1、考研数学二-137 及答案解析(总分：147.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是 43 阶的矩阵，且 （分数：4.00）A.B.C.D.2.（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.由图形 所确定的平面区域的面积 S 可表示为 （分数：4.00）A.B.C.D.5.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)，g(x)为恒大于 0 的可导函数，且(lnf(x)(lng(x)，则当 axb 时，必有 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列结论正确的是（分数：4.00）A. 1， 2是方程(A-
2、E)X=0 的一个基础解系，则 k1 1+k2 2是 A 的属于 的全部特征向量，其中k1，k 2是全不为零的常数B.A，B 有相同的特征值，则 A 与 B 相似C.如果|A|=0，则 A 至少有一个特征值为零D.设 同是方阵 A，B 的特征值，则 也是 A+B 的特征值8.设 f(x)的二阶导数 f“(x)存在，则求极限 正确的方法是 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 f(x,y,z)=xeyz2，其中 z
3、=z(x,y)为由方程 （分数：4.00）填空项 1:_14. 1， 2， 3，2 1+k 2+3 3。都是方程组 AX=b(b0)的解向量，则参数 k=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：91.00)15.设 f(x)为可微函数， 为开区间(a,b)内一点，且有 f()0，(x-)f(x)0，试证在闭区间a,b上必有 f(x)0（分数：10.00）_16.求微分方程(y 4-2xy)y=y2+1 满足初始条件 y(0)=0 的特解（分数：10.00）_17.设曲线 L：r=r()，P(r,)为 L 上任意一点，P 0(2,0)为 L 上的一定点，且曲线 L 与极径
4、 OP0、OP 所围成的曲边扇形面积值等于曲线 L 上 P0，P 两点间弧长值之半，试求曲线 L 的方程（分数：10.00）_18.已知函数 f(x)=ax3+x2+2 在 x=0 和 x=-1 处取得极值，试求 f(x)的增减区间、极大值、极小值和拐点（分数：10.00）_19.设 f(x)存a,b上连续，在(a,b)内可导 f(x)单调减小试证： （分数：10.00）_20. （分数：10.00）_21.设函数 f(x)二阶可导，xa,b，则至少存在一点 (a,b)，使 （分数：10.00）_22.设 A，B 皆为 mn 矩阵，证明： r(AB)r(A)+r(B)（分数：10.00）_（分
5、数：11.01）_考研数学二-137 答案解析(总分：147.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是 43 阶的矩阵，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 易见 r(AB)r(A)， 又 A=(AB)B -1， 故 r(A)r(AB)， 从而 r(AB)=r(A)=22.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由积分中值定理知，存在(，)(x,y)|x 2+y2r 2，使 * *3.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 令*，则 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 * 故由罗尔定理知至少存在一点 (0
6、,1),使 f()=0。即 a0+a1+a n n，即方程 a0+a1x+anxn=0至少有一根 (0,1)4.由图形 所确定的平面区域的面积 S 可表示为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 方程*表示圆心在 y 轴上，半径为*且与原点相切的圆.r 2=cos2 表示双纽线由对称性知其在第一、二象限所围的面积相等，只需计算第一象限部分的面积当*故有 *5.函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 * 例如，取 y=kx，当 x0，y0，于是 * 故 f(x,y)在点(O,0)处不连续， * 同理 fy(0,0)=0，说明 f(x,y)在点(0,0)处有偏导数 综上所述
7、，选项(B)正确6.设 f(x)，g(x)为恒大于 0 的可导函数，且(lnf(x)(lng(x)，则当 axb 时，必有 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 (lnf(x)(lng(x)，所以 * *7.下列结论正确的是（分数：4.00）A. 1， 2是方程(A-E)X=0 的一个基础解系，则 k1 1+k2 2是 A 的属于 的全部特征向量，其中k1，k 2是全不为零的常数B.A，B 有相同的特征值，则 A 与 B 相似C.如果|A|=0，则 A 至少有一个特征值为零 D.设 同是方阵 A，B 的特征值，则 也是 A+B 的特征值解析：分析 (A)错在于 k1，k 2是全不为零
8、的常数；(B)错，因有相同特征值的矩阵未必相似，而相似矩阵有相同的特征值；(D)显然不成立8.设 f(x)的二阶导数 f“(x)存在，则求极限 正确的方法是 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 (A)错这是因为题设只说 f“(x)存在，并未说明 f“(x)连续，所以等式 * 皆未必成立 (B)错此极限中，h 是变量，而 x 是不变量，故使用洛比达法则时，分子、分母均应对变量 h 求导此解错在分子是对 x 求导，而分母是对 h 求导 (D)错事实上，这种解法运用的是乘积的求极限法则，但因*不存在，故不能使用乘积的求极限法则。 (C)对因为这符合导数的定义二、填空题(总题数：6，分数：
