1、考研数学二-148 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_2.设二阶线性微分方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)有三个特解 y1=ex，y 2=ex+ （分数：4.00）填空项 1:_3.使反常积分 （分数：4.00）填空项 1:_4.设 f(x)= D 是全平面，则 （分数：4.00）填空项 1:_5.设函数 f(x，y)可微，f(0，0)=0， （分数：4.00）填空项 1:_6.设 A，B 为三阶相似矩阵，A 的两个特征值为 1，2，行列式B=4，则 （分数：4.00）填空项 1:_二、选
2、择题(总题数：8，分数：32.00)7.已知 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知方程 x=aex(a0)有两个实根，则_Aa Ba （分数：4.00）A.B.C.D.9.设 1-cosx-(ax2+bx+c)是比 x2高阶的无穷小，则_Aa=c=0，b= Ba=b=0，c=Cb=c=0，a= （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 f(x)在a，b上可导，又 f(x)+f(x)2- 则 （分数：4.00）A.B.C.D.11.已知函数 f(x，y)=x-yg(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，则 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在的充分
3、条件是_Ag(0，0)=0B (x，y)存在C （分数：4.00）A.B.C.D.12.微分方程 y+y=3x2+4+2cosx 的特解形式可设为_Ay *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)By *=x(ax2+bx+c+Asix+Bcosx)Cy *=ax2+bx+c+AsinxDy *=ax2+bx+c+Acosx（分数：4.00）A.B.C.D.13.设向量组 1， 2， s是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，则向量组 ，+ 1，+ 2，+_A线性相关 B线性无关C线性相关性与 s 有关 D以上均不对（分数：4.00）A.B.C.D
4、.14.记 A= （分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 f(x)在0，1上可导，且 f(0)=0，又 f(c)满足关系 （分数：-1.00）_16.证明： （分数：-1.00）_17.设 求证：()对于任何自然数 n，方程 在区间(0， )中仅有一根；()设 xn(0， )满足 （分数：-1.00）_18.证明：当 x0 时，有不等式(1+x)ln(1+x)arctanx（分数：-1.00）_19.一向上凸的光滑曲线连接了 O(0，0)和 A(1，4)两点，而 P(x，y)为曲线上的任一点，已知曲线与线段OP 所围区域的面积为 （分数：-1.00
5、）_20.已知 （分数：-1.00）_21.设有微分方程 xy+y=(x)，其中 (x)= 试求在(0，+)内连续的函数 y=y(x)，使之在(0，1)和(1，+)内都满足所给方程且 （分数：-1.00）_22.设 1， 2， 3， 4， 为四维列向量，A= 1， 2， 3， 4，已知 Ax= 的通解为（分数：-1.00）_23.设 n 阶实对称矩阵 A 的 n 个特征值 i(i=1，2，n)互异，X 1为 1对应的单位特征向量，证明：方阵 A- 1X1 （分数：-1.00）_考研数学二-148 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.
6、（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e 2）解析：解析 2.设二阶线性微分方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)有三个特解 y1=ex，y 2=ex+ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 因为 y2-y1，y 3-y1是对应齐次线性微分方程的解，代入齐次方程可得3.使反常积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：12）解析：解析 则因为当 x0 时，所以 收敛的充要条件是 -11 2，又4.设 f(x)= D 是全平面，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(1-cos2) 2）解析：解析 因为所以5.设函数 f(x，y)可微，f(
7、0，0)=0， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a+ab+b 2）解析：解析 (t)=6.设 A，B 为三阶相似矩阵，A 的两个特征值为 1，2，行列式B=4，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为 A 的两个特征值为 1，2，A，B 相似且B=4 可知A=4，设 A 的另一特征值为 ，则有A=12=4 =2，所以 A 的特征值为 1，2，2，于是A+E 的特征值为 2，3，3，所以A+E=23 X 3=18，且2B 2=64B 2=1024，所以二、选择题(总题数：8，分数：32.00)7.已知 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D.
