区间0，1上的正值连续函数，a 与 b为任意常数，区域D=(x，y)0x，y1， _Aa BbCa+b D （分数：4.00）A.B.C.D.12.函数 f(x，y)= （分数：4.00）A.B.C.D.13.设 A，B 都是 n阶可逆矩阵，则下列选项中正确的是_AA+B 可
3、逆 BA=BCA 经过行的初等变换可变为 B D存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B（分数：4.00）A.B.C.D.14.已知向量 ， 线性无关，则 k1 是 +k，+k，+ 线性无关的_A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D无关条件（分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 f(x)在 x=12的邻域内为可导函数，且 求极限 （分数：-1.00）_16.证明： 其中 a大于 1，x表示不超过 x的最大整数并求出 （分数：-1.00）_17.设 f(x)在0，1上连续()证明：至少存在一个 (0，1)，使得 f()(1-)= （分数：
4、-1.00）_18.求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+6=0所确定的隐函数 z=z(x，y)的极值（分数：-1.00）_19.设 ba0，证明： （分数：-1.00）_20.已知 f(t)= （分数：-1.00）_21.一条长度为 a，粗细均匀(设每单位长的质量为 u1)的光滑金属细链放在光滑的水平桌面上开始时，使其长度为 b的一边跨越桌边，悬空吊着，如图所示问：要使细链全部滑过桌面需要多少时间?（分数：-1.00）_22.已知 1=(1，2，0)， 2=(1，a+2，-3a)， 3=(-1，b+2，a+2b)，及 =(1，3，-3)，求：()a，b 为何值时， 不能表示成 1， 2
5、， 3的线性组合；()a，b 为何值时， 有 1， 2， 3的唯一线性表示，并写出该表达式（分数：-1.00）_23.设 A是二阶矩阵， 为非零向量，但不是 A的特征向量，且满足 A2+A-2=0证明：()，A 线性无关；()A 可对角化（分数：-1.00）_考研数学二-152 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 2. 在 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由题设可得 x=a(1-cost)，x=asint，y=asint，yy=acost，代
6、入曲率公式可得3.微分方程(y+x 3)dx-xdy=0，则满足 y x=1=1的解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 微分方程(y+x 3)dx-xdy=0满足 y x=1=1，(y+x3)dx-xdy=0可变形为此为一阶线性微分方程，其解为将 y x=1=1代入上式可得 C=-故所求解为4.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-dy+dy）解析：解析 5.设 D是由曲线 x=y2和 所围成的平面区域， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 因为积分区域 D关于 x轴对称，被积函数 是 y的奇函数，所以6.三阶矩阵 A满足
7、aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij为代数余子式，且 a110，则A=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 由 aij=Aij(i，j=1，2，3)可得 A*=AT，于是AA*=AE AAT=AE，在等式两边取行列式可得A 2=A 3 A=0 或A=1，又A=a 11A11+a12A12+a13A13=二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 ()所以 y=0是曲线的水平渐近线；()所以 x=0是曲线的铅直渐近线；()8.设常数 k0，函数 f(x) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析
8、 因为 f(0+)=-，又所以 f(e)=k0 为极大值，且9.设 f(x)连续，且满足 则 f(x)_A存在极小值 B存在极大值C存在极小值 D存在极大值 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 两边对 x求导得f(x)+2f(x)=2x，此为一阶线性微分方程，解之可得10.设 f(x)= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 f(x)和 g(x)均为变限积分，可先求导，然后再比较11.设 (x)为区间0，1上的正值连续函数，a 与 b为任意常数，区域D=(x，y)0x，y1， _Aa BbCa+b D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设可知，更换
