1、考研数学二-142 及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 A，B 特征值相同，则 ABB.矩阵 A 的秩与其非零特征值个数相等C.若 A，B 特征值相同，则 A，B 等价D.A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，则 AB2.设 y=y(x)是微分方程 y“+(x-1)y+x2y=ex满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，*为( )（分数：4.00）A.0B.1C.2D.33.考虑二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的下面四条性质： 连续 可微 f x(x0，y
2、 0)与 fy(x0，y 0)存在 f x(x，y)与 fy(x，y)连续 若用“*”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.4.设*，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：4.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小5.设 f(x)连续可导，且*，f(0)为 f(x)的极值，则( )（分数：4.00）A.当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极小值B.当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极大值C.当 f(0)0 时，f(0)是 f(x)的极大值D.当 f(0)0 时，f(0)是 f(x)的极小值6
3、.设函数 f(x)在区间(0，+)内具有二阶导数，满足 f(0)=0，f“(x)0，又 0ab，则当 axb 时恒有( )（分数：4.00）A.af(x)xf(a)B.bf(x)xf(b)C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af7.设向量组 1， 2， 3线性无关， 1不可由 1， 2， 3线性表示，而 2可由 1， 2， 3线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A. 1， 2， 2线性相关B. 1， 2， 2线性无关C. 1， 2， 3， 1+ 2线性相关D. 1， 2， 3， 1+ 2线性无关8.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.若函数 f(x)在 x=a 处连续
4、，则函数 f(x)在 x=a 的邻域内连续B.若函数 f(x)在 x=a 处可导，则函数 f(x)在 x=a 的邻域内可导C.若函数 f(x)处处可导，则其导函数处处连续D.若函数 f(x)在 x=a 处连续，在其去心邻域内可导，且*存在，则 f(x)在 x=a 处可导二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.*（分数：4.00）填空项 1:_10.设*，则 f(100)(0)= 1（分数：4.00）填空项 1:_11.*（分数：4.00）填空项 1:_12.*（分数：4.00）填空项 1:_13.y“-2y-3y=e-x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 为三阶实对称
5、矩阵， 1=(m，-m，1) T是方程组 AN=0 的解， 2=(m，1，1-m) T是方程组(A+E)X=0的解，则 m=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)连续，*（分数：11.00）_16.设 f(x)在(-1，1)内有 f“(x)0，*证明在(-1，1)内有 f(x)3x（分数：11.00）_17.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，且存在 q(0，1)，使得|f(x)|q|f(x)|证明：f(x)0（分数：11.00）_18.设直线 y=ax+6 为曲线 y=ln(x+2)的切线，且 y=ax+b、x=0x=4 及曲线
6、y=ln(x+2)围成的图形面积最小，求 a，b（分数：11.00）_19.*（分数：11.00）_20.设 y=f(x，t)，而 t 是由方程 G(z，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，其中 f(x，t)，G(x，y，t)为可微函数，求*（分数：11.00）_21.设 f(x)在1，+)上连续，若曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 * 且*，求函数 y=f(x)的表达式（分数：11.00）_22.设 A 为 mn 矩阵，且*，其中* () 证明方程组 AX=b 有且仅有 n-r+1 个线性无关解； () *有三个
7、线性无关解，求 a，b 及方程组的通解（分数：11.00）_23.设二次型*的矩阵合同于* () 求常数 a； () 用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)为标准形（分数：11.00）_考研数学二-142 答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 A，B 特征值相同，则 ABB.矩阵 A 的秩与其非零特征值个数相等C.若 A，B 特征值相同，则 A，B 等价D.A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，则 AB 解析：*，因为|E-A|=|E-B|= 2(-1)，所以 A，B 特
