1、考研数学二-148 及答案解析(总分:47.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:24.00)1. (分数:4.00)填空项 1:_2.设二阶线性微分方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)有三个特解 y1=ex,y 2=ex+ (分数:4.00)填空项 1:_3.使反常积分 (分数:4.00)填空项 1:_4.设 f(x)= D 是全平面,则 (分数:4.00)填空项 1:_5.设函数 f(x,y)可微,f(0,0)=0, (分数:4.00)填空项 1:_6.设 A,B 为三阶相似矩阵,A 的两个特征值为 1,2,行列式B=4,则 (分数:4.00)填空项 1:_二、选
2、择题(总题数:8,分数:32.00)7.已知 x=0 是函数 (分数:4.00)A.B.C.D.8.已知方程 x=aex(a0)有两个实根,则_Aa Ba (分数:4.00)A.B.C.D.9.设 1-cosx-(ax2+bx+c)是比 x2高阶的无穷小,则_Aa=c=0,b= Ba=b=0,c=Cb=c=0,a= (分数:4.00)A.B.C.D.10.设 f(x)在a,b上可导,又 f(x)+f(x)2- 则 (分数:4.00)A.B.C.D.11.已知函数 f(x,y)=x-yg(x,y),其中 g(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,则 f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在的充分
3、条件是_Ag(0,0)=0B (x,y)存在C (分数:4.00)A.B.C.D.12.微分方程 y+y=3x2+4+2cosx 的特解形式可设为_Ay *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)By *=x(ax2+bx+c+Asix+Bcosx)Cy *=ax2+bx+c+AsinxDy *=ax2+bx+c+Acosx(分数:4.00)A.B.C.D.13.设向量组 1, 2, s是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系,向量 不是方程组 Ax=0 的解,则向量组 ,+ 1,+ 2,+_A线性相关 B线性无关C线性相关性与 s 有关 D以上均不对(分数:4.00)A.B.C.D
4、.14.记 A= (分数:4.00)A.B.C.D.三、解答题(总题数:9,分数:-9.00)15.设 f(x)在0,1上可导,且 f(0)=0,又 f(c)满足关系 (分数:-1.00)_16.证明: (分数:-1.00)_17.设 求证:()对于任何自然数 n,方程 在区间(0, )中仅有一根;()设 xn(0, )满足 (分数:-1.00)_18.证明:当 x0 时,有不等式(1+x)ln(1+x)arctanx(分数:-1.00)_19.一向上凸的光滑曲线连接了 O(0,0)和 A(1,4)两点,而 P(x,y)为曲线上的任一点,已知曲线与线段OP 所围区域的面积为 (分数:-1.00
5、)_20.已知 (分数:-1.00)_21.设有微分方程 xy+y=(x),其中 (x)= 试求在(0,+)内连续的函数 y=y(x),使之在(0,1)和(1,+)内都满足所给方程且 (分数:-1.00)_22.设 1, 2, 3, 4, 为四维列向量,A= 1, 2, 3, 4,已知 Ax= 的通解为(分数:-1.00)_23.设 n 阶实对称矩阵 A 的 n 个特征值 i(i=1,2,n)互异,X 1为 1对应的单位特征向量,证明:方阵 A- 1X1 (分数:-1.00)_考研数学二-148 答案解析(总分:47.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:24.00)1.
6、(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:e 2)解析:解析 2.设二阶线性微分方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)有三个特解 y1=ex,y 2=ex+ (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 因为 y2-y1,y 3-y1是对应齐次线性微分方程的解,代入齐次方程可得3.使反常积分 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:12)解析:解析 则因为当 x0 时,所以 收敛的充要条件是 -11 2,又4.设 f(x)= D 是全平面,则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:(1-cos2) 2)解析:解析 因为所以5.设函数 f(x,y)可微,f(
7、0,0)=0, (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:a+ab+b 2)解析:解析 (t)=6.设 A,B 为三阶相似矩阵,A 的两个特征值为 1,2,行列式B=4,则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:解析 因为 A 的两个特征值为 1,2,A,B 相似且B=4 可知A=4,设 A 的另一特征值为 ,则有A=12=4 =2,所以 A 的特征值为 1,2,2,于是A+E 的特征值为 2,3,3,所以A+E=23 X 3=18,且2B 2=64B 2=1024,所以二、选择题(总题数:8,分数:32.00)7.已知 x=0 是函数 (分数:4.00)A.B.C.D.
