1、考研数学二-140 及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知*设 F(x)=*，则 F(x)为_ * * * *（分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线*的渐近线有_（分数：4.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条3.设 F(x)=*，则 F(x)_（分数：4.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数4.设 an、b n、c n均为非负数列，且*，则必有_（分数：4.00）A.anb n对任意 n 成立B.bnc n对任意 n 成立C.极限*不存在D.极限*不存在5.当 x1 时，函数*的极限_（分数：4.
2、00）A.等于 0B.等于 1C.为D.不存在但不为6.设函数 f(u)可导，y=f(x 2)，当自变量 x 在 x=-1 处取得增量x=-0.1 时，相应的函数增量y 的线性主部为 0.1，则 f(1)=_（分数：4.00）A.-1B.0.1C.1D.0.57.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)是_（分数：4.00）A.n!f(x)n+1B.nf(x)n+1C.f(x)2nD.n!f(x)2n8.设函数 f(x)在0，1上 f“(x)0，则 f(0)，f(1)，f(1)-f(0)或 f(0)-f
3、(1)的大小顺序是_（分数：4.00）A.f(1)f(0)f(1)-f(0)B.f(1)f(1)-f(0)f(0)C.f(1)-f(0)f(1)f(0)D.f(1)f(0)-f(1)f(0)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若*在(-，+)上连续，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 y=y(x)由参数方程*所确定，则*=_（分数：4.00）填空项 1:_11.*=_.（分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程*的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_13.设函数 y(x)由参数方程*确定，则曲线 y=y(x)向上凸的 x 取值范围为_（分数：4.00）填空
4、项 1:_14.曲线 sin(xy)+ln(y-x)=x 在点(0，1)处的切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.已知*，求常数 a（分数：11.00）_16.设函数 y=y(x)由方程 xef(y)=ey确定，其中 f 具有二阶导数，且*（分数：11.00）_17.求微分方程(y-x 3)dx-2xdy=0 的通解（分数：11.00）_18.计算不定积*分（分数：11.00）_19.求微分方程 y“+y=x+cosx 的通解（分数：11.00）_20.设 f(x)在0，1上连续且递减，证明：当 01 时， *（分数：11.00）_21.已
5、知曲线 L 的方程为 * (1)讨论 L 的凹凸性； (2)过点(-1，0)引 L 的切线，求切点(x 0，y 0)，并写出切线的方程； (3)求此切线与 L(对应于 xx 0的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积（分数：11.00）_22.过点 P(1，0)作抛物线*的切线，该切线与上述抛物线及 x 轴围成一平面图形求此平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积（分数：11.00）_23.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x,y)处的曲率为*，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为 y=x+1求该曲线的方程，并求函数 y=y(x)的极值（分数：11.00）_考研数学二-14
6、0 答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知*设 F(x)=*，则 F(x)为_ * * * *（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 根据 x 的取值范围和积分的可加性，分段讨论积分即可 解题分析 当 0x1 时， * 当 1x2 时* 故有*故应选 D 评注 本题主要考查分段函数的变限积分2.曲线*的渐近线有_（分数：4.00）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：考点提示 利用渐近线的定义，求极限便得渐近线 解题分析 因为* 可知此曲线有一条水平渐近线 又* 故*，可知此曲线有一条铅直渐近线 但 x1 和