8、征值相同，但 r(A)=2r(B)=1，故 A，B 不相似，(A)不正确； *，显然 1= 2=0， 3=1而 r(A)=2，所以(B)不正确； 由(A)，A，B 特征值相同，A，B 的秩不一定相等，故(C)不正确； 设 A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，令其特征值为 1， 2， n，因为 A，B 都可对角化， 所以存在可逆阵 P1，P 2，使得*，从而有*，于是*，则 P-1AP=B，即 AB，选(D)2.设 y=y(x)是微分方程 y“+(x-1)y+x2y=ex满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，*为( )（分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：因为 y(
9、0)=0，y(0)=1，所以由 y“+(x-1)y+x2y=ex得 y“(0)=2， *3.考虑二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的下面四条性质： 连续 可微 f x(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在 f x(x，y)与 fy(x，y)连续 若用“*”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( ) *（分数：4.00）A.B. C.D.解析：若 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)在(x 0，y 0)处可微，若 f(x，y)在(x 0，y 0)处可微，则f(x，y)在(x 0，y 0)处连续，故选(B)4.设*，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：4.0
10、0）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：*，所以正确答案为(B)5.设 f(x)连续可导，且*，f(0)为 f(x)的极值，则( )（分数：4.00）A.当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极小值 B.当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极大值C.当 f(0)0 时，f(0)是 f(x)的极大值D.当 f(0)0 时，f(0)是 f(x)的极小值解析：因为 f(x)连续可导，*得 f(0)+f(0)=0 当 f(0)0 时，因为 f(0)0，所以 f(0)不是极值，(C)，(D)不对；当 f(0)=0 时。f(0)=10，故 f(0)为f(x
11、)的极小值，选(A)6.设函数 f(x)在区间(0，+)内具有二阶导数，满足 f(0)=0，f“(x)0，又 0ab，则当 axb 时恒有( )（分数：4.00）A.af(x)xf(a)B.bf(x)xf(b) C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af解析：令*，当 axb 时，*，再令 h(x)=xf(x)-f(x)，由微分中值定理得 h(x)=xf(x)-f(x)=xf(x)-f()(0x)， 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调减少，于是 h(x)=xf(x)-f()0，故 (x)0，(x)单调减少 *7.设向量组 1， 2， 3线性无关， 1不可由 1， 2， 3线性表示，而 2可
12、由 1， 2， 3线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A. 1， 2， 2线性相关B. 1， 2， 2线性无关C. 1， 2， 3， 1+ 2线性相关D. 1， 2， 3， 1+ 2线性无关 解析：因为 1不可由 1， 2， 3线性表示，而 2可由 1， 2， 3线性表示，所以 1+ 2不可由 1， 2， 3线性表示，从而 1， 2， 3， 1+ 2线性无关，故选(D)8.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.若函数 f(x)在 x=a 处连续，则函数 f(x)在 x=a 的邻域内连续B.若函数 f(x)在 x=a 处可导，则函数 f(x)在 x=a 的邻域内可导C.若函
13、数 f(x)处处可导，则其导函数处处连续D.若函数 f(x)在 x=a 处连续，在其去心邻域内可导，且*存在，则 f(x)在 x=a 处可导 解析：*，显然 f(x)除 x=0 处连续外，其他点均间断该函数除 x=0 处可导外，因为该函数除 x=0 外间断，故也不可导，(A)，(B)不对； * 因为*不存在，所以 f(x)在 x=0 处不连续，(C)不对； 由微分中值定理得 f(x)-f(a)=f()(x-a)，其中 介于 a 与 x 之间，因为 limf(x)存在，所以*存在，故 f(x)在 x=a 处可导，选(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.*（分数：4.00）填空项 1
14、:_ （正确答案：2）解析：* * x-xx=x(1-xx-1)=-xe(x-1)lnx-1-(x-1)lnx， *10.设*，则 f(100)(0)= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-100!）解析：*11.*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*12.*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：改变积分次序得 *13.y“-2y-3y=e-x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：特征方程为 2-2-3=0，特征值为 1=-1， 2=3，则方程 y“-2y-3y=0 的通解为 y=C1e-x+C2e3x 令原方程
