1、考研数学二-144 及答案解析(总分:149.99,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 p(x),q(x),f(x)均是 x 的已知连续函数,y 1(x),y 2(x),y 3(x)是 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的 3 个线性无关的解,C 1,C 2是两个任意常数,则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )(分数:4.00)A.C1y1+(C2-C1)y2+(1-C2)y3B.(C1-C2)y1+(C2-1)y2+(1-C1)y3C.(C1+C2)y1+(C1-C2)y2+(1-C1)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y32.设 则
2、F(x)在 x=0 处( )(分数:4.00)A.B.C.D.3.设常数 a0,积分 (分数:4.00)A.B.C.D.4.设 ,其中 xy,且 xy0又设 (分数:4.00)A.B.C.D.5.设 1=1,-2,3,2 T, 2=2,0,5,-2 T是线性齐次方程组 AX=0 的基础解系,则下列向量中是齐次线性方程组 AX=0 的解向量的是( )(分数:4.00)A. 1=1,-3,3,3 TB. 2=0,0,5,-2 TC. 3=-1,-6,-1,10 TD. 4=1,6,1,0 T6.设 xn与 yn均无界,z n有界,则( )(分数:4.00)A.xn+yn必无界B.xnyn必无界C.
3、xn+zn必无界D.xnzn必无界7.设 A 是三阶矩阵,AX=0 有通解 k1 1+k2 2,A 3= 3,则存在可逆阵 P,使得 P-1AP= (分数:4.00)A.B.C.D.8.设 D=(x,y)|x 2+y21),常数 0则二重积分 (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 y=y(x)由方程 所确定,则 (分数:4.00)填空项 1:_10. (分数:4.00)填空项 1:_11.设 f(x)在 x=0 处连续,且 (分数:4.00)填空项 1:_12.微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是_(分数:4.0
4、0)填空项 1:_13.设 f(lnx)=xlnx,则 f(n)(x)=_(分数:4.00)填空项 1:_14.设 A 是三阶矩阵, 1, 2, 3是三维线性无关列向量,且满足 A 1= 1+2 2+ 3,A( 1+ 2)=2 1+ 2+ 3,A( 1+ 2+ 3)= 1+ 2+2 3,则|A|=_(分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.不定积分 (分数:11.00)_16.D=(x,y)|0x1,0y2e,计算二重积分 (分数:10.00)_设 f(x)为连续函数, (分数:9.99)_17.设函数 f(x)在0,+)上可导,f(0)=0,且存在反函数
5、,其反函数为 g(x)若 (分数:10.00)_18.设 x 与 y 均大于 0 且 xy,证明: (分数:11.00)_19.计算 (分数:10.00)_20.设 u=f(2x+3y,z),其中 f 具有二阶连续偏导数,而 z=z(x,y)是由方程 确定并满足 z(0,0)=1的函数 (分数:10.00)_设 3 维向量组 1, 2线性无关, 1, 2线性无关1.证明:存在非零 3 维向量 , 可由 1, 2线性表出,也可由 1, 2线性表出(分数:11.00)_1.设 A,B 是 n 阶矩阵,A 有特征值 =1,2,n证明:AB 和 BA 有相同的特征值,且 ABBA;(分数:11.00)
6、_考研数学二-144 答案解析(总分:149.99,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 p(x),q(x),f(x)均是 x 的已知连续函数,y 1(x),y 2(x),y 3(x)是 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的 3 个线性无关的解,C 1,C 2是两个任意常数,则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )(分数:4.00)A.C1y1+(C2-C1)y2+(1-C2)y3B.(C1-C2)y1+(C2-1)y2+(1-C1)y3 C.(C1+C2)y1+(C1-C2)y2+(1-C1)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3解析:分析
7、 将(B)改写为C1(y1-y3)+C2(y2-y1)+(y3-y2)因为 y1,y 2,y 3均是 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解,所以 y1-y3,y 2-y1。是 y“+p(x)y+q(x)y=0 的解,并且y1-y3,y 2-y1线性无关事实上,若它们线性相关,则存在 k1与 k2不全为零,使k1(y1-y3)+k2(y2-y1)=0,即 -k 1y3+k2y2+(k1-k2)y1=0,由于题设 y1,y 2,y 3线性无关,故 k1=0,k 2=0,k 1-k2=0,与 k1,k 2不全为零矛盾于是推知 C1(y1-y3)+C2(y2-y1)为对应的齐次方程的通解,而 y
