1、考研数学二-151 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3. （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列命题中正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y)有连续的偏导数且 f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数 u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是（分数：4.00）A.B.C.D.6.（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 1， 2， 3， 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0 基础解系的是(A)
2、1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1.(B) 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4+ 1.(C) 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1(D) 1， 2， 3， 4的等价向量组（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 P-1AP=B，若 A=，0，则（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 xa 时 (x)是 x-a 的 n 阶无穷小，u0 时 f(u)是 u 的 m 阶无穷小，则 xa 时 f(x)是 xa 的_阶无穷小（分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）12. （分数：
3、4.00）填空项 1:_13.设有摆线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积S=_（分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_16.设 f(x)，g(x)在(a，b)可微，g(x)0，且 求证：存在常数 C，使得 f(x)=Cg(x)()设 f(x)在(-，+)二阶可导，且 f(x)0，f(x)0(x(-，+)求证：f(x)为常数（分数：10.00）_17.设 D 是曲线 y=2x-x2与 x 轴围成的平面图形，直线 y
4、=kx 把 D 分成为 D1和 D2两部分(如图)，若 D1的面积 S1与 D2的面积 S2之比 S1:S2=1:7求平面图形 D1的周长以及 D1绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：10.00）_18. （分数：10.00）_19. （分数：11.00）_20. （分数：11.00）_21.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(x)0 ，求证：若 （分数：10.00）_22. （分数：11.00）_23.已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，设 =(1，2，-1) T且满足 A=2.()求该二次型表达式；()求正交变换 x=Qy 化二次型为标准
5、形，并写出所用坐标变换，得到属于 3=a+1 的特征向量 3=k3(2-a，-4a，(a+2) T，k 30如果 1， 2， 3互不相同，即 1-aa，1-aa+1，aa+1，即 则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A可以相似对角化，（分数：11.00）_考研数学二-151 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 这是一个 型未定式，使用洛必达法则，有故选(B)2.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查变上限定积分求导法、函数的极值以及曲线的拐点等有关知识因3.
6、（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查分段函数的连续性和可导性问题f(x)的定义域是(-，+)，它被分成两个子区间(-，0和(0，+)在(-，0内 f(x)=x2，因而它在(-，0上连续，在(-，0)内导函数连续，且 f_(0)=0；在(0，+)内 因而它在(0，+)内连续且导函数连续注意 确又因即 f(x)在 x=0 右导数 f+(0)存在且等于零，这表明 f(0)存在且等于零于是，f(x)在(-，+)上处处存在，可见(B)不正确4.下列命题中正确的是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 关于(A)、(B)，可从几何上考察图形，易知(A)错，(B)对5.设 f
7、(x，y)有连续的偏导数且 f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数 u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由已知 du=f(x，y)ydx+ f(x，y)xdy6.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 D 由直线 x+y=1 与圆周 x2+y2=1 所围成(它位于第一象限)，如图记 D 1=(x，y)|x 2+y21，x0，y0，D2=(x，y)|x+y1，x0，y0，显然 D=D 1D 2，于是故选(B)分析二 直接用极坐标变换(x=rcos，y=rsinD 的极坐标表示是7.已知 1， 2， 3， 4是齐次方程组 Ax=0 的基
8、础解系，则下列向量组中也是 Ax=0 基础解系的是(A) 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1.(B) 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4+ 1.(C) 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1(D) 1， 2， 3， 4的等价向量组（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关，例如向量组 1， 2， 3， 4， 1+ 2与向量组 1， 2， 3， 4等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系，故(D)不正确(B)、(C)均线性相关，因此不能是基础解系，故(B)与(C)也不正确注意到：( 1+ 2)-( 2- 3)-( 3-
9、 4)-( 4+ 1)=0，( 1+ 2)-( 2+ 3)+( 3- 4)+( 4- 1)=0，唯有(A)， 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1是 Ax=0 的解，又由8.已知 P-1AP=B，若 A=，0，则（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征值，故可排除(B)、(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 xa 时 (x)是 x-a 的 n 阶无穷小，u0 时 f(u)是 u 的 m 阶无穷小，则 xa 时 f(x)是 xa 的_阶无穷小（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：mn）解析：解析 10. （
10、分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 11. （分数：4.00）解析：解析 本题主要考查曲线凹凸性的概念以及利用二阶导数的符号判定曲线的凹凸性，不难求得12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 f(x)在0，1连续且可导，又13.设有摆线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积S=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：. ）解析：解析 由旋转面面积公式得14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00
11、)15. （分数：10.00）_正确答案：(先求出 f(x)的表达式)解析：16.设 f(x)，g(x)在(a，b)可微，g(x)0，且 求证：存在常数 C，使得 f(x)=Cg(x)()设 f(x)在(-，+)二阶可导，且 f(x)0，f(x)0(x(-，+)求证：f(x)为常数（分数：10.00）_正确答案：(即证 f(x)g(x)在(a，b)为常数由)解析：17.设 D 是曲线 y=2x-x2与 x 轴围成的平面图形，直线 y=kx 把 D 分成为 D1和 D2两部分(如图)，若 D1的面积 S1与 D2的面积 S2之比 S1:S2=1:7求平面图形 D1的周长以及 D1绕 y 轴旋转一
12、周所得旋转体的体积（分数：10.00）_正确答案：(于是 k=1，相应的交点是(1，1)注意这时 D1的边界由 y=x 上 0x1 的线段与曲线 y=2x-x2上 0x1 的弧构成，从而 D1的周长)解析：18. （分数：10.00）_正确答案：(这是二重积分的一个累次积分，其中D:0x1， 0y1-x，如图所示直接交换积分次序不能解决问题直接对累次积分，用分部积分法时，遇到求导 的困难有三条途径解决这些困难，方法 1 对内层积分作变量替换后交换积分次序，对内层积分， 内层积分并相应考察积分限得方法 2 对内层积分作变量替换后，对外层积分作分部积分如同方法 1，作变量替换后已转化成方法 3 改
13、用极坐标变换. D 的极坐标表示：)解析：19. （分数：11.00）_正确答案：( 则 u=u(r)先计算 )解析：20. （分数：11.00）_正确答案：(Y-y(x)=y(x)(X-x)，其中(X，Y)是切线上点的坐标. 在切线方程中令 Y=0，得 x 轴上的截距()下面求解. 这是不显含 x 的二阶方程，作变换 p=y，并以 y 为自变量得)解析：21.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(x)0 ，求证：若 （分数：10.00）_正确答案：(不妨设 g(x)0(x(a，b)，考察)解析：22. （分数：11.00）_正确答案：(当 时，此时(i)与(iii)同解.)解析：23.已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，设 =(1，2，-1) T且满足 A=2.()求该二次型表达式；()求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换，得到属于 3=a+1 的特征向量 3=k3(2-a，-4a，(a+2) T，k 30如果 1， 2， 3互不相同，即 1-aa，1-aa+1，aa+1，即 则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A可以相似对角化，（分数：11.00）_正确答案：(据已知条件，有)解析：
