1、考研数学二-134 及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)是连续且单调增加的奇函数，*，则 (x)是( )（分数：4.00）A.单调增加的奇函数B.单调减少的奇函数C.单调增加的偶函数D.单调减少的偶函数2.设 A 为 mn 矩阵，且 r（分数：4.00）A.=m n，则下列结论正确的是( )(A) A 的任意 m 阶子式都不等于零B.A 的任意 m 个列向量线性无关C.方程组 AX=b 一定有无数个解D.矩阵 A 经过初等行变换化为*3.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T，则 A 的线性无关的特征向量个数为
2、( )（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4.设函数 y=f(x)的增量函数*，且 f(0)=，则 f(-1)为( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.5.设*，若 f(x)在 x=0 处可导且导数不为零，则 k 为( )（分数：4.00）A.3B.4C.5D.66.曲线*的渐近线条数为( )（分数：4.00）A.3 条B.2 条C.1 条D.0 条7.设函数 f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是( )（分数：4.00）A.若 f(x)只有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点B.若 f(x)至少有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点C.若 f(x)没有零点，则
3、 f(x)至少有一个零点D.若 f(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点8.设 f(x，y)在(0，0)处连续，*，则( )（分数：4.00）A.f(x，y)在(0，0)处不可偏导B.f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C.fx(0，0)=f y(0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分D.fx(0，0)=f y(0，0)=0 且 f(x，y)在(0，0)处可微分二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.*（分数：4.00）填空项 1:_10.曲线*在 t=0 对应点处的法线方程为 1（分数：4.00）填空项 1:_11.设*，f 有一阶连续的偏导数，则*= 1（分数：4
4、.00）填空项 1:_12.*（分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程 y“-3y+2y=2ex*的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_14.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B -1+2E|= 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.当 x-1 时，f(x)可导，f(0)=1，且满足 * () 求 f(x)； () 证明：当 x0 时有不等式 e-xf(x)1（分数：11.00）_16.设 f(x)二阶可导，且 f“(x)0 () 证明：对任意的 X0，存在唯一的 (x)(0，1)，使
5、得 f(x)=f(0)+xf(x(x)； () 求*（分数：11.00）_17.设*，且 g(x)的一个原函数为 ln(x+1)，求*（分数：11.00）_18.设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得 *（分数：11.00）_19.设 f(x)为-a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令* () 证明：F(x)单调增加 () 当 x 取何值时，F(x)取最小值? () 当 F(x)的最小值为 f(a)-a2-1 时，求函数 f(x)（分数：11.00）_20.计算*,其中 D：x 2+y2a 2（分数：11.00）_21.现有两个分别盛有 10L
6、 浓度为 15g/L 的盐水，现同时以 2L/min 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2L/min 的速度注入第二只桶中，然后以 2L/min 的速度从第二只桶中排出，问 5min 后第二只桶中含盐多少克?（分数：11.00）_22.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 * 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解，在有无数个解时求其通解（分数：11.00）_23.设 =(1，1，-1) T是*的一个特征值 () 确定参数 a，b 及特征向量所对应的特征值； () 问 A 是否可以对角化?说明理由（分数：11.00）_考研数学二-134 答案解析(总分：155.00，做题时间：90
7、分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)是连续且单调增加的奇函数，*，则 (x)是( )（分数：4.00）A.单调增加的奇函数B.单调减少的奇函数 C.单调增加的偶函数D.单调减少的偶函数解析：* * * 所以 (x)为单调减少的奇函数，选(B)2.设 A 为 mn 矩阵，且 r（分数：4.00）A.=m n，则下列结论正确的是( )(A) A 的任意 m 阶子式都不等于零B.A 的任意 m 个列向量线性无关C.方程组 AX=b 一定有无数个解 D.矩阵 A 经过初等行变换化为*解析：因为 A 与*都是 m 行，所以*，所以方程组 AX=b 一定有无数个解，选(C)
8、3.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个 D.4 个解析：令 AX=X，则 A2X= 2X，因为 ， 正交，所以 T： T=0，A 2= T T=0，于是 2X=0，故 1= 2= 3= 4=0，因为 ， 为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)=r( T)r()=1，所以 r(A)=1 因为 4-r(0E-A)=4-r(A)=3，所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选(C)4.设函数 y=f(x)的增量函数*，且 f(0)=，则 f(-1)为( ) *（分数：4.00）
9、A.B.C. D.解析：* 则*，因为 f(0)=，所以 C=x，于是 f(x)=e arctanx， 故*，选(C)5.设*，若 f(x)在 x=0 处可导且导数不为零，则 k 为( )（分数：4.00）A.3B.4C.5 D.6解析：* 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 k-2=3，即 k=5，选(C)6.曲线*的渐近线条数为( )（分数：4.00）A.3 条 B.2 条C.1 条D.0 条解析：* * *，所以曲线的斜渐近线为 y=x+2，故曲线有 3 条渐近线，选(A)7.设函数 f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是( )（分数：4.00）A.若 f(x)只有一个零点，则 f