8、1-y2也是对应齐次方程的一个解,它包含于 C1(y1-y3)+C2(y2-y1)之中,所以 C1(y1-y3)+C2(y2-y1)+(y3-y2)即(B)也是该非齐方程对应的齐次方程的通解选(B)2.设 则 F(x)在 x=0 处( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:分析 具体计算出 F(x)如下当 x0,*当 x0,*再讨论(A),(B),(C),(D)*,所以不选(A)*当 a1 时不可导,当 a=1 时可导,所以选(D)3.设常数 a0,积分 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:分析 I1-I2=*当*时,cosxsinx,*,所以,I 1-I20选(A)4.设 ,其中
9、 xy,且 xy0又设 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:分析 当 x0 时,*所以 x=0 为*的无穷间断点5.设 1=1,-2,3,2 T, 2=2,0,5,-2 T是线性齐次方程组 AX=0 的基础解系,则下列向量中是齐次线性方程组 AX=0 的解向量的是( )(分数:4.00)A. 1=1,-3,3,3 TB. 2=0,0,5,-2 TC. 3=-1,-6,-1,10 T D. 4=1,6,1,0 T解析:分析 AX=0 的基础解系为 1, 2,若 i是 AX=0 的解向量* i,可由 1, 2线性表出*非齐次线性方程组 1x1+ 2x2= i有解逐个 i判别较麻烦,合在一起作
10、初等行变换判别方便*显然因 r( 1, 2)=r( 1, 2, 3)=2, 1x1+ 2x2= 3有解,故 3是 AX=0 的解向量,故应选(C)而r( 1, 2)=2r( 1, 2, i)=3,i=1,2,4故 1, 2, 4不是 AX=0 的解向量6.设 xn与 yn均无界,z n有界,则( )(分数:4.00)A.xn+yn必无界B.xnyn必无界C.xn+zn必无界 D.xnzn必无界解析:分析 用反证法证明x n+zn必无界设x n+zn有界,则存在 M0 与 M10,对一切n,|x n+zn|M 与|z n|M 1由不等式|xn|=|xn+zn-zn|x n+zn|+|zn|M+M
11、 1从而x n有界,与题设矛盾故选(C)7.设 A 是三阶矩阵,AX=0 有通解 k1 1+k2 2,A 3= 3,则存在可逆阵 P,使得 P-1AP= (分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 1, 2是 A 的对应于 1=0 的线性无关特征向量, 3是 A 的对应于 2=1 的特征向量,且注意下列概念:A 的同一个特征值对应的特征向量,如 =0, 1, 2是特征向量,则 k1 1+k2 2为非零向量时,仍是A 的特征向量若是 =1 对应的特征向量,则 k 3仍是 =1 的特征向量,k 为非零任意常数对不同特征值 1 2,则对应的特征向量之和,如 1+ 3, 2- 3等不再是 A 的特
12、征向量P 中的特征向量排列次序应与对角阵中 的排列次序一致由上述三条知应选(C),因(C)中, 1+ 2,- 2仍是 =0 的特征向量,2 3仍是 =1 的特征向量且与对角阵中特征值的排列次序一致(A)中 1+ 2不是特征向量,(D)中 2- 3不是特征向量,(B)中 2, 1对应的特征值的排列次序不一致,故都是错误的8.设 D=(x,y)|x 2+y21),常数 0则二重积分 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 由于区域 D 关于 x 与 y 轮换对称,故*于是,再注意到 f(y)=ey -e-y 为 y 的奇函数,故*选(C)二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 y
13、=y(x)由方程 所确定,则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:-2)解析:分析 由*,以 x=0 代入,有 y=1再将所给方程两边对 x 求导,得*于是 *以 x=0,y=1 代入,得 y|x=0=3,y“| x=0=-210. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:分析 *其中,(*)为令*11.设 f(x)在 x=0 处连续,且 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:分析 方法一 由极限与无穷小的关系,有*于是 *但由 *所以 *由于 f(x)在 x=0 处连续,所*所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y-f(0)=f(0
14、)(x-0),即*方法二 将 sinx 按皮亚诺余项泰勒公式展至 n=3,有*代入原极限式,有*可见*,即有*于是*以下与方法一同12.微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:分析 将方程改写为*,将 x 看成函数,此为 x 对 y 的一阶线性方程,代入通解公式,*再由初始条件:x=1 时,y=2,从而 c=5,所以*13.设 f(lnx)=xlnx,则 f(n)(x)=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:e x(x+n-1))解析:分析 由 f(lnx)=xlnx,则 f(x)=xex由莱布
