1、考研数学二-144 及答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 p(x)，q(x)，f(x)均是 x 的已知连续函数，y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的 3 个线性无关的解，C 1，C 2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )（分数：4.00）A.C1y1+(C2-C1)y2+(1-C2)y3B.(C1-C2)y1+(C2-1)y2+(1-C1)y3C.(C1+C2)y1+(C1-C2)y2+(1-C1)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y32.设 则
2、F(x)在 x=0 处( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.设常数 a0，积分 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 ，其中 xy，且 xy0又设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 1=1，-2，3，2 T， 2=2，0，5，-2 T是线性齐次方程组 AX=0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 AX=0 的解向量的是( )（分数：4.00）A. 1=1，-3，3，3 TB. 2=0，0，5，-2 TC. 3=-1，-6，-1，10 TD. 4=1，6，1，0 T6.设 xn与 yn均无界，z n有界，则( )（分数：4.00）A.xn+yn必无界B.xnyn必无界C.
3、xn+zn必无界D.xnzn必无界7.设 A 是三阶矩阵，AX=0 有通解 k1 1+k2 2，A 3= 3，则存在可逆阵 P，使得 P-1AP= （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 D=(x，y)|x 2+y21)，常数 0则二重积分 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)由方程 所确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是_（分数：4.0
4、0）填空项 1:_13.设 f(lnx)=xlnx，则 f(n)(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3是三维线性无关列向量，且满足 A 1= 1+2 2+ 3，A( 1+ 2)=2 1+ 2+ 3，A( 1+ 2+ 3)= 1+ 2+2 3，则|A|=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.不定积分 （分数：11.00）_16.D=(x，y)|0x1，0y2e，计算二重积分 （分数：10.00）_设 f(x)为连续函数， （分数：9.99）_17.设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且存在反函数
5、，其反函数为 g(x)若 （分数：10.00）_18.设 x 与 y 均大于 0 且 xy，证明： （分数：11.00）_19.计算 （分数：10.00）_20.设 u=f(2x+3y，z)，其中 f 具有二阶连续偏导数，而 z=z(x，y)是由方程 确定并满足 z(0，0)=1的函数 （分数：10.00）_设 3 维向量组 1， 2线性无关， 1， 2线性无关1.证明：存在非零 3 维向量 ， 可由 1， 2线性表出，也可由 1， 2线性表出（分数：11.00）_1.设 A，B 是 n 阶矩阵，A 有特征值 =1，2，n证明：AB 和 BA 有相同的特征值，且 ABBA；（分数：11.00）
6、_考研数学二-144 答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 p(x)，q(x)，f(x)均是 x 的已知连续函数，y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的 3 个线性无关的解，C 1，C 2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )（分数：4.00）A.C1y1+(C2-C1)y2+(1-C2)y3B.(C1-C2)y1+(C2-1)y2+(1-C1)y3 C.(C1+C2)y1+(C1-C2)y2+(1-C1)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3解析：分析
7、 将(B)改写为C1(y1-y3)+C2(y2-y1)+(y3-y2)因为 y1，y 2，y 3均是 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，所以 y1-y3，y 2-y1。是 y“+p(x)y+q(x)y=0 的解，并且y1-y3，y 2-y1线性无关事实上，若它们线性相关，则存在 k1与 k2不全为零，使k1(y1-y3)+k2(y2-y1)=0，即 -k 1y3+k2y2+(k1-k2)y1=0，由于题设 y1，y 2，y 3线性无关，故 k1=0，k 2=0，k 1-k2=0，与 k1，k 2不全为零矛盾于是推知 C1(y1-y3)+C2(y2-y1)为对应的齐次方程的通解，而 y
