1、考研数学二-146 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则_（分数：4.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数2.设 f(x)和 (x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则_（分数：4.00）A.f(x)必有间断点B.(x) 2必有间断点C.f(x)必有间断点D.必有间断点3.
2、设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x0处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0处对应的增量与微分，若x0，则_（分数：4.00）A.0dyyB.0ydyC.ydy0D.dyy04.设 f(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是任-n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) *=_（分数：4.00）A.kA*B.kn-1A*C.knA*D.k-1A*6.设 1， 2是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1，A( 1+ 2)线性无关的充分必要条件是
3、_（分数：4.00）A. 10B. 20C. 1=0D. 2=07.当 x0 时，x-sinx 是 x2的_（分数：4.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小8.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设矩阵 A= （分数：4.00）填空项 1:_13.设 3 阶矩阵 A 的特征值 是 2，3若行列式|2A|=-48，则 =_（分数：4.00）填空项 1:_14.微分方程 yy+y2=0 满足
4、初始条件 y|x=0=1，y| x=0= （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：94.00)15.求 （分数：9.00）_16.计算 （分数：9.00）_17.设函数 f(x)在(-，+)上有定义，在区间0，2上，f(x)=x(x 2-4)若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数(1) 写出 f(x)在-2，0上的表达式(2)问 k 为何值时，f(x)在 x=0 处可导（分数：9.00）_18.设 =(x)是抛物线 y= 上任一点 M(x，y)(x1)的曲率半径，S=S(x)是该抛物线上介于点A(1，1)与 M 之间的弧长，计算 的值(在直角
5、坐标系下曲率公式为 k= （分数：9.00）_19.计算 （分数：9.00）_20.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2求 f(x，y)在椭圆域 D=(x，y)|x 2+（分数：9.00）_21.设矩阵 A= （分数：10.00）_22.已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3，10，b，4) T问：(1) a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表示?(2) a，b 取何值时， 可由 1， 2， 3线性表示?并写出此表示式。（分数：10.00）_23.设 （分数：10.00）_
6、24.设矩阵 A= （分数：10.00）_考研数学二-146 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则_（分数：4.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数解析：考点提示 原函数解题分析 由已知 f(x)是连续函数，则*(t)dt 是 f(x)的一个原函数，从而 f(x)的任一原函数 F(x)可表示为*(t)dt+C，即
7、 F(x)=*(t)dt+C，其中 C 为任意常数，且有*当 f(x)是奇函数时，*即 F(x)为偶函数，A 成立当 f(x)是偶函数时，*所以 B 不成立关于选项 C，D 可举反例予以排除，如令 f(x)=1+cosx，则周期为 2，F(x)=x+sinx+C 不是周期函数又令 f(x)=x，为单调增函数，但*不是单调函数综上，选 A2.设 f(x)和 (x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则_（分数：4.00）A.f(x)必有间断点B.(x) 2必有间断点C.f(x)必有间断点D.必有间断点 解析：考点提示 间断点的判定解题分析 用反证法设*无间断
8、点，即连续，又已知 f(x)连续，于是*f(x=一 (x)连续这与题设矛盾，故应选 D评注 本题也可举反例用排除法判定：设 f(x)=1，(x)=*，则有 f(x)=1，(x) 2=1，f(x)=1，都处处连续，可排除 A，B，C，知应选 D3.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x0处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0处对应的增量与微分，若x0，则_（分数：4.00）A.0dyy B.0ydyC.ydy0D.dyy0解析：考点提示 凹函数的性质解题分析 由已知条件知，曲线 y=f(x)单调上升且是凹的，根据凹函数的性质，有 f