10、(x)必至少有两个零点B.若 f(x)至少有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点C.若 f(x)没有零点，则 f(x)至少有一个零点D.若 f(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点 解析：若 f(x)至少有两个零点，根据罗尔定理，f(x)至少有一个零点，故若 f(x)没有零点，则 f(x)至多一个零点，选(D)8.设 f(x，y)在(0，0)处连续，*，则( )（分数：4.00）A.f(x，y)在(0，0)处不可偏导B.f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C.fx(0，0)=f y(0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分D.fx(0，0)=f y(0，0)=0 且 f(x
11、，y)在(0，0)处可微分 解析：二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：* *10.曲线*在 t=0 对应点处的法线方程为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*11.设*，f 有一阶连续的偏导数，则*= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*12.*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：二重积分的积分区域为 D=(x，y)|1-yx1+y 2，0y1， *13.微分方程 y“-3y+2y=2ex*的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=-3e x
12、+3e2x-2xex）解析：特征方程为 2-3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，y“-3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x 令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程为 A=-2，原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x-2xex *得 y(0)=0，y(0)=1，代入通解得 C1=-3，C 2=3，特解为 y=-3ex+3e2x-2xex14.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B -1+2E|= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-8）解析：因为 A 的特征值为 3，-3，0，所以 AE 的特征值
13、为 2，-4，-1，从而 AE 可逆，由 E+B=AB 得(A-E)B=E，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为*，-1，B -1的特征值为 2，-4，-1，从而 B-1+2E 的特征值为 4，-2，1，于是|B -1+2E|=-8三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.当 x-1 时，f(x)可导，f(0)=1，且满足 * () 求 f(x)； () 证明：当 x0 时有不等式 e-xf(x)1（分数：11.00）_正确答案：() 由*边对 x 求导得 *)解析：16.设 f(x)二阶可导，且 f“(x)0 () 证明：对任意的 X0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f
14、(x)=f(0)+xf(x(x)； () 求*（分数：11.00）_正确答案：() 对任意的 x0，因为 f(x)可导，所以由微分中值定理，f(x)-f(0)=f()x，其中 位于 0 与 x 之间 又因为 =0+(x)(x=0)=x(x)(其中 (x)(0，1)， 所以 f(x)=f(0)+xfx(x) 设存在 1(x)， 2(x)，使得 f(x)=f(0)+xfx 1(x)，f(x)=f(0)+xfx 2(x)， 于是 fx 1(x)=fx 2(x)，因为 f“(x)0，所以根据罗尔定理， 1(x)= 2(x)，唯一性得证 () 由 f(x)=f(0)+xfx(x)得 *)解析：17.设*
15、，且 g(x)的一个原函数为 ln(x+1)，求*（分数：11.00）_正确答案：(* *)解析：18.设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得 *（分数：11.00）_正确答案：(*，则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x)，由泰勒公式得 * *)解析：19.设 f(x)为-a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令* () 证明：F(x)单调增加 () 当 x 取何值时，F(x)取最小值? () 当 F(x)的最小值为 f(a)-a2-1 时，求函数 f(x)（分数：11.00）_正确答案：(* * 因为 F“(x)=2f(x)0，所以 F
16、(x)为单调增加的函数 () 因为*且 f(x)为偶函数，所以 F(0)=0，又因为 F“(0)O，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点 故最小值为* () 由*两边求导得 2af(a)=f(a)-2a， 于是 f(x)-2xf(x)=2x， *)解析：20.计算*,其中 D：x 2+y2a 2（分数：11.00）_正确答案：(因为区域 D 关于 Y 轴对称，* 又因为区域 D 关于直线 y=x 对称， *)解析：21.现有两个分别盛有 10L 浓度为 15g/L 的盐水，现同时以 2L/min 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2L/min 的速度注入第二只桶中，然后以
17、 2L/min 的速度从第二只桶中排出，问 5min 后第二只桶中含盐多少克?（分数：11.00）_正确答案：(设 t 时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为 m1(t)，m 2(t)，则有 * *)解析：22.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 * 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解，在有无数个解时求其通解（分数：11.00）_正确答案：(* 1) 当 a-1，a6 时，方程组只有唯一解； 2) 当 a=-1 时， * 当 a=-1，b36 时，方程组无解； 当 a=-1，b=36 时，方程组有无数个解， *方程组的通解为 * 3) 当 a=6，b 为任意取值时， * 因为*，所以方程组有无数个解，通解为 *)解析：23.设 =(1，1，-1) T是*的一个特征值 () 确定参数 a，b 及特征向量所对应的特征值； () 问 A 是否可以对角化?说明理由（分数：11.00）_正确答案：(*，解得 a=-3，b=0，=-1 () 由|E-A|=(+1) 3=0，得 =-1 是三重特征值 因为 r(-E-A)=2，所以 =-1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化)解析：