8、1-y2也是对应齐次方程的一个解，它包含于 C1(y1-y3)+C2(y2-y1)之中，所以 C1(y1-y3)+C2(y2-y1)+(y3-y2)即(B)也是该非齐方程对应的齐次方程的通解选(B)2.设 则 F(x)在 x=0 处( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 具体计算出 F(x)如下当 x0，*当 x0，*再讨论(A)，(B)，(C)，(D)*，所以不选(A)*当 a1 时不可导，当 a=1 时可导，所以选(D)3.设常数 a0，积分 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 I1-I2=*当*时，cosxsinx，*，所以，I 1-I20选(A)4.设 ，其中
9、 xy，且 xy0又设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 当 x0 时，*所以 x=0 为*的无穷间断点5.设 1=1，-2，3，2 T， 2=2，0，5，-2 T是线性齐次方程组 AX=0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 AX=0 的解向量的是( )（分数：4.00）A. 1=1，-3，3，3 TB. 2=0，0，5，-2 TC. 3=-1，-6，-1，10 T D. 4=1，6，1，0 T解析：分析 AX=0 的基础解系为 1， 2，若 i是 AX=0 的解向量* i，可由 1， 2线性表出*非齐次线性方程组 1x1+ 2x2= i有解逐个 i判别较麻烦，合在一起作
10、初等行变换判别方便*显然因 r( 1， 2)=r( 1， 2， 3)=2， 1x1+ 2x2= 3有解，故 3是 AX=0 的解向量，故应选(C)而r( 1， 2)=2r( 1， 2， i)=3，i=1，2，4故 1， 2， 4不是 AX=0 的解向量6.设 xn与 yn均无界，z n有界，则( )（分数：4.00）A.xn+yn必无界B.xnyn必无界C.xn+zn必无界 D.xnzn必无界解析：分析 用反证法证明x n+zn必无界设x n+zn有界，则存在 M0 与 M10，对一切n，|x n+zn|M 与|z n|M 1由不等式|xn|=|xn+zn-zn|x n+zn|+|zn|M+M
11、 1从而x n有界，与题设矛盾故选(C)7.设 A 是三阶矩阵，AX=0 有通解 k1 1+k2 2，A 3= 3，则存在可逆阵 P，使得 P-1AP= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 1， 2是 A 的对应于 1=0 的线性无关特征向量， 3是 A 的对应于 2=1 的特征向量，且注意下列概念：A 的同一个特征值对应的特征向量，如 =0， 1， 2是特征向量，则 k1 1+k2 2为非零向量时，仍是A 的特征向量若是 =1 对应的特征向量，则 k 3仍是 =1 的特征向量，k 为非零任意常数对不同特征值 1 2，则对应的特征向量之和，如 1+ 3， 2- 3等不再是 A 的特
12、征向量P 中的特征向量排列次序应与对角阵中 的排列次序一致由上述三条知应选(C)，因(C)中， 1+ 2，- 2仍是 =0 的特征向量，2 3仍是 =1 的特征向量且与对角阵中特征值的排列次序一致(A)中 1+ 2不是特征向量，(D)中 2- 3不是特征向量，(B)中 2， 1对应的特征值的排列次序不一致，故都是错误的8.设 D=(x，y)|x 2+y21)，常数 0则二重积分 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由于区域 D 关于 x 与 y 轮换对称，故*于是，再注意到 f(y)=ey -e-y 为 y 的奇函数，故*选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y
13、=y(x)由方程 所确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：分析 由*，以 x=0 代入，有 y=1再将所给方程两边对 x 求导，得*于是 *以 x=0，y=1 代入，得 y|x=0=3，y“| x=0=-210. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 *其中，(*)为令*11.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 方法一 由极限与无穷小的关系，有*于是 *但由 *所以 *由于 f(x)在 x=0 处连续，所*所以曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y-f(0)=f(0
14、)(x-0)，即*方法二 将 sinx 按皮亚诺余项泰勒公式展至 n=3，有*代入原极限式，有*可见*，即有*于是*以下与方法一同12.微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 将方程改写为*，将 x 看成函数，此为 x 对 y 的一阶线性方程，代入通解公式，*再由初始条件：x=1 时，y=2，从而 c=5，所以*13.设 f(lnx)=xlnx，则 f(n)(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e x(x+n-1)）解析：分析 由 f(lnx)=xlnx，则 f(x)=xex由莱布
15、尼茨高阶导数乘法公式，有*=ex(x+n-1)14.设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3是三维线性无关列向量，且满足 A 1= 1+2 2+ 3，A( 1+ 2)=2 1+ 2+ 3，A( 1+ 2+ 3)= 1+ 2+2 3，则|A|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：分析 方法一 由题设条件 A 1= 1+2 2+ 3，A( 1+ 2)=2 1+ 2+ 3，A( 1+ 2+ 3)= 1+ 2+2 3，故 A( 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3)=A( 1， 2， 3)*=( 1+2 2+ 3，2 1+ 2+ 3， 1+ 2+2 3)*两边取行列式，得*因 1， 2
