1、考研数学二-139 及答案解析(总分：118.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3. （分数：1.00）填空项 1:_4. （分数：1.00）填空项 1:_5. （分数：4.00）填空项 1:_6. （分数：4.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：26.00)7. （分数：1.00）A.B.C.D.8. （分数：1.00）A.B.C.D.9. （分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：4.00）A.B.C.D.11. （分数：4.00）A.B.C.D
2、.12. （分数：4.00）A.B.C.D.13.考虑二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的下面四条性质： 连续 可微 f x(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在 f x(x，y)与 fy(x，y)连续 若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有U /U（分数：4.00）A.B.C.D.14.函数 u=xyz2在条件 x2+y2+z2=4(x0，y0，z0)下的最大值是（分数：4.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：74.00)15.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=-2， 1=(1，-1，1) T是 A 的属于 1的一个
3、特征向量B=A 5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵()验证 1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值的特征向量；()求矩阵 B（分数：14.00）_16. （分数：1.00）_17. （分数：10.00）_18.若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即 A=kE，E 是 n 阶单位矩阵)（分数：11.00）_19.已知 =(1，k，-2) T是二次型 （分数：5.00）_20. （分数：12.00）_21. （分数：11.00）_22. （分数：1.00）_23.设 f(u，)有二阶连续偏导数，且满足 又 求 （分数：9.00）_考研
4、数学二-139 答案解析(总分：118.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1-a）解析：*2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*3. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*4. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：* *5. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*6. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*二、B选择题/B(总题数：8，分数：26.00)7. （分数：1.00）A.B.C.D. 解
5、析：*8. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：*9. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 参见数学一模拟 106 解答题第 8 题解析.10. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*11. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*12. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*13.考虑二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的下面四条性质： 连续 可微 f x(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在 f x(x，y)与 fy(x，y)连续 若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有U /U（分数：4.00）A.B. C.D.解析：若 f(x，y
6、)一阶连续可偏导，则 f(x，y)在(x 0，y 0)处可微，若 f(x，y)在(x 0，y 0)处可微，则f(x，y)在(x 0，y 0)处连续，故选(B)14.函数 u=xyz2在条件 x2+y2+z2=4(x0，y0，z0)下的最大值是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *分析二 化为简单最值问题，由条件解出 x2=4-x2-y2(0x 2+y24)，代入表达式，转化为求u=xy(4-x2-y2)在区域 D= (x，y)|0x 2+y24的最大值，*三、B解答题/B(总题数：9，分数：74.00)15.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=-2， 1=
7、(1，-1，1) T是 A 的属于 1的一个特征向量B=A 5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵()验证 1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值的特征向量；()求矩阵 B（分数：14.00）_正确答案：(由 A= 有 An= n那么*所以 1矩阵 B 属于特征值 1=-2 的特征向量类似地，由 A 2= 2 2，A 3= 3 3有*因为 2， 3是矩阵 A 中不同特征值的特征向量， 2， 3是线性无关的，那么 B 关于 =1 有 2 个线性无关的特征向量由 A 是对称矩阵，知矩阵 B 是对称矩阵，设(x 1，x 2，x 3)T是 B 关于 =1 的任一特征向量，那么由特征值不
8、同特征向量相互正交，有x1-x2+x3=0得基础解系 2=(1，1，0) T， 3=(-1，0，1) T所以矩阵 B 关于 =-2 的特征向量为 k1(1，-1，1) T，k 1是不为 0 的任意常数；矩阵 B 关于 =1 的特征向量为 k2(1，1，0) T+k3(-1，0，1) T，k 2，k 3是不全为 0 的任意常数()由 B 1=-2 1，B 2= 2，B 3= 3有B( 1， 2， 3)=(-2 1， 2， 3)那么 B=(-2 1， 2， 3)( 1， 2， 3)-1*)解析：16. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：17. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：1
9、8.若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即 A=kE，E 是 n 阶单位矩阵)（分数：11.00）_正确答案：(因为任一个 n 维非零列向量均是 A 的特征向量，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 必与对角矩阵相似现取 n 个单位向量 i=(0，0，1，0，0) T，(i=1，2，n)为 A 的特征向量，其特征值分别为 1， 2， n那么令 P=( 1， 2， n)=E，有*如果 1 2，则 A( 1+ 2)= 1 1+ 2 2因为每个 n 维向量都是 A 的特征向量，又应有 A( 1+ 2)=( 1+ 2)，于是 ( 1-) 1+( 2
10、-) 2=0由于 1-， 2- 不全为 0，与 1， 2线性无关相矛盾，所以必有 1= 2同理可知 1= 2= n=k，故 A=kE评注 n 阶数量矩阵 kE 的特征值是 k(n 重根)；并且任一 n 维非零列向量都是 kE 的特征向量)解析：19.已知 =(1，k，-2) T是二次型 （分数：5.00）_正确答案：(解 二次型矩阵 设 =(1，k，-2) T是矩阵 A 对应于特征值 1的特征向量，按定义有 * * 由特征多项式 得到矩阵 A 的特征值为 2，0，-1 由(2E-A)x=0 得基础解系 1=(1，1-2) T； 由(0E-A)x=0 得基础解系 2=(1，-1，0) T； 由(
11、-E-A)x=0 得基础解系 3=(1，1，1) T 因为特征值不同特征向量 1， 2， 3已两两正交，故单位化有 * 那么经正交变换 * 有*)解析：20. （分数：12.00）_正确答案：(*)解析：21. （分数：11.00）_正确答案：(* Y-y(x)=y(x)(X-x)， 其中(X，Y)是切线上点的坐标. 在切线方程中令 Y=0，得 x 轴上的截距 * * ()下面求解. 这是不显含 x 的二阶方程，作变换 p=y，并以 y 为自变量得 * *)解析：22. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：23.设 f(u，)有二阶连续偏导数，且满足 又 求 （分数：9.00）_正确答案：(dg=(yf u+xf )dx+(xfu-y )dy于是 *故*从而*)解析：解析 复合函数的二阶偏导数