9、 x和 y，积分值不变，即12.函数 f(x，y)= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 ()则 f(x，y)在(0，0)处偏导数存在所以 f(x，y)在(0，0)处连续()当 x2+y20 时，= 不存在.所以 lim丘(z，y)九(0，o)，即丘(z，y)在(0，0)处不连续，同理可证 (x，y)在(0，0)处不连续()13.设 A，B 都是 n阶可逆矩阵，则下列选项中正确的是_AA+B 可逆 BA=BCA 经过行的初等变换可变为 B D存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 A，B 都是 n阶可逆矩阵，则 A，B 均可经过行
10、的初等变换化为 n阶方阵 E，所以 A经过行的初等变换可变为 B，故选 C注 选项 D是两矩阵相似的条件，两矩阵同阶可逆推不出两矩阵相似及矩阵相等，可排除 B，D；选A=E，B=-E14.已知向量 ， 线性无关，则 k1 是 +k，+k，+ 线性无关的_A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D无关条件（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 (+k，+k，+)=(，)而三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 f(x)在 x=12的邻域内为可导函数，且 求极限 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 16.证明： 其中 a大于 1，x表示不超过 x的最大整数
11、并求出 （分数：-1.00）_正确答案：(证 )解析：17.设 f(x)在0，1上连续()证明：至少存在一个 (0，1)，使得 f()(1-)= （分数：-1.00）_正确答案：(证 ()令 F(x)=(1-x) (由分部积分得到)，则 F(0)=F(1)，南罗尔定理，知存在 ，使 F()=0，即 f()(1-)=()令 (x)=f(x)(1-x)- )解析：18.求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+6=0所确定的隐函数 z=z(x，y)的极值（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 在方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+6=0两边取微分可得4xdx+4ydy+2zdz+8(
12、xdz+zdx)-dz=0，整理可得 于是代入方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+6=0可得7z2+z-6=0 (7z-6)(z+1)=0 z1=-1，z 2=于是驻点为(2，0)和( ，0)且(B 2-AC) (2，0) 0，所以函数 z=z(x，y)在点(2，0)处取得极大值 z=-1又所以函数 z=z(x，y)在点( ，0)处取得极小值 z=19.设 ba0，证明： （分数：-1.00）_正确答案：(证 令 f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a)，xa.因为所以 f(x)当 xa 时单调递增，又 f(a)=0，于是 f(x)0所以 f(x)当 xa 时单调递增，又 f(
13、a)=0，故当 ba0 时，f(b)f(a)=0，即(a+b)(1nb-1na)-2(b-a)0亦即 )解析：20.已知 f(t)= （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 21.一条长度为 a，粗细均匀(设每单位长的质量为 u1)的光滑金属细链放在光滑的水平桌面上开始时，使其长度为 b的一边跨越桌边，悬空吊着，如图所示问：要使细链全部滑过桌面需要多少时间?（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 如图，使细链滑动的力为 u1xg，由牛顿第二定律得即使细链全部滑过桌面需要的时间为22.已知 1=(1，2，0)， 2=(1，a+2，-3a)， 3=(-1，b+2，a+2b)，及 =
14、(1，3，-3)，求：()a，b 为何值时， 不能表示成 1， 2， 3的线性组合；()a，b 为何值时， 有 1， 2， 3的唯一线性表示，并写出该表达式（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 ()设 =x 1 1+x2 2+x3 3，于是增广矩阵 A=当 a=0，且 b为任意常数时，有可知 r(A)r( )，故此时方程组无解，即 不能表示成 1， 2， 3的线性组合()当 a0 且 ab 时，r(A)=r( )=3，此时方程组有唯一解则 有 1， 2， 3的唯一线性表示，且23.设 A是二阶矩阵， 为非零向量，但不是 A的特征向量，且满足 A2+A-2=0证明：()，A 线性无关；()A 可对角化（分数：-1.00）_正确答案：(证 ()设存在走 k1，k 2，使得 k1-k 2A=0若 (因为 0)，若 是 A的特征向量，矛盾综上，可得 k1=k2=0，所以 ，A 线性无关.()由 A2+A-2=0 (A2+A-2E)=0，因为 是非零向量，所以齐次方程组(A 2+A-2E)x=0有非零解，于是有A 2+A-2E=0 A+2EA-E=0，即A+2E=0 或A-E=0若A+2E0，则由(A+2E)(A-E)=0 (A-E)=0 )解析：