16、， 3线性无关，所以| 1， 2， 3|0，*故有*方法二 A 1= 1+2 2+ 3，A( 1+ 2)=2 1+ 2+ 3，故 A 2=A( 1+ 2)-A 1= 1- 2，A( 1+ 2+ 3)= 1+ 2+2 3，A 3=A( 1+ 2+ 3)-A 1-A 2= 3- 1，故A 1，A 2，A 3=A 1， 2， 3= 1+2 2+ 3， 1- 2， 3- 1*两边取行列式，因| 1， 2， 3|0，*或 P= 1， 2， 3可逆，得 A 1， 2， 3=*相似矩阵有相同的行列式，故*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.不定积分 （分数：11.00）_正确答案：(由部分分式(
17、)若 A0，则积分之后会出现对数函数；若 C0，也会出现对数函数因此 A=0 且 C=0将它们代入()式后，通分并命两边分子相等，得x 3+x 2+x+=B(x 2+x+1)+D(x-1)2=(B+D)x2+(B-2D)x+(B+D)所以 =0，=B+D，=B-2D，=B+D从而推得 =0，= 以及 可以任意当满足上述条件时，被积函数为 ，)解析：16.D=(x，y)|0x1，0y2e，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(如图，将 D 分成 D1D 2，D 1与 D2除边界之外无公共部分)解析：设 f(x)为连续函数， （分数：9.99）_正确答案：(设 f(x)为奇函数， ，所以
18、 是偶函数设 f(x)为偶函数， ，)解析：_正确答案：(f(x)的一切原函数可以表示成的形式若 f(x)为奇函数，由()知 为偶函数，故 都是偶函数若 f(x)为偶函数，由(1)知 为奇函数，f(x)的一切原函数)解析：_正确答案：(设 f(x)具有周期 T，记 ，考察所以 F(x)以 T 为周期的充要条件是 而 f(x)的任意一个原函数可以表示成 F(x)+C，当且仅当 F(x)为 T 周期时，F(x)+C 以 T 为周期，所以 f(x)的任意一个原函数以 T 为周期的充要条件是 )解析：17.设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且存在反函数，其反函数为 g(x)若 （分数：1
19、0.00）_正确答案：(将 两边对 x 求导数，得g(f(x)f(x)+f(x)=xex，即xf(x)+f(x)=xex或写成 (xf(x)=xe x，两边积分得因 f(x)在 x=0 处连续，所以只有 C=1 时上式才能成立所以)解析：18.设 x 与 y 均大于 0 且 xy，证明： （分数：11.00）_正确答案：(不妨认为 yx0因若 xy0，则变换所给式子左边的 x 与 y，由行列式性质知，左式不变由柯西中值公式，存在 (x，y)，使记 f(u)=eu-ueu，有 f(0)=1，f(u)=-ue u0(当 u0)，所以当 u0 时 f(u)1，从而知 e -e 1于是证得)解析：19
20、.计算 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：20.设 u=f(2x+3y，z)，其中 f 具有二阶连续偏导数，而 z=z(x，y)是由方程 确定并满足 z(0，0)=1的函数 （分数：10.00）_正确答案：(u 与 x，y 的脉络关系如图，其中 z 与 x，y 的关系由方程联系着，由 ，有类似地，)解析：设 3 维向量组 1， 2线性无关， 1， 2线性无关1.证明：存在非零 3 维向量 ， 可由 1， 2线性表出，也可由 1， 2线性表出（分数：11.00）_正确答案：(因 1， 2， 1， 2均是三维向量，四个三维向量必线性相关，由定义，存在不全为零的数 k1，k 2， 1， 2
21、，使得k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0，得 k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 2取 =k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 2，若 =0，则 k1 1+k2 2=- 1 1- 2 2=0因 1， 2线性无关， 1， 2也线性无关，从而得出 k1=k2=0，且 1= 2=0，这和四个三维向量线性相关矛盾 即为所求的既可由 1， 2线性表出，也可由 1， 2线性表出的非零向量故 0)解析：_正确答案：(设 =k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 2，则得齐次线性方程组 k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0，将 1， 2， 1， 2合并成矩阵，并作初等行变换得，其中 k 是任意的非零常数(或 )解析：1.设 A，B 是 n 阶矩阵，A 有特征值 =1，2，n证明：AB 和 BA 有相同的特征值，且 ABBA；（分数：11.00）_正确答案：(因 A 有 n 个互不相同的非零特征值，|A|=n!0，故 A 可逆，从而有|E-AB|=|A(A -1-B)|=|A|E-BA|A -1|=|E-BA|即 AB 和 BA 有相同的特征多项式，故有相同的特征值又若取可逆阵 P=A，则有P-1ABP=A-1ABA=BA，故有 ABBA)解析：_正确答案：(一般 AB BA，例如，则有显然 r(AB)=0，r(BA)=1，故 AB )解析：