15、的特解为 y0(x)=Axe-x，代入原方程得*，于是原方程的通解为 *14.设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(m，-m，1) T是方程组 AN=0 的解， 2=(m，1，1-m) T是方程组(A+E)X=0的解，则 m=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：由 AX=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A 的特征值， 1=(m，-m，1) T为其对应的特征向量； 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，|A+E|=0，=-1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为 2=(m，1，1-m) T，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量
16、正交，于是有 m=1三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)连续，*（分数：11.00）_正确答案：(*)解析：16.设 f(x)在(-1，1)内有 f“(x)0，*证明在(-1，1)内有 f(x)3x（分数：11.00）_正确答案：(*)解析：17.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，且存在 q(0，1)，使得|f(x)|q|f(x)|证明：f(x)0（分数：11.00）_正确答案：(因为 f(x)在0，1上连续，所以|f(x)|在0，1上连续，由闭区间上连续函数的性质，存在c0，1，使得* 由微分中值定理得 M=|f(c)|=|f(c)-f(0)|=|f()|c(
17、其中 介于 0 与 c 之间) 又由|f(c)|q|f(x)|得 M=|f()|c|f()|q|f()|qM， 因为 q(0，1)且 M0，所以 M=0，故 f(x)0)解析：18.设直线 y=ax+6 为曲线 y=ln(x+2)的切线，且 y=ax+b、x=0x=4 及曲线 y=ln(x+2)围成的图形面积最小，求 a，b（分数：11.00）_正确答案：(设直线 y=ax+b 为曲线 y=ln(x+2)在点(x 0，ln(x 0+2)处的切线， * 当 x0(-2，2)时，S(x 0)0，当 x02 时，S(x 0)0，则 x0=2 为 S(x0)的最小点，从而当*时，y=ax+b、x=0、
18、x=4 及曲线 y=ln(x+2)围成的图形面积最小 *)解析：19.*（分数：11.00）_正确答案：(*)解析：20.设 y=f(x，t)，而 t 是由方程 G(z，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，其中 f(x，t)，G(x，y，t)为可微函数，求*（分数：11.00）_正确答案：(由方程组*确定两个一元函数，其中 x 为自变量，y，t 为函数，*对 x 求异得 * *)解析：21.设 f(x)在1，+)上连续，若曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 * 且*，求函数 y=f(x)的表达式（分数：11.00）_
19、正确答案：(由旋转体的体积公式得 * 由已知条件得* 等式两边对 t 求导得 3f2(t)=2tf(t)+t2f(t)， 于是有 x2y=3y2-2xy，变形得* *，分离变量并两边积分得 * *)解析：22.设 A 为 mn 矩阵，且*，其中* () 证明方程组 AX=b 有且仅有 n-r+1 个线性无关解； () *有三个线性无关解，求 a，b 及方程组的通解（分数：11.00）_正确答案：() 令 1， 2， n-r为 AX=0 的基础解系，町 0 为 AN=b 的特解，显然 0= 0， 1= 1+ 0， n-r= n-r+ 0为 AN=b 的一组解，令 k0 0+k1 1+kn-r n
20、-r=0，即 k1 1+k2 2+kn-r n-r+(k0+k1+kn-r) 0=0 上式左乘 A 得(k 0+k1+kn-r)b=0，因为 b0 时，k 0+k1+kn-r=0，于是 k1 1+k2 2+kn-r n-r=0，因为 1， 2， n-r为 AX=0 的基础解系，所以 k1=k2=kn-r=0，于是 k0=0，故 0， 1， n-r线性无关 若 0， 1， n-r+1，为 AX=b 的线性无关解，则 1= 1- 0， n-r+1= n-r+1- 0为 AX=0 的解，令 k1 1+k2r 2+kn-r+1 n-r+1=0，则 k1 1+k2 1+kn-r+1 n-r+1一(k 1+k2+kn-r+1) 0=0 因为 0， 1， n-r+1线性无关，所以 k1=k2=kn-r+1=0，即 1， 2， n-r+1，为 AX=0 的线性无关解，矛盾，故方程组 AX=b 恰有 n-r+1 个线性无关解 *=因为 AX= 有三个非零解，所以 AX=0 有两个非零解，故 4-r(A)2，r(A)2，又因为 r(A)2，所以* * * *)解析：23.设二次型*的矩阵合同于* () 求常数 a； () 用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)为标准形（分数：11.00）_正确答案：(* * () * *)解析：
