1、考研数学二-150 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.设 （分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3.设 其中 f 是任意的二次可微函数，则（分数：4.00）填空项 1:_4. （分数：4.00）填空项 1:_5.设 （分数：4.00）填空项 1:_6.设 1， 2， 3是非齐次 4 元线性方程组 (a，b 为常数)的不同解，若 1= （分数：4.00）填空项 1:_二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.当 x时，函数 f(x) （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)=g(x)，x
2、(a，b)，已知曲线 y=g(x)的图像如下，则曲线 y=f(x)的极值点为_（分数：4.00）A.B.C.D.9.设函数 f(x)在0，+)上连续，且 f(x)0，令 （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 D=(x，y)x 2+y21，则二重积分 （分数：4.00）A.B.C.D.11.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y+py+qy=e2x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：4.00）A.B.C.D.12.利用变量 u=x， 可以把方程 化为新方程_（分数：4.00）A.B.C.D.13.设 1， 2， s是 Rn上一组线性相关的向量，但
3、1， 2， s中任意 s-1 个向量都线性无关，若存在常数 k1，k 2，k s，使得 （分数：4.00）A.B.C.D.14. 则必有_AP 1AP2=B BP 2AP1=BCP 1P2A=B DP 2P1A=B（分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.已知 （分数：-1.00）_16.设函数 f(u)在-u+内可导，且 f(0)=0，又 f(lnx)= （分数：-1.00）_17.设函数 f(x)在(a，b)内可导，x 1与 x2是(a，b)内的两点，g(x)由下式定义：（分数：-1.00）_18. （分数：-1.00）_19.证明： （分数：-1.
4、00）_20.设函数 f(x)连续，f(0)=1，令 F(t)= （分数：-1.00）_21.设 在第一象限内具有连续的二阶导数， 且 （分数：-1.00）_22.()设 1， 2， 1， 2均是三维列向量，且 1， 2线性无关， 1， 2线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1， 2线性表出，又可由 1， 2线性表出；()当 1= （分数：-1.00）_23.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：-1.00）_考研数学二-150 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：l
5、n 2x）解析：解析 由题设可知2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 I=3.设 其中 f 是任意的二次可微函数，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(x+1)y）解析：解析 4. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 所以5.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 画简易草图如下，设 x=rcos，y=rsin，则曲线 y= 与直线 x=2 的交点 P 的纵坐标为 于是 OP 的斜率为6.设 1， 2， 3是非齐次 4 元线性方程组 (a，b 为常数)的不同解，若 1= （分数：4.00）填空项 1:
6、_ （正确答案： ）解析：解析 由系数矩阵 A 中三阶子式 可得 A 的秩 r(A)3，又由题设知线性方程组的解不唯一可得 r(A)4，所以 r(A)=3 1+2 2-3 3=( 1- 3)+2( 2- 3)是对应齐次方程组的基础解系，所以根据方程组解的结构可得通解为二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.当 x时，函数 f(x) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由题意可知 1=8.设 f(x)=g(x)，x(a，b)，已知曲线 y=g(x)的图像如下，则曲线 y=f(x)的极值点为_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由题设及图可知，y=f(x)的极值点可能
7、为 c1，c 3，c 5，且 f(x)=g(x)在 c1，c 3点左右异号，因此 c1，c 3是极值点；但 f(x)=g(x)在 c5两侧同号，所以 c5不是极值点，故应选 A9.设函数 f(x)在0，+)上连续，且 f(x)0，令 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 所以 F(x)在 x=0 右连续当 x0 时，10.设 D=(x，y)x 2+y21，则二重积分 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设可知，积分区域 D 关于 x，y 轴均对称，则被积函数 xmyn关于 x 或 y 为奇函数，则该积分为零，于是只要 m，n 中有一个为奇数时积分就为零，故选 D11.