9、24.00)9. （分数：4.00）解析：分析* *10.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(1+y 2)y“-3yy“=0）解析：分析 求一微分方程，使所给函数满足此方程，且所求微分方程的阶数与函数中任意常数的个数相同在所给函数中含有三个任意常数，所求方程必为 3 阶微分方程，因此，对(x-c 1)2+(y-C2)2=*；两边关于 x 连续求导 3 次，有 x-c1+(y-c2)y=0， 1+y2+(y-c2)y“=0， 2yy“+yy“+(y-c2)y“=0 由解出* (1+y2)y“-3yy“=011. （分数：4.00）解析：分析* * *12. （分数：4.00）
10、填空项 1:_ （正确答案：arotan ）解析：分析 先求出 f(x)的表达式，再由定积分算出结果 *13.设 f(x,y,z)=xeyz2，其中 z=z(x,y)为由方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：分析 *由*，两边对 x 求导，得 *14. 1， 2， 3，2 1+k 2+3 3。都是方程组 AX=b(b0)的解向量，则参数 k=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：分析 由设知 *三、解答题(总题数：9，分数：91.00)15.设 f(x)为可微函数， 为开区间(a,b)内一点，且有 f()0，(x-)f(x)0，试证在闭区间a,b
11、上必有 f(x)0（分数：10.00）_正确答案：(由 f()0，(x-)f(x)0，(a,b)，知： 当 x，f(x)0，从而 f(x)单增，于是有 f(x)f()0，x,b； 当 x，f(x)0，从而 f(x)单减，于是有 f(x)f()0，xa, 总之，f(x)0，xa,b)解析：分析 利用函数的单调性16.求微分方程(y 4-2xy)y=y2+1 满足初始条件 y(0)=0 的特解（分数：10.00）_正确答案：(将方程改写为 代入 y(0)=0，得 C=0 故所求方程的特解为 )解析：分析 把方程中的 y 看做自变量，x 看做 y 的函数，注意到 y2+10，则所给方程可以改写为一阶
12、非齐次线性微分方程17.设曲线 L：r=r()，P(r,)为 L 上任意一点，P 0(2,0)为 L 上的一定点，且曲线 L 与极径 OP0、OP 所围成的曲边扇形面积值等于曲线 L 上 P0，P 两点间弧长值之半，试求曲线 L 的方程（分数：10.00）_正确答案：(曲线 L：r=r()，P(r,)为 L 上任一点，P 0(2,0)为 L 上的定点由题意，知 )解析：分析 由题设，列出变上限积分等式，接着求导，得出微分方程，求得通解，再由题设定出特解，即为所求曲线方程18.已知函数 f(x)=ax3+x2+2 在 x=0 和 x=-1 处取得极值，试求 f(x)的增减区间、极大值、极小值和拐
13、点（分数：10.00）_正确答案：(f(x)=3ax 2+2x=x(3ax+2) 所以(-,-1)(0,+)为 f(x)的增区间，(-1,0)是减区间 是极大值，f(0)=2 是极小值点)解析：分析 函数 f(x)表达式中含有未知参数 a，这可以用已知 x=0 和 x=-1 处取得极值来确定，分析f(x)和 f“(x)的正负就可以定出 f(x)的增减区间和极大值，极小值、拐点19.设 f(x)存a,b上连续，在(a,b)内可导 f(x)单调减小试证： （分数：10.00）_正确答案：(令 则有 F(a)=0， 因 f(x)单减，故 F(x)0从而 F(x)单增 即当 xa，有 F(x)F(a)
14、=0，即有 F(b)0 )解析：分析 构造辅助函数，利用微分中值定理及 f(x)单减性即可证之20. （分数：10.00）_正确答案：( )解析：分析 先由 In的表达式，导出计算 In的递推关系式，再利用反证法证明21.设函数 f(x)二阶可导，xa,b，则至少存在一点 (a,b)，使 （分数：10.00）_正确答案：(将 f(x)在点 处展为一阶泰勒公式，有 )解析：分析 利用一阶泰勒公式，取*22.设 A，B 皆为 mn 矩阵，证明： r(AB)r(A)+r(B)（分数：10.00）_正确答案：(设 1， 2， n与 1， 2， n分别为矩阵 A 与 B 的列向量，于是 A=( 1， 2
15、， n)，B=( 1， 2， n)， 且有 A+B=( 1+ 1， 2+ 2，a n+ n) 这就是说，A+B 的列向量可由向量组 1， 2， n， 1， 2， n线性表出，故有 r(A+B)r( 1， 2， n， 1， 2， n) r( 1， 2， n)+r( 1， 2， n) =r(A)+r(B) 易知 r(-B)=r(B)，故 r(A-B)r(A)+r(-B)=r(A)+r(B)解析：分析 利用矩阵与向量组的关系以及秩的概念证之（分数：11.01）_正确答案：(I)二次型对应矩阵为 ，由二次型的秩为 2，知 )解析：分析 ()根据二次型的秩为 2，可知对应矩阵的行列式为 0，从而可求 t
16、 的值；_正确答案：(这里 ，可求出其特征值为 1= 2=2， 3=0 解(2E-A)x=0，得特征向量为： 解(0E-A)x=0，得特征向量为： 由于 1， 2已经正交，直接将 1， 2， 3单位化，得 令 Q=( 1， 2， 3)，即为所求的正交变换矩阵，由 X=QY，可化原二次型为标准形 )解析：分析 ()是常规题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；_正确答案：(由 ，得 y1=0，y 2=0，y 3=k(k 为任意常数)从而所求解为 X= )解析：分析 ()利用第二步的结果，通过标准形求解即可 本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准形以及方程组求解等多个知识点