15、尼茨高阶导数乘法公式,有*=ex(x+n-1)14.设 A 是三阶矩阵, 1, 2, 3是三维线性无关列向量,且满足 A 1= 1+2 2+ 3,A( 1+ 2)=2 1+ 2+ 3,A( 1+ 2+ 3)= 1+ 2+2 3,则|A|=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:-4)解析:分析 方法一 由题设条件 A 1= 1+2 2+ 3,A( 1+ 2)=2 1+ 2+ 3,A( 1+ 2+ 3)= 1+ 2+2 3,故 A( 1, 1+ 2, 1+ 2+ 3)=A( 1, 2, 3)*=( 1+2 2+ 3,2 1+ 2+ 3, 1+ 2+2 3)*两边取行列式,得*因 1, 2
16、, 3线性无关,所以| 1, 2, 3|0,*故有*方法二 A 1= 1+2 2+ 3,A( 1+ 2)=2 1+ 2+ 3,故 A 2=A( 1+ 2)-A 1= 1- 2,A( 1+ 2+ 3)= 1+ 2+2 3,A 3=A( 1+ 2+ 3)-A 1-A 2= 3- 1,故A 1,A 2,A 3=A 1, 2, 3= 1+2 2+ 3, 1- 2, 3- 1*两边取行列式,因| 1, 2, 3|0,*或 P= 1, 2, 3可逆,得 A 1, 2, 3=*相似矩阵有相同的行列式,故*三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.不定积分 (分数:11.00)_正确答案:(由部分分式(
17、)若 A0,则积分之后会出现对数函数;若 C0,也会出现对数函数因此 A=0 且 C=0将它们代入()式后,通分并命两边分子相等,得x 3+x 2+x+=B(x 2+x+1)+D(x-1)2=(B+D)x2+(B-2D)x+(B+D)所以 =0,=B+D,=B-2D,=B+D从而推得 =0,= 以及 可以任意当满足上述条件时,被积函数为 ,)解析:16.D=(x,y)|0x1,0y2e,计算二重积分 (分数:10.00)_正确答案:(如图,将 D 分成 D1D 2,D 1与 D2除边界之外无公共部分)解析:设 f(x)为连续函数, (分数:9.99)_正确答案:(设 f(x)为奇函数, ,所以
18、 是偶函数设 f(x)为偶函数, ,)解析:_正确答案:(f(x)的一切原函数可以表示成的形式若 f(x)为奇函数,由()知 为偶函数,故 都是偶函数若 f(x)为偶函数,由(1)知 为奇函数,f(x)的一切原函数)解析:_正确答案:(设 f(x)具有周期 T,记 ,考察所以 F(x)以 T 为周期的充要条件是 而 f(x)的任意一个原函数可以表示成 F(x)+C,当且仅当 F(x)为 T 周期时,F(x)+C 以 T 为周期,所以 f(x)的任意一个原函数以 T 为周期的充要条件是 )解析:17.设函数 f(x)在0,+)上可导,f(0)=0,且存在反函数,其反函数为 g(x)若 (分数:1
19、0.00)_正确答案:(将 两边对 x 求导数,得g(f(x)f(x)+f(x)=xex,即xf(x)+f(x)=xex或写成 (xf(x)=xe x,两边积分得因 f(x)在 x=0 处连续,所以只有 C=1 时上式才能成立所以)解析:18.设 x 与 y 均大于 0 且 xy,证明: (分数:11.00)_正确答案:(不妨认为 yx0因若 xy0,则变换所给式子左边的 x 与 y,由行列式性质知,左式不变由柯西中值公式,存在 (x,y),使记 f(u)=eu-ueu,有 f(0)=1,f(u)=-ue u0(当 u0),所以当 u0 时 f(u)1,从而知 e -e 1于是证得)解析:19
20、.计算 (分数:10.00)_正确答案:( )解析:20.设 u=f(2x+3y,z),其中 f 具有二阶连续偏导数,而 z=z(x,y)是由方程 确定并满足 z(0,0)=1的函数 (分数:10.00)_正确答案:(u 与 x,y 的脉络关系如图,其中 z 与 x,y 的关系由方程联系着,由 ,有类似地,)解析:设 3 维向量组 1, 2线性无关, 1, 2线性无关1.证明:存在非零 3 维向量 , 可由 1, 2线性表出,也可由 1, 2线性表出(分数:11.00)_正确答案:(因 1, 2, 1, 2均是三维向量,四个三维向量必线性相关,由定义,存在不全为零的数 k1,k 2, 1, 2
21、,使得k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0,得 k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 2取 =k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 2,若 =0,则 k1 1+k2 2=- 1 1- 2 2=0因 1, 2线性无关, 1, 2也线性无关,从而得出 k1=k2=0,且 1= 2=0,这和四个三维向量线性相关矛盾 即为所求的既可由 1, 2线性表出,也可由 1, 2线性表出的非零向量故 0)解析:_正确答案:(设 =k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 2,则得齐次线性方程组 k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0,将 1, 2, 1, 2合并成矩阵,并作初等行变换得,其中 k 是任意的非零常数(或 )解析:1.设 A,B 是 n 阶矩阵,A 有特征值 =1,2,n证明:AB 和 BA 有相同的特征值,且 ABBA;(分数:11.00)_正确答案:(因 A 有 n 个互不相同的非零特征值,|A|=n!0,故 A 可逆,从而有|E-AB|=|A(A -1-B)|=|A|E-BA|A -1|=|E-BA|即 AB 和 BA 有相同的特征多项式,故有相同的特征值又若取可逆阵 P=A,则有P-1ABP=A-1ABA=BA,故有 ABBA)解析:_正确答案:(一般 AB BA,例如,则有显然 r(AB)=0,r(BA)=1,故 AB )解析: