1、考研数学二-147 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.（分数：4.00）A.B.C.D.2.（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在(-，+)上有定义，在(-，0)(0，+)内可导，且 x=0 为 f(x)的可去间断点，则（分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处有 f(x0，y 0)=a，f y(x0，y 0)=b，则（分数：4.00）A.B.C.D.5. （分数：4.00）A.B.C.D.6. （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1
2、，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是(A) A+E. (B) A-E. (C) A+2E. (D) 2A+E.（分数：4.00）A.B.C.D.8.n 维向量组(1)：1，2， s和向量组()： 1， 2， t等价的充分必要条件是(A) 秩 r()=r()且 s=t(B) r()=r()=n(C) 向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价(D) 向量组()线性无关，向量组()线性无关且 s=t（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)=x2eax在(0，+)内有最大值 1，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 （
3、分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)是六次多项式，已知曲线 y=f(x)与 x 轴切于原点，且以(-1，1)，(1，1)为拐点，又在(-1，1)，(1，1)处有水平切线，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2+2ax1x3+2x2x3的秩为 2，则其规范形为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数，f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有() （分数：11.00）_16.(
4、)设函数 f(x)，g(x)分别在0，a(a0)上连续，并满足 f(x)=f(a-x)，g(x)+g(a-x)=k，其中 k 为常数，证明：() （分数：10.00）_17.设 f(x)在0，+)上具有二阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0，f(x)k0，试确定 f(x)在(0，+)内零点的个数（分数：10.00）_18.设 f(x)在-1，1上有二阶连续导数，()写出 F(x)=xf(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；()证明：存在点 -1，1，使得（分数：10.00）_19.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(0)=1，且函数 （分数：10.00）_20. （分数：10.00）_
5、21.设函数 f(x)连续且满足（分数：11.00）_22.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx= 1- 2的通解（分数：10.00）_23.已知矩阵（分数：12.00）_考研数学二-147 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 2.（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 3.设 f(x)在(-，
6、+)上有定义，在(-，0)(0，+)内可导，且 x=0 为 f(x)的可去间断点，则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 f(x)在(-，0)(0，+)内可导，从而 f(x)分别在(-，0)与(0，+)上连续，又因x=0 是 f(x)的可去间断点，从而补充定义 补充定义后的函数 就在区间(-，+)上连续，于是 在(-，+)内可导，特别在 x=0 处连续由于改变函数在个别点的函数值不影响函数的可积性与定积分的值(这是定积分的性质之一)，所以 处连续，即应选(D)分析二 用排除法，4.设函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处有 f(x0，y 0)=a，f y(x0，y 0)=
7、b，则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 fx(x0，y 0)存在即知一元函数 f(x，y 0)在 x=x0处连续，故 类似由 fy(x0，y 0)存在即知一元函数 f(x0，y)在 y=y0处连续，故 即(D)正确或举反例用排除法 同时可证明 存在，f(x，y)在点(0，0)处连续，f(x，y)在点(0，0)处不可微分，这样可排除(A)，(C)5. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 将 1 也写成一个定积分6. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 7.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是(A) A+E. (
8、B) A-E. (C) A+2E. (D) 2A+E.（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 8.n 维向量组(1)：1，2， s和向量组()： 1， 2， t等价的充分必要条件是(A) 秩 r()=r()且 s=t(B) r()=r()=n(C) 向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价(D) 向量组()线性无关，向量组()线性无关且 s=t（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关例如：向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(0，1，0)，(0，2，0)的秩相等，但它们不等价；向量组(1，0，0)，(2，0，0