8、 解析:解析 由已知可得 存在,而8.已知方程 x=aex(a0)有两个实根,则_Aa Ba (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 设 f(x)=x-aex,令 f(x)=1-aex=0 x=-lna,f(x)=-aex0,所以 f(-lna)=-lna-ae-lna=-lna-1 是唯一的极大值,又所以由零值定理可知,仅当-lna-19.设 1-cosx-(ax2+bx+c)是比 x2高阶的无穷小,则_Aa=c=0,b= Ba=b=0,c=Cb=c=0,a= (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 由题设可知10.设 f(x)在a,b上可导,又 f(x)+f(x)2- 则
9、(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 F(x)= 则 F(a)=F(b)=0变为 F(x)+F(x)2-F(x)=0(*)若 在(a,b)内不恒为零,则 F(x)在(a,b)内可以取到正的最大值(此时也为极大值)或负的最小值(此时也为极小值),不妨设 则 F(x1)=0,代入(*)式可得f(x1)=-F(x1)2+F(x1)0,由极值的判定条件可知,F(x)在 x=x1处取到极小值,矛盾同理可证,若 F(x2)=11.已知函数 f(x,y)=x-yg(x,y),其中 g(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,则 f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在的充分条件是_Ag(0,0)=0
10、B (x,y)存在C (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由偏导数的定义有所以 存在的充要条件是 存在且均为零,所以当 g(x,y)在点(0,0)处连续且 g(0,0)=0 时,有12.微分方程 y+y=3x2+4+2cosx 的特解形式可设为_Ay *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)By *=x(ax2+bx+c+Asix+Bcosx)Cy *=ax2+bx+c+AsinxDy *=ax2+bx+c+Acosx(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 对应齐次方程 y+y=0 的特征方程为 2+1=0,特征根为 +(i)对 y+y=3x2+4=e0(3x2+
11、4)而言,因 0 不是特征根,从而其特解形式可设为=ax2+bx+c对 y+y=cosx=Reeix,因 i 为特征根,从而其特解形式可设为13.设向量组 1, 2, s是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系,向量 不是方程组 Ax=0 的解,则向量组 ,+ 1,+ 2,+_A线性相关 B线性无关C线性相关性与 s 有关 D以上均不对(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 由于向量组 1, 2, s是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系,则 1, 2, s线性无关,且满足 A i=0(i=1,2,s);向量 不是方程组 Ax=0 的解,则 A0设存在一组常数 k,k 1,k 2
12、,k s,使得k+k 1(+ 1)+k2(+ 2)+ks(+ s)=0, 上式两边左乘 A,则有kA+k 1A(+ 1)+k2A(+ 2)+ks(+ s)=0,(k+k1+ks)A+k 1A 1+k2A 2+ksA s=0,(k+k1+ks)A=014.记 A= (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 于是 A2-A=三、解答题(总题数:9,分数:-9.00)15.设 f(x)在0,1上可导,且 f(0)=0,又 f(c)满足关系 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解析 令 A= 则代入式得16.证明: (分数:-1.00)_正确答案:(证 先证第一个不等式再证第二个不等式由泰
13、勒公式可得)解析:17.设 求证:()对于任何自然数 n,方程 在区间(0, )中仅有一根;()设 xn(0, )满足 (分数:-1.00)_正确答案:(证 ()因为 fn(x)=1-(1-cosx)n在0, 上连续,且 fn(0)=0, 故由介值定理知,存在又因为 严格递减因此,方程 内仅有一根()因为 令 n,两边取极限得这说明存在正整数 N,使对于 nN 时,有因为 fn(x)严格递减,所以对于 nN 由夹逼定理有当 n时, )解析:18.证明:当 x0 时,有不等式(1+x)ln(1+x)arctanx(分数:-1.00)_正确答案:(证 作辅助函数 f(x)=(1+x)ln(1+x)
14、-arctanx显然,f(x)在 x0 时连续,且 f(0)=0,又)解析:19.一向上凸的光滑曲线连接了 O(0,0)和 A(1,4)两点,而 P(x,y)为曲线上的任一点,已知曲线与线段OP 所围区域的面积为 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解析 设曲线方程为 y=y(x),则有两边对 x 求导,得整理得 此为一阶线性微分方程,其通解为代入 x=1,y=4,可得 C=0,故所求曲线的方程为20.已知 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解析 两边对 y 求导得比对后得C(y)=2y+3,两边积分得C(y)=y2+3y+C,于是有因此有 u=x2+xy+x+y2+3y+121
15、.设有微分方程 xy+y=(x),其中 (x)= 试求在(0,+)内连续的函数 y=y(x),使之在(0,1)和(1,+)内都满足所给方程且 (分数:-1.00)_正确答案:()解析:解析 当 0x1 时,由 得 C1=1所以当 x1 时,由所以若补充定义:y(1)=1,则得(0,+)上的连续函数22.设 1, 2, 3, 4, 为四维列向量,A= 1, 2, 3, 4,已知 Ax= 的通解为(分数:-1.00)_正确答案:()解析:解析 由题设知:r(A)=2,且有 = 1- 2+2 3+ 4,于是有 3= 1- 2, 4=- 1-2 2,=2 1-5 2+0 3可见 1, 2线性无关,秩 r(B)=2,且为 By= 的特解,又由 1- 2- 3=0 知 为 By=0 的非零解,可作为基础解系,故 By= 的通解为23.设 n 阶实对称矩阵 A 的 n 个特征值 i(i=1,2,n)互异,X 1为 1对应的单位特征向量,证明:方阵 A- 1X1 (分数:-1.00)_正确答案:(证 设 Xi为 i(i=1,2,n)对应的单位特征向量,则当 ij 时, 0于是当又所以方阵 )解析: