1、考研数学二-149 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.在当 x0 时的无穷小量 （分数：4.00）A.B.C.D.2. （分数：4.00）A.B.C.D.3. （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)在区间(-1，1)内二次可导，已知 f(0)=0，f(0)=1，且 f(x)0 当 x(-1，1)时成立，则(A) 当 x(-1，0)时，f(x)x，而当 x(0，1)时，f(x)x(B) 当 x(-l，0)时 f(x)x，而当 x(0，1)时 f(x)x(C) 当 x(-1，0)与 x(0，1)时都有，f(x)x(D
2、) 当 x(-1，0)与 x(0，1)时都有 f(x)x（分数：4.00）A.B.C.D.5.函数 u=xyz2在条件 x2+y2+z2=4(x0，y0，z0)下的最大值是（分数：4.00）A.B.C.D.6.若用代换 y=zm可将微分方程 y=ax +by (0)化为一阶齐次方程 则常数 与 应满足的条件是（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax=b 有解，则(A) 当 Ax=b 有唯一解时，必有 m=n(B) 当 Ax=b 有唯一解时，必有 r(A)=n(C) 当 Ax=b 有无穷多解时，必有 mn(D) 当 Ax=b 有无穷多解时，必有 r(A)m（分
3、数：4.00）A.B.C.D.8.下列矩阵中不能相似对角化的是（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设函数 f(x)在点 x=1 的某邻域内有定义，且满足 3xf(x)x 2+x+1，则曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且满足 f(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.已知当 x0 与 y0 时 （分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_三、解
4、答题(总题数：9，分数：94.00)15.试证明当 x0 时，存在 (x)(0，1)，使得 并且 (x)为满足 （分数：10.00）_16.设 x0，试证：2sinx+e x-e-x4x.（分数：10.00）_17.试求椭圆 （分数：11.00）_18. （分数：11.00）_19. （分数：10.00）_20.设函数 f(x)(x0)连续可微，f(0)=1，已知曲线 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的弧长值相等，求 f(x)（分数：10.00）_21. （分数：10.00）_22.已知 1=(1，3，5，-1)
5、 T， 2=(2，7，a，4) T， 3=(5，17，-1，7) T，()若 1， 2， 3线性相关，求 a 的值；()当 =3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向量 4；()当 =3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个 4 维列向量（分数：11.00）_23.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1=- 1-3 2-3 3，A 2=4 1+4 2+ 3，A 3=-2 1+3 3.()求矩阵 A 的特征值；()求矩阵 A 的特征向量；()求矩阵 A*-6E 的秩.（分数：11.00）_考研数学二-149 答案解析(总分：150.00，做题时
6、间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.在当 x0 时的无穷小量 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 2. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 3. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 4.设函数 f(x)在区间(-1，1)内二次可导，已知 f(0)=0，f(0)=1，且 f(x)0 当 x(-1，1)时成立，则(A) 当 x(-1，0)时，f(x)x，而当 x(0，1)时，f(x)x(B) 当 x(-l，0)时 f(x)x，而当 x(0，1)时 f(x)x(C) 当 x(-1，0)与 x(0，1)时都有，f(x)x(D) 当 x(-1
7、，0)与 x(0，1)时都有 f(x)x（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设知，曲线 y= f(x)在原点处的切线方程为 y=x，而曲线，y=f(x)在区间(-1，1)内是凸弧，由凸弧与其上某点处的切线的位置关系即知结论(D)正确，故应选(D)也可以直接证明(D)正确：令 F(x)=f(x)-x，则 F(0)=0，F(0)=f(0)-1=0，且 F(x)=f(x)0 当x(-1，1)时成立，由此可得 F(x)在区间(-1，1)内单调减少，从而，当 x(-1，0)时 F(x)F(0)=0，这表明 F(x)在区间(-1，0上单调增加，故当 x(-1，0)时有 F(x)F(0)=0
8、 f(x)x 成立，类似可得，当 x(0，1)时 F(x)F(0)=0，这表明 F(x)在区间0，1)上单调减少，故当 x(0，1)时有F(x)F(0)=05.函数 u=xyz2在条件 x2+y2+z2=4(x0，y0，z0)下的最大值是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 分析二 化为简单最值问题，由条件解出 x2=4-x2-y2(0x 2+y24)，代入表达式，转化为求u=xy(4-x2-y2)在区域 D= (x，y)|0x 2+y24的最大值，6.若用代换 y=zm可将微分方程 y=ax +by (0)化为一阶齐次方程 则常数 与 应满足的条件是（分数：4.00）A. B.C.
9、D.解析：解析 7.设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax=b 有解，则(A) 当 Ax=b 有唯一解时，必有 m=n(B) 当 Ax=b 有唯一解时，必有 r(A)=n(C) 当 Ax=b 有无穷多解时，必有 mn(D) 当 Ax=b 有无穷多解时，必有 r(A)m（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 方程组 Ax=b 有唯一解 的列数，所以(B)正确注意方程组有唯一解不要求方程的个数 m 和未知数的个数 n 必须相等，町以有 mn例如方程组 Ax=b 有无穷多解 的列数，当方程组有无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不要求秩 r(A)必小于方程的个数，例如8.下列
10、矩阵中不能相似对角化的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 有 n 个线性无关的特征向量记(C)项的矩阵为 C，由可知矩阵 C 的特征值为 =1(三重根)，而那么 n-r(E-C)=3-2=1说明齐次线性方程组(E-C)x=0 只有一个线性无关的解，亦即 =1 只有一个线性无关的特征向量，所以(C)不能对角化故选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：解析 由积分中值定理，有分析二 分析三 对被积函数直接进行放大与缩小，即10.设函数 f(x)在点 x=1 的某邻域内有定义，且满足 3xf(x)x 2+x+1，则曲线 y=f(x)在点 x=1
11、处的切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=3x.）解析：解析 在 3xf(x)x 2+x+1 中取 x=1，可得 f(1)=311.设函数 f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且满足 f(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：. ）解析：解析 所求极限是“-”型未定式，可通分化为 型未定式求极限，12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：. ）解析：解析 13.已知当 x0 与 y0 时 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*.）解析：解析 14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：. ）解析：解析 那么 三
12、、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.试证明当 x0 时，存在 (x)(0，1)，使得 并且 (x)为满足 （分数：10.00）_正确答案：(证明 )解析：16.设 x0，试证：2sinx+e x-e-x4x.（分数：10.00）_正确答案：(证明一 令 f(x)=2sinx+ex-e-x-4x(x0)，则f(0)=0，f(x)=2cosx+e x+e-x-4，f(0)=0，f(x)= -2sinx+ex-e-x，f(0)=0，f(x)=-2cosx+ex+e-x证明二 )解析：17.试求椭圆 （分数：11.00）_正确答案：(由此可得椭圆 C 在点 P1处的曲率 曲率圆的半径 R1=
13、4. 由于椭圆 C 在点 P1处的切线为 y=1，法线即为y 轴，所以 C 在点 P1处的曲率圆中心在 y 轴上点 P1下方与点 P1距离为 4 处，即曲率圆中心为 O1(0，-3)，曲率圆方程为 x2+(y+3)2=16同理，因点 P2(0，2)在右半椭圆 上，从而故椭圆 C 在点 P2处的曲率 曲率圆的半径 由于椭圆 C 在点 P2处的切线方程为 x=2，法线即为 x轴，所以 C 在点 P2处的曲率圆中心在 x 轴上点 P2左方与点 P2距离为 处，即曲率圆中心为 曲率圆方程为 )解析：18. （分数：11.00）_正确答案：()解析：19. （分数：10.00）_正确答案：(交换积分顺序
14、、换元并分部积分，可得)解析：20.设函数 f(x)(x0)连续可微，f(0)=1，已知曲线 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的弧长值相等，求 f(x)（分数：10.00）_正确答案：(由题设知所围成图形的面积为 弧长为 因而)解析：21. （分数：10.00）_正确答案：(又方程 x2+y2，x 2+y2=2y 对应的极坐标方程分别为 r=1，r=)解析：22.已知 1=(1，3，5，-1) T， 2=(2，7，a，4) T， 3=(5，17，-1，7) T，()若 1， 2， 3线性相关，求 a 的值；()当
15、 =3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向量 4；()当 =3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个 4 维列向量（分数：11.00）_正确答案：(所以 a=-3.所以 4=k(19，-6，0，1) T，其中 k0所以 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4= 恒有解，即任一 4 维列向量必可由 1， 2， 3， 4线性表出或者由()知 a=3 时， 1， 2， 3必线性无关，那么：若k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，)解析：23.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1=- 1-3 2-3 3，A 2=4 1+4 2+ 3，A 3
16、=-2 1+3 3.()求矩阵 A 的特征值；()求矩阵 A 的特征向量；()求矩阵 A*-6E 的秩.（分数：11.00）_正确答案：(据已知条件，有得矩阵曰的特征值是 1，2，3从而知矩阵 A 的特征值是 1，2，3()由(E-B)x=0 得基础解系 1=(1，1，1) T，即矩阵 B 属于特征值 =1 的特征向量，由(2E-B)x=0 得基础解系 2=(2，3，3) T，即矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，由(3E-B)x=0 得基础解系 3=(1，3，4) T，即矩阵 B 属于特征值 =3 的特征向量，则有 所以矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的线性无关的特征向量依次为)解析：