9、)与向量组(3，0，0)等价，但向量个数不同，故(A)不正确r()=r()=n 是向量组()与向量组()等价的充分条件，不必要，例如，向量组(1，0，0)，(0，1，0)与向量组(2，0，0)，(0，2，0)等价，但秩不为 n，故(B)不正确向量组()与向量组()的极大无关组等价，向量组()与向量组()的极大无关组等价如果向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价，由等价的传递性自然有向量组()与向量组()等价，反之亦对，故(C)正确应选(C)注意，等价与向量组的相关、无关没有必然的联系，故(D)不正确，二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)=x2eax在(0，+)
10、内有最大值 1，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为 f(x)在(0，+)内可导，且取得最大值，所以其最大值必在 f(x)的驻点处取得，10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因此两条切线在交点处的斜率分别为 0 和 1，故其夹角11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 定义在某区间上的连续函数 y(x)，若有最大值 M 和最小值 m，则 y(x)的值域就是m，M.12.设 f(x)是六次多项式，已知曲线 y=f(x)与 x 轴切于原点，且以(-1，1)，(1，1)为拐点，又在(-1，1)，(
11、1，1)处有水平切线，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x 6-3x4+ 3x2.）解析：解析 由题设，(-1，1)，(1，1)为拐点，故 y有因式(x+1)(x-1)由于在此二点处有水平切线，故 y有因式(x+1)(x-1)，因此 y有因式(x+1) 2(x-1)2又曲线与 x 轴切于原点，故 y有因式 x，于是可设y= ax(x+1)2(x-1)2=a(x5-2x3+x)，从而 13.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=-ln(1+e-e x)）解析：解析 这是可分离变量的方程，分离变量得 e-ydy=exdx，积分得-e -y=ex+C
12、，即 ex+e-y=C于是得通解 ex+e-y=C，C 为正常数，由初条件 y(0)=-1 可确定 C=1+e，代入后即可解出所求特解为 y=-ln(1+e-ex)分析二 14.已知三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2+2ax1x3+2x2x3的秩为 2，则其规范形为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y 12-y23）解析：解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数，f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有() （分数：11.00）_正确答案：()解析：16.()设函数 f(x)，g(x)分别在0，a(a0)上连续，并满足 f(x)=f(a-
13、x)，g(x)+g(a-x)=k，其中 k 为常数，证明：() （分数：10.00）_正确答案：( )解析：17.设 f(x)在0，+)上具有二阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0，f(x)k0，试确定 f(x)在(0，+)内零点的个数（分数：10.00）_正确答案：(由 f(x)k0 可得 f(x)在0，+)上是凹函数，并且 f(x)在0，+)上单调增加，从而当 x0 时，有 于是 f(x)kx+f(0)两边再积分就有 积分得又直线 y=kx+f(0)与 x 轴的交点为 当 xx 0时，有 f(x)0任取 ax 0，则 f(x)在0，a上连续，且 f(0)0，f(a)0，f(x)单调增加，
14、由零点定理知存在唯一的点 (0，a)，使得 f()=0又因为 f(x)在0，+)上是凹函数，可得 f()为 f(x)在0，+)上的最小值当 f()0 时(如图)，f(x)在(0，+)内无零点；当 f()=0 时，f(x)在(0，+)内有唯一零点 x=；当 f()0 时，f(x)在0，上连续，且 f(0)0，f() 0，f(x)单调增加，由零点定理知 f(x)在(0，)内有唯一零点同理 f(x)在，+)上连续，f()0，由 +f(0)知 故存在点 x1，使得 f(x1)0，又f(x)单调增加，由零点定理知 f(x)在(f，+ co)内有唯一零点综上当 f()0 时，f(x)在(0，+)内有两个零
15、点)解析：18.设 f(x)在-1，1上有二阶连续导数，()写出 F(x)=xf(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；()证明：存在点 -1，1，使得（分数：10.00）_正确答案：()F(x)=xf(x)，则F(0)=0，F(x)=f(x)+xf(x)，F(x)=2f(x)+xf(x)，F(0)=f(0)于是 F(x)的一阶麦克劳林公式是即 ()将(*)式在-1，1上积分可得)解析：19.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(0)=1，且函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：20. （分数：10.00）_正确答案：( D 不变，所以)解析：21.设函数 f(x)连续且满足（分数
16、：11.00）_正确答案：(在题设方程中令 x=0 得 f(0)=0题设方程可改写为的特解。从特征方程 2+4-5=0 可得二特征根 1=1， 2=-5，于是对应齐次微分方程有二线性无关特解 ex与 e-5x，而上述非齐次微分方程的一个特解具有形式 y*=x(Ax+B)ex，代入方程知待定系数 A 和 B 应满足恒等式6(2Ax+B)+2Aex=36(x+2)ex，不难得出 A=3，B=11.从而方程具有通解)解析：22.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx= 1- 2的通解（分数：10.00）_正确答案：(由方程组 Ax= 的解的结构，可知r(A)=r( 1， 2， 3， 4)=3，且 1+2 2+2 3+ 4=， 1-2 2+4 3=0.因为 B=( 3， 2， 1，- 4)=( 3， 2， 1， 1+2 2+2 3)，且 1， 2， 3线性相关，而知秩r(B)=2)解析：23.已知矩阵（分数：12.00）_正确答案：(因为 AT=A，则(AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P，又构造二次型)解析：