8、设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y+py+qy=e2x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 题设方程的特解形式有三种可能：y=ae 2x，y=axe 2x和 y=ax2e2x前两种都不满足初始条件，因此特解形式为 y=ax2e2x，这说明 =2 是特征方程 2+P+q=0 的二重根，即 P=-4，q=4将 y=ax2e2x代入方程得12.利用变量 u=x， 可以把方程 化为新方程_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为将上式代入13.设 1， 2， s是 Rn上一组线性相关的向量，但 1， 2，
9、s中任意 s-1 个向量都线性无关，若存在常数 k1，k 2，k s，使得 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 显然，k i全为零，可使又因为 1， 2， s线性相关，则存在一组不全为零的数是 ki(i=1，2，s)，使得下证是 ki全不为零若 ki中有为零的数，不妨设 k1=0，则14. 则必有_AP 1AP2=B BP 2AP1=BCP 1P2A=B DP 2P1A=B（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据矩阵作一次初等行(列)变换相当于矩阵左(右)乘相应类型的初等矩阵，故选 A三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.已知 （分数：-1.00）_正确答案：
10、()解析：解析 0，将 a=3 代入原极限有16.设函数 f(u)在-u+内可导，且 f(0)=0，又 f(lnx)= （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 设 F(x)=f(lnx)，x0，则 F(1)=0，且17.设函数 f(x)在(a，b)内可导，x 1与 x2是(a，b)内的两点，g(x)由下式定义：（分数：-1.00）_正确答案：(证 不妨设 x1x 2，因为 可见 g(x)在x 1，x 2上连续，由介值定理知，存在x 1，x 2，g()=又根据拉格朗日中值定理，有(x 1，) (x1，x 2)，使 f() )解析：18. （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 因
11、为 0e -2n x1，所以令 lnx=u，则因为sinu以 为周期，根据周期函数的性质有19.证明： （分数：-1.00）_正确答案：(证 当 0x1 时，作辅助函数 f(x)=e-2x(1+x)+x-1，且 f(0)=0f(x)=-2e-2x(1+x)+e-2x+1=-2xe-2x-e-2x+1，且 f(0)=0f(x)=4xe-2x-2e-2x+2e-2x=4xe-2x当 0x1 时，f(x)=4xe -2x0，所以 f(x)严格单调递增，即 f(x)f(0)=0，故当 0x1 时，f(x)严格单调递增，即 f(x)f(0)=0，即 )解析：20.设函数 f(x)连续，f(0)=1，令
12、F(t)= （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 因为题中没给出 F(t)二阶可导，所以 F(0)要用定义来做因为 f(x)连续，所以F(t)=2tf(t 2)，且 F(0)=0于是21.设 在第一象限内具有连续的二阶导数， 且 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 先求出 f(x)的表达式，然后求其在1，2上的平均值令 则f(r)=C1lnr+C2又由条件 知 f(1)=0，f(1)=2，代入 f(r)=C1lnr+C2可得C1=2，C 2=0故 f(r)=2lnr，即 f(x)=21nx故 f(x)在区间1，2上的平均值为22.()设 1， 2， 1， 2均是三维列向量
13、，且 1， 2线性无关， 1， 2线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1， 2线性表出，又可由 1， 2线性表出；()当 1= （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 ()4 个三维向量 1， 2， 1， 2必线性相关，故知存在不全为零的常数k1，k 2， 1， 2，使得k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0，即 k1 1+k2 2=- 1 1- 2 2其中 k1，k 2不全为零(否则，由- 1 1- 2 2=0 1= 2=0，这和 k1，k 2， 1， 2相矛盾)令 =k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 20，则 即为所求()由()知，=k 1 1+k2 2=- 1
14、1- 2 2得 k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0解方程组可得方程通解为(k 1，k 2， 1， 2)=k(1，0，-5，-3) T，故所求向量为=k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 2=23.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 ()二次型对应的矩阵因为方程组 Ax=0 有非零解，所以A=24c-72=0 c=3()E-A= =(-4)(-9)=0则特征值为 0，4，9将特征值分别代人(E-A)x=0，可分别求得=0 对应的特征向量为： 1=4 对应的特征向量为： 2=9 对应的特征向量为： 3=故二次型的标准型为 所作正交变换矩阵为