7、 x-2，均有有限极限因此曲线共有两条渐近线 评注 渐近线有水平、铅直和斜渐近线三种若函数是由一个表达式给出，一般水平与斜渐近线不共存3.设 F(x)=*，则 F(x)_（分数：4.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：考点提示 周期函数、定积分 解题分析 由题设，被积函数 f(x)=esinxsinx 具有周期 2，所以 *4.设 an、b n、c n均为非负数列，且*，则必有_（分数：4.00）A.anb n对任意 n 成立B.bnc n对任意 n 成立C.极限*不存在D.极限*不存在 解析：考点提示 数列的极限 解题分析 由题设，*及*知，当 n 充分大时，a nb
8、 n但对任意 n，a nb n不一定成立，从而可排除A同理 bac n对任意 n 也不一定成立，因此 B 也可排除假设 an*，则*，且*，因此 C 也不成立关于 D，由于*，所以极限*不存在综上，选 D5.当 x1 时，函数*的极限_（分数：4.00）A.等于 0B.等于 1C.为D.不存在但不为 解析：考点提示 本题的关键是注意* 解题分析 因为*，故有 * 可见,*不存在但不为 评注*等均是极限不存在的情形遇此情形一般应通过左、右极限进行讨论6.设函数 f(u)可导，y=f(x 2)，当自变量 x 在 x=-1 处取得增量x=-0.1 时，相应的函数增量y 的线性主部为 0.1，则 f(
9、1)=_（分数：4.00）A.-1B.0.1C.1D.0.5 解析：考点提示 增量与微分 解题分析 由于增量的线性主部等于函数的微分，因此由题设写出 y=f(x 2)=2xf(x2)x+o(x)， 将 x=-1，x=-0.1 代入，得 y x=-1=-2f(1)x+o(x)=0.2f(1)+o(x)=0.1+o(x)， 所以 0.2f(1)=0.1，f(1)=*选 D7.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)是_（分数：4.00）A.n!f(x)n+1 B.nf(x)n+1C.f(x)2nD.n!f(
10、x)2n解析：考点提示 可先求出一阶、二阶、三阶导数，再找出一般性的规律 解题分析 由 f(x)=f(x)2，有 f“(x)=2f(x)f(x)=2f(x)f(x)2=2!f(x)3, *(x)=2!3f(x)2f(x)=3!f(x)4 一般地，用数学归纳法，有 f(n)(x)=n!f(x)n+1故应选 A8.设函数 f(x)在0，1上 f“(x)0，则 f(0)，f(1)，f(1)-f(0)或 f(0)-f(1)的大小顺序是_（分数：4.00）A.f(1)f(0)f(1)-f(0)B.f(1)f(1)-f(0)f(0) C.f(1)-f(0)f(1)f(0)D.f(1)f(0)-f(1)f(
11、0)解析：考点提示 函数单调性 解题分析 由 f“(x)0，知，f(x)单调增加而 f(1)-f(0)涉及到两点的函数值之差，自然联想到用拉格朗日中值定理 详解 由 f“(x)0 知，f(x)单调增加，又由微分中值定理， 有 f(1)-f(0)=f()(1-0)(01)， 根据 f(0)f()f(1)知，f(0)f(1)-f(0)f(1)故应选 B 评注 涉及到两点的函数值之差，一般用微分中值定理二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若*在(-，+)上连续，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 极限中常数的确定 解题分析 因为当 x0 时，初等函数
12、*有定义，因而连续在 x=0 处，利用 * 于是 a=-2.10.设函数 y=y(x)由参数方程*所确定，则*=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 参数方程的导数解题分析 因为* 于是*11.*=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点提示 本题是无穷限的广义积分，用分部积分法和形式上的牛顿-莱布尼兹公式即可 解题分析 * 评注 无穷限广义积分的计算同普通定积分类似也可作变量代换和进行分部积分，可应用牛顿-莱布尼兹公式但对广义积分进行加减运算时，应十分小心因为此时有可能是不成立的12.微分方程*的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_
13、（正确答案：y=Cxe -x，C 为任意常数）解析：考点提示 一阶微分方程的通解解题分析 微分方程*是可变量分离的一个方程，分离变量得 * 积分得 lny=lnx-x+C 1， 即* 所以，原方程的通解为 y=Cxe-x，C 为任意常数13.设函数 y(x)由参数方程*确定，则曲线 y=y(x)向上凸的 x 取值范围为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x1）解析：考点提示 参数方程求导、曲线上凸 解题分析 由题设， * 则* 令*即 t0.又由已知 x=x3+3t+1，则*，从而 x=x(t)是严格单调递增的，且 x(0)=1，所以 t0 等价于 x1，此即所求 x 的取值范围
14、注 当 t0 时，x114.曲线 sin(xy)+ln(y-x)=x 在点(0，1)处的切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=x+1）解析：考点提示 曲线的切线方程 解题分析 先求曲线在点(0，1)处切线的斜率，即隐函数求导对曲线方程两边求导数，得 * 将点(0，1)代入上述方程可得 1+y(0)-1=1，即 y(0)=1故切线方程为 y-1=x，即 y=x+1三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.已知*，求常数 a（分数：11.00）_正确答案：(由*，有 2a=ln9,于是 a=ln3.)解析：考点提示 极限中常数的确定16.设函数 y=y(x)由方程 x
