1、考研数学二-133 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 1， 2， s均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（分数：4.00）A.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性相关B.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性无关C.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性相关D.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性无关2.设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知 1， 2是非齐次线
2、性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，k 1，k 2为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解必是（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y)为连续函数，则 等于（分数：4.00）A.B.C.D.6.在区间(-，+)内，方程 （分数：4.00）A.B.C.D.7.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0，已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下有一个极值点，下列选项正确的是（分数：4.00）A.若 fx
3、(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0B.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0C.若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0D.若 fz(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 则 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xex-yey=zez所确定，则 du=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 y=ex是微分方程 xy+p(x)y=x 的一个解，则此微分方程满足 （分数：4.00
4、）填空项 1:_13.设函数 z=f(u)，方程 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，p(t)，(u)连续，且(u)1，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3，10，b，4) T若 不能由 1， 2， 3线性表出，则 a，b 应满足的条件是_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求函数 （分数：9.00）_16.设函数()当 n 为正整数，且 nx(n+1) 时，证明：2nS(x)2(n+1)；()求 （分数：9.00）_17
5、.设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有 2 阶导数，且 （分数：9.00）_18.一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 连接而成（分数：9.00）_19.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 又 g(x，y)= （分数：9.00）_20.设二元函数计算二重积分 （分数：9.00）_21.设函数 f(x)在闭区间0，13 上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=0，证明：存在 （分数：9.00）_22.设 A=E- T，其中 E 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T是 的转置证明：()A 2=A 的充分必要条件是 T=1()
6、当 T=1 时，A 是不可逆矩阵（分数：9.00）_23.设矩阵 （分数：22.00）_考研数学二-133 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 1， 2， s均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（分数：4.00）A.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性相关 B.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性无关C.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性相关D.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性无关解析：分析 因为(A 1，A s，.
7、,A s)=A( 1， 2，.， s)所以 r(A 1，A 2，A s)=rA( 1， 2， s)r( 1， 2， s)由于 1， 2， s线性相关，有 r( 1， 2， s)s从而 r(A 1，A 2，A s)s即 A 1，A 2，A s线性相关或者，由于 1， 2， s线性相关，故存在不全为 0 的 k1，k 2，k s使得k1 1+k2 2+ks s=0那么 A(k 1 1+k2 2+ks s)=0 即k1A 1+k2A 2+ksA s=0所以 A 1，A 2，A s线性相关评注 要熟悉利用秩，利用定义来判断线性相关的方法2.设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 （分
8、数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 利用导数定义与 f(0)=0 即知*故应选(B)3.已知 1， 2是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，k 1，k 2为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解必是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由 1， 2是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系知 n-r(A)=2，从而非齐次线性方程组 Ax=b的通解形式为：k 1 1+k2 2+其中 1， 2是 Ax=0 的基础解系， 是 Ax=b 的解由方程组解的性质知*都是 Ax=0 的解，*是 Ax=b 的解那么(A)中没有方程组 A
9、x=b 的特解 ，(C)中没有特解 而且 1+ 2也不是齐次方程组 Ax=0 的解，(D)中虽有特解 ，但齐次方程组 1， 1- 2的线性无关性没有保证唯(B)中，不仅 1， 1- 2是 Ax=0 的解而且是线性无关的，同时*是 Ax=b 的解，故应选(B)4.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 因为*，因此只须在*内比较*的大小，即比较*之间的大小由 y=tanx，y=x，*的草图可得，在*(如图所示)因此在*内有*，再由定积分的性质*即 1I 1I 2，故应选(B)评注 可以证明，在*内有*5.设 f(x，y)为连续函数，则 等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分