9、(x0+x)f(x 0)+f(x0)x(x0)，从而 f(x0+x)-f(x 0)f(x 0)x0(x0)，所以ydy0(x0)故选 A4.设 f(x)= （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 函数的连续性解题分析 因为*而*可见 f(x)在 x=1 处不连续，应选 A5.设 A 是任-n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) *=_（分数：4.00）A.kA*B.kn-1A* C.knA*D.k-1A*解析：考点提示 伴随矩阵 A*的定义解题分析 题设未给出 A-1存在的条件，所以公式 A*=|A|A-1不可直接应用但由题意知结论对 A
10、 可逆应该也成立，即假没 A 可逆，则*从而知只有 B 成立题设中 k0，1 的条件是为保证正确选项的唯一性严格的做法是由伴随矩阵的定义出发，设 A=(aij)，a ij的代数余子式为 Aij，则 A*=(Aij)T令 kA=(kaij)，ka ij的代数余子式记为 Bij，则Bij=kn-1Aij因此(kA)*=(Bij)T=(kn-1Aij)T=kn-1(Aij)T=kn-1A*6.设 1， 2是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1，A( 1+ 2)线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A. 10B. 20 C. 1=0D. 2=0解析：考点提示 特征
11、值与特征向量解题分析 根据特征值特征向量的定义，有A( 1+ 2)=A 1+A 2= 1 1+ 2 2， 1，A( 1+ 1)线性无关*k 1 1+k2A( 1+ 2)=0k1，k 2恒为 0*(k1+ 1k2) 1+ 2k2 2=0，k 1，k 2恒为 0所以*k 1，k 2恒为 0而齐次方程组*只有零解*所以选 B7.当 x0 时，x-sinx 是 x2的_（分数：4.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小 C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小解析：考点提示 根据*的值进行判断即可解题分析 因为*故应选 B8.已知 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 极限中常数的确定解题分析
12、 由*于是有 1-a=0，a+b=0，得 a=1，b=-1故应选 C二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点提示 函数求极限解题分析*评注 一般地，若 a0，b0，则*10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3x-y-7=0）解析：考点提示 曲线的切线方程解题分析 按照参数方程求导得切线斜率，代入点斜式即得切线方程当 t=2 时，x 0=5，y 0=8，且*可知过曲线*上对应于 t=2 处的切线斜率为 3，切点为点(5，8)因此切线方程为 y-8=3(x-5)，即 3x-y-7=011. （分数：4.00）填
13、空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 不定积分解题分析 被积函数为幂函数与指数函数的乘积，因此采用分部积分法，将幂函数看作 u*评注 此题为明了起见，也可以先令 x2=t，原式化为*后，再分部积分12.设矩阵 A= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 行列式、矩阵的计算解题分析 由已知 BA=B+2E，有 B(A-E)=2E，两边取行列式，得|B|A-E|=4因为|A-E|=*=2，所以|B|=213.设 3 阶矩阵 A 的特征值 是 2，3若行列式|2A|=-48，则 =_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：考点提示 矩阵的特征值及
14、其与矩阵的行列式之间的关系解题分析 因为矩阵的行列式等于它所有特征值的积，且|2A|=2 3|A|=-48，所以 23|A|=2323=-48，则 =-114.微分方程 yy+y2=0 满足初始条件 y|x=0=1，y| x=0= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y 2=x+1）解析：考点提示 二阶微分方程解题分析 由题设，令 y=u，则 y“=*代入原方程，得*由初始条件知 u0，所以化为*+u=0分离变量得*两边积分得 lnu=lnC-lny由已知 y=1 时，u=*，可解得 C=*于是 lnu=ln*，即 u=*将 y=u 代入上式，有*，分离变量并积分得 y2=c+C1由