8、 解析：解析 由已知可得 存在，而8.已知方程 x=aex(a0)有两个实根，则_Aa Ba （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 f(x)=x-aex，令 f(x)=1-aex=0 x=-lna，f(x)=-aex0，所以 f(-lna)=-lna-ae-lna=-lna-1 是唯一的极大值，又所以由零值定理可知，仅当-lna-19.设 1-cosx-(ax2+bx+c)是比 x2高阶的无穷小，则_Aa=c=0，b= Ba=b=0，c=Cb=c=0，a= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设可知10.设 f(x)在a，b上可导，又 f(x)+f(x)2- 则
9、（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 F(x)= 则 F(a)=F(b)=0变为 F(x)+F(x)2-F(x)=0(*)若 在(a，b)内不恒为零，则 F(x)在(a，b)内可以取到正的最大值(此时也为极大值)或负的最小值(此时也为极小值)，不妨设 则 F(x1)=0，代入(*)式可得f(x1)=-F(x1)2+F(x1)0，由极值的判定条件可知，F(x)在 x=x1处取到极小值，矛盾同理可证，若 F(x2)=11.已知函数 f(x，y)=x-yg(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，则 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在的充分条件是_Ag(0，0)=0
10、B (x，y)存在C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由偏导数的定义有所以 存在的充要条件是 存在且均为零，所以当 g(x，y)在点(0，0)处连续且 g(0，0)=0 时，有12.微分方程 y+y=3x2+4+2cosx 的特解形式可设为_Ay *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)By *=x(ax2+bx+c+Asix+Bcosx)Cy *=ax2+bx+c+AsinxDy *=ax2+bx+c+Acosx（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 对应齐次方程 y+y=0 的特征方程为 2+1=0，特征根为 +(i)对 y+y=3x2+4=e0(3x2+
11、4)而言，因 0 不是特征根，从而其特解形式可设为=ax2+bx+c对 y+y=cosx=Reeix，因 i 为特征根，从而其特解形式可设为13.设向量组 1， 2， s是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，则向量组 ，+ 1，+ 2，+_A线性相关 B线性无关C线性相关性与 s 有关 D以上均不对（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于向量组 1， 2， s是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，则 1， 2， s线性无关，且满足 A i=0(i=1，2，s)；向量 不是方程组 Ax=0 的解，则 A0设存在一组常数 k，k 1，k 2
12、，k s，使得k+k 1(+ 1)+k2(+ 2)+ks(+ s)=0， 上式两边左乘 A，则有kA+k 1A(+ 1)+k2A(+ 2)+ks(+ s)=0，(k+k1+ks)A+k 1A 1+k2A 2+ksA s=0，(k+k1+ks)A=014.记 A= （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 于是 A2-A=三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 f(x)在0，1上可导，且 f(0)=0，又 f(c)满足关系 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 令 A= 则代入式得16.证明： （分数：-1.00）_正确答案：(证 先证第一个不等式再证第二个不等式由泰
13、勒公式可得)解析：17.设 求证：()对于任何自然数 n，方程 在区间(0， )中仅有一根；()设 xn(0， )满足 （分数：-1.00）_正确答案：(证 ()因为 fn(x)=1-(1-cosx)n在0， 上连续，且 fn(0)=0， 故由介值定理知，存在又因为 严格递减因此，方程 内仅有一根()因为 令 n，两边取极限得这说明存在正整数 N，使对于 nN 时，有因为 fn(x)严格递减，所以对于 nN 由夹逼定理有当 n时， )解析：18.证明：当 x0 时，有不等式(1+x)ln(1+x)arctanx（分数：-1.00）_正确答案：(证 作辅助函数 f(x)=(1+x)ln(1+x)
14、-arctanx显然，f(x)在 x0 时连续，且 f(0)=0，又)解析：19.一向上凸的光滑曲线连接了 O(0，0)和 A(1，4)两点，而 P(x，y)为曲线上的任一点，已知曲线与线段OP 所围区域的面积为 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 设曲线方程为 y=y(x)，则有两边对 x 求导，得整理得 此为一阶线性微分方程，其通解为代入 x=1，y=4，可得 C=0，故所求曲线的方程为20.已知 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 两边对 y 求导得比对后得C(y)=2y+3，两边积分得C(y)=y2+3y+C，于是有因此有 u=x2+xy+x+y2+3y+121
15、.设有微分方程 xy+y=(x)，其中 (x)= 试求在(0，+)内连续的函数 y=y(x)，使之在(0，1)和(1，+)内都满足所给方程且 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 当 0x1 时，由 得 C1=1所以当 x1 时，由所以若补充定义：y(1)=1，则得(0，+)上的连续函数22.设 1， 2， 3， 4， 为四维列向量，A= 1， 2， 3， 4，已知 Ax= 的通解为（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 由题设知：r(A)=2，且有 = 1- 2+2 3+ 4，于是有 3= 1- 2， 4=- 1-2 2，=2 1-5 2+0 3可见 1， 2线性无关，秩 r(B)=2，且为 By= 的特解，又由 1- 2- 3=0 知 为 By=0 的非零解，可作为基础解系，故 By= 的通解为23.设 n 阶实对称矩阵 A 的 n 个特征值 i(i=1，2，n)互异，X 1为 1对应的单位特征向量，证明：方阵 A- 1X1 （分数：-1.00）_正确答案：(证 设 Xi为 i(i=1，2，n)对应的单位特征向量，则当 ij 时， 0于是当又所以方阵 )解析：