15、ef(y)=ey确定，其中 f 具有二阶导数，且*（分数：11.00）_正确答案：(详解 1 方程两边取自然对数，得 lnx+f(y)=y 对 x 求导，得* 从而* 故* 详解 2 在等式 xef(y)=ey两边对 x 求导，得 ef(y)+xef(y)f(y)y=eyy， 从而* y“的求法同详解 1)解析：考点提示 本题可先取对数再求导，也可直接按隐函数求导17.求微分方程(y-x 3)dx-2xdy=0 的通解（分数：11.00）_正确答案：(先化为一阶线性微分方程的标准形式： * 由一阶线性微分方程的通解公式，得 *)解析：考点提示 微分方程的通解18.计算不定积*分（分数：11.0
16、0）_正确答案：(被积函数为反二三角函数与幂函数的乘积，因此采用分部积分法，将反三角 函数看作 u.注意* 详解 1* 详解 2令 arctanx=u，则 x=tanu，dx=sec 2udu，因此 *)解析：考点提示 用分部积分法来求不定积分 评注 根据被积函数的类型，选择适当的积分方法是解题的关键19.求微分方程 y“+y=x+cosx 的通解（分数：11.00）_正确答案：(方程 y“+y=x+cosx 对应的齐次方程的特征方程为 2+1=0，特征根为 1.2=i，故对应的齐次方程通解为 C1cosx+C2sinx 方程 y“+y=x 的特解可设为*，代入方程得 A=1，B=0，于是*
17、方程 y“+y=cosx 的特解可设为*=x(Ccosx+Dsinx)，代入方程得 C=0，D=*，于是* 所以原方程的通解为 y=C1cosx+C2sinx+x+*xsinx)解析：考点提示 本题应注意方程的右端为两项之和，因此由叠加原理，方程 y“+y=x+cosx 的特解为方程 y“+y=x 的特解与方程 y“+y=cosx 的特解之和20.设 f(x)在0，1上连续且递减，证明：当 01 时， *（分数：11.00）_正确答案：(详解 1 因 f(x)在0，1上连续，南定积分的可加性和积分中值定理，知 * * 又 01，f(x)在0，1上递减，则 01-1，f()f()，因此 (1-)
18、f()-f()0， 故 * 详解 2 设*，则 F(1)=F(0)=0 因 f(x)在0，1上连续，由积分中值定理知，存在 (0，1)，使* 于是 F()=f()-f() 又 f(x)在0，1上递减，因此， 当 时，F()0，即 F()F(1)=0； 当 时，F()0，即 F()F(0)=0 所以，当 (0，1)时，*)解析：考点提示 利用函数的单调性及积分中值定理21.已知曲线 L 的方程为 * (1)讨论 L 的凹凸性； (2)过点(-1，0)引 L 的切线，求切点(x 0，y 0)，并写出切线的方程； (3)求此切线与 L(对应于 xx 0的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积（分数：
19、11.00）_正确答案：(先求*由已知*，代入 y 得 y=*于是 * 所以曲线 L 是凸的 (2) 设 L 上切点(x 0，y 0)处的切线方程是 * 令 x=-1y=0，则有 * 再令*，得 * 即*+t 0-2=0. 解得 t0=1，t 0=-2(不合题意)所以切点是(2，3)，相应的切线方程是： y=3+(x-2)， 即 y=x+1 (3)切点为(x 0，y 0)的切线与 L 及 x 轴所围成的平面图形如图所示，则所求平面图形的面积为 * *)解析：考点提示 切线方程、平面图形的面积22.过点 P(1，0)作抛物线*的切线，该切线与上述抛物线及 x 轴围成一平面图形求此平面图形绕 x
20、轴旋转一周所成旋转体的体积（分数：11.00）_正确答案：(设所作切线与抛物线相切于点(*),在此点处的切线斜率为 * 于是，切线方程为* 将点 P(1，0)的坐标 x=1，y=0 代入切线方程中，解得 x0=3因此切线方程为 y=*，故所求旋转体的体积 *)解析：考点提示 先求切点，然后求切线方程，最后用旋转体的计算公式得旋转体体积 评注 本题综合考查了导数的几何应用和定积分的几何应用23.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x,y)处的曲率为*，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为 y=x+1求该曲线的方程，并求函数 y=y(x)的极值（分数：11.00）_正确答案：(由题设，由线上凸，因而 y“0由曲率公式，得 * 化简得* 令 p=y，则 P=y“，代入上式，得*此为可分离变量的方程，即*-dx，两边积分得 arctanp=C1-x又由已知曲线上点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，则曲线过点(0，1)，且该点处 y x=0=1，即p x=0=1.代入上式，得 C1=*，所以*积分得 * 将点(0，1)代入上式，得 * 综上得所求曲线为* 又由*，所以*因为 lnx 是严格递增的，且 g(x)=*在*取极大值，*，且 * 另有* 因而 y=y(x)无极小值，当*时取得最大值*)解析：考点提示 曲率、二阶微分方程