15、初始条件 x=0，y=1，解得 C1=1，所以 y2=x+1此即所求特解三、解答题(总题数：10，分数：94.00)15.求 （分数：9.00）_正确答案：()解析：考点提示 函数求极限评注 注意本题 x 为负，因此分子分母同除以 x 时，将 x 放入根式内应小心符号16.计算 （分数：9.00）_正确答案：(本题为“1 ”型未定式，除可以利用第二类重要极限进行计算或化为指数函数计算外，由于已知数列的表达式，也可将 n 换为 x 转化为函数极限进行计算一般地若 因为)解析：考点提示 三角函数求极限17.设函数 f(x)在(-，+)上有定义，在区间0，2上，f(x)=x(x 2-4)若对任意的
16、x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数(1) 写出 f(x)在-2，0上的表达式(2)问 k 为何值时，f(x)在 x=0 处可导（分数：9.00）_正确答案：(由题设，f(x)=x(x 2-4)，x0，2当 x-2，0)时，x+20，2)，则由 f(x)=kf(x+2)知f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2)2-4=k(x+2)(x2+4x)=kx(x+2)(x+4)，x-2，0)由导数定义及 f(0)=0有令 f(0+)=f(0-)，则 k=- 所以当 k=- )解析：考点提示 分段函数、导数的定义18.设 =(x)是抛物线 y= 上任一点 M(x，y)(x1)的
17、曲率半径，S=S(x)是该抛物线上介于点A(1，1)与 M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公式为 k= （分数：9.00）_正确答案：(由题设， 且抛物线在点 M(x，y)处的曲率半径为抛物线上 的弧长为因此得到 (x)与 S(x)都是 x 的函数，从而由知且因此)解析：考点提示 曲率、弧长公式、参数方程求导19.计算 （分数：9.00）_正确答案：(详解 1 分子、分母同乘以某一三角函数详解 2 用万能代换今 t=tan 则 sinx= cosx= x=2arctant，dx=于是详解 3 用半角公式详解 4 用半角公式)解析：考点提示 本题主要考查三角函数有理式不定积分的计算技
18、巧和方法，由于三角函数的变形公式非常多，相应地，本题也有多种解法评注 不定积分的最后结果表达式，采用不同的计算方法可能在形式上不完全一致，这是正常的最后结果是否正确只需对其求导即可验证若求导后等于被积函数，说明一定是正确的20.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2求 f(x，y)在椭圆域 D=(x，y)|x 2+（分数：9.00）_正确答案：(1) 求 f(x，y)的表达式由已知有 dx=dx2-dy2=d(x2-y2) z=x2-y2+C又因为 f(11)=2，所以 C=2，从而 z=f(x，y)=x 2-y2+2(2) 求 f(x，y)在 D
19、 内驻点及相应函数值解)解析：考点提示 多元函数的最值21.设矩阵 A= （分数：10.00）_正确答案：(根据已知 A*X=A-1+2X，得(A *-2E)X=A-1，由 A 左乘该式，并利用公式 A*=|A|A-1，则得(|A|E-2A)X=E，其中从而因此)解析：考点提示 矩阵方程22.已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3，10，b，4) T问：(1) a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表示?(2) a，b 取何值时， 可由 1， 2， 3线性表示?并写出此表示式。（分数：10.00）_正确答案：(向量 能否由
20、 1， 2， 3线性表示，实质上等价于下述方程组有解或无解的问题：Ax=，其中从而相应的增广矩阵为利用初等行变换，将 B 化为阶梯形如下(1) 当 b2 时，r(A)r(B)，此时方程组 Ax= 无解，即 不能由 1， 2， 3线性表示(2) 当 b=2，a1 时，r(A)=r(B)且 r(A)=3，此时方程组 Ax= 有唯一解，且相应的行简化阶梯形为因此该唯一解为 x= 因此 可由 1， 2， 3唯一表示为 =- 1+2 2当 b=2，a=1 时，r(A)=r(B)且 r(A)=23，此时方程组 Ax= 有无穷解，相应的行简化阶梯形为)解析：考点提示 线性代数方程组解的性质23.设 （分数：
21、10.00）_正确答案：(由题设，不难求得而 A 2=( T)( T)=( T) T= T=2A，则 A4=4A2=8A由此可将原矩阵方程化简为 16Ax=8Ax+16x+，即 8(A-2E)x=，其中 E 为三阶单位矩阵令 x=(x1，x 2，x 3)T，代入上式，得此方程组的增方矩阵为经由初等行变换化为行简化阶梯形为则导出组的基础解系为 而原方程组有特解 所以)解析：考点提示 矩阵方程24.设矩阵 A= （分数：10.00）_正确答案：(由题设，A= ，则|A-E|=0，即其行列式可得出(-2)( 2-8+18+3a)=0若 =2 是特征方程的二重根，则 22-82+18+3a=0，解之得 a=-2，此时 1= 2=2， 3=6，且 A-2E=显然 r(A-2E)=1，所以对应特征值 2 有两个线性无关的特征向量，因此 A 可相似对角化若 =2 不是特征方程的二重根，则 2-8+18+3a=0 有二重根，即 64-4(18+3a)=0，解之得 a=-此时 1=2， 2= 3=4，且)解析：考点提示 矩阵对角化、相似矩阵