10、析 积分*的积分区域 D 由 y=x，y=0 及 x2+y2=1 所围图形的第一象限部分(如图所示)*为直线 y=x 与圆 x2+y2=1 在第一象限的交点坐标将这个积分化为在直角坐标系下先 x 后 Y 的积分是*故正确选项为(C)评注 *化为在直角坐标系下先 y 后 x 的积分是*6.在区间(-，+)内，方程 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 设*f(x)是偶函数，只须考察 f(x)在0，+)内零点的个数当 x0 时，*又当*这表明*时，f(x)没有零点所以只须考虑 f(x)在*内零点的个数，又*当*时，f(x)0，所以f(x)在*内单调递增，因而 f(x)在*内至多有一个零点
11、*，由连续函数的零点存在定理，在*内f(x)存在零点综合上述，f(x)在0，+)内存在唯一零点，于是可得方程 f(x)=0 在(-，+)内有且仅有两个实根应选(C)7.函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由题设知 f(x)是除三点 x=0，x=1 外处处有定义的初等函数因此只有这三个点是间断点计算可得*故 x=-1 是函数 f(x)的无穷间断点，即应选(B)8.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0，已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下有一个极值点，下列选项正确的是（分数：4.00）A.若 fx(x0，y 0)=0，则
12、fy(x0，y 0)=0B.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0C.若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0D.若 fz(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0 解析：分析 设 F(x，y)=f(x，y)+(x，y)( 是常数)，由取得极值的必要条件有*如果 fx(x0，y 0)0，则由式可得必有 0又由题设 y(x0，y 0)0，利用式必有 fy(x0，y 0)0，故应选(D)评注 若 fx(x0，y 0)=0，则由不能推得 是否为零，因而也无法断定 fy(x0，y 0)是否为零二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 则 （分数：4.00）
13、填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *所以*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-cotxlnsinx-cotx-x+C）解析：分析 *11.设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xex-yey=zez所确定，则 du=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 设 F(x，y，z)=xe x-yey-zex，F x=(x+1)ex，F y=-(y+1)ey，F z=-(z+1)ex故*而*所以*12.设 y=ex是微分方程 xy+p(x)y=x 的一个解，则此微分方程满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答
14、案：*）解析：分析 把 y=ex代入 xy+p(x)y=x 中，得 xex+p(x)ex*x，因此 p(x)=Xe-x-x于是微分方程为xy+(xe-x-x)y=z，即 y+(e-x-1)y=1，解此一阶线性微分方程，通解为*把*代入上式，得*，因此，所求特解为*13.设函数 z=f(u)，方程 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，p(t)，(u)连续，且(u)1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 由 z=f(u)可得*对方程*两边分别关于 x，y 求导，得*所以*于是*14.已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T，
15、 3=(0，1，-1，a) T，=(3，10，b，4) T若 不能由 1， 2， 3线性表出，则 a，b 应满足的条件是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：b2）解析：分析 设 x1 1+x2 2+x3 3=，对增广矩阵( 1 2 3|)作初等行变换，有*当且仅当 b2 时，方程组 x1 1+x2 2+x2 3= 无解所以 b2 时 不能由 1， 2， 3线性表出注意：a=1 或 a1 只是影响到方程组有解或惟一解，而 b=2 或 b2 涉及的是方程组是否有解!三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求函数 （分数：9.00）_正确答案：(函数*在(-，+)上可导，且*，不
16、难得出当 x=0 与 x=1 时 f(x)=0，于是 f(x)的符号及 f(x)的增减性如下表所示：*即 f(x)在区间(-，-1上单调减少，f(-1)=0 是极小值，f(x)在区间-1，0上单调增加，*是极大值，f(x)在区间0，1上单调减少，f(1)=0 是极小值，f(x)在区间1，+)上单调增加)解析：16.设函数()当 n 为正整数，且 nx(n+1) 时，证明：2nS(x)2(n+1)；()求 （分数：9.00）_正确答案：()证明 由于|cosx|0 及 nx(n+1)，所以*又因|cosx|是以 为周期的函数，所以它在每个周期上的积分相等，因此*同理，*从而 2nS(x)2(n+
17、1)()由()，当 nx(n+1) 时，有*又*以及当 x+时有 n由夹逼准则得*)解析：17.设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有 2 阶导数，且 （分数：9.00）_正确答案：(因为*从而由题设知 (t)满足*两边积分即得*，利用已知条件 (1)=6 可确定常数 C1=0，于是 (t)=3t(t+1)再积分即得*，由已知条件*又可确定常数 C2=0，故*)解析：18.一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 连接而成（分数：9.00）_正确答案：()方法一 由对称性，只须考察*部分，容器的边界曲线可表为*，从而其容积*方法二 容器的边界曲线表可为*
18、从而其容积*()容器内侧曲线 x=f(y)如题()所示在 y 轴上任取y，y+dy，容器中对应薄片的水的重量为gf 2(y)dy( 为水的密度)，它升高的距离 d(y)=2-y将此薄片抽出容器顶部所做的功为dW=gf 2(y)(2-y)dy，于是全部抽出容器内的水做的功为*其中*再代入上式得*)解析：19.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 又 g(x，y)= （分数：9.00）_正确答案：(*所以*)解析：20.设二元函数计算二重积分 （分数：9.00）_解析：21.设函数 f(x)在闭区间0，13 上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=0，证明：存在 （分数：9.00）_
19、正确答案：(证明 采用倒推法首先，分离中值 与 ，即将依赖 与 的项分别移到等式的两端：*其次，考虑分别对哪些函数，分别在哪些区间上用哪一个微分学中值定理可得到前一步中等式两端的结论由于 f()- 2是函数*的导函数 F(x)在 x= 处的值，而 2-f()是函数*的导函数 G(x)在x= 处的值，从而需要在区间*上把拉格朗日中值定理用于函数F(x)，在区间*上把拉格朗日中值定理用于函数 G(x)即*即*即*最后，验证*是否等于*若二者相等则所要证明的结论成立在本题中由于*成立证毕)解析：22.设 A=E- T，其中 E 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T是 的转置证明：()A
20、2=A 的充分必要条件是 T=1()当 T=1 时，A 是不可逆矩阵（分数：9.00）_正确答案：(证 ()由*那么*因为 是非零列向量， T0所以*()当 T=1 时，由()知 A2=A那么如果 A 可逆，则有A=A-1A2=A-1A=E与 A=E- TE 相矛盾)解析：23.设矩阵 （分数：22.00）_正确答案：(由于*故矩阵 A 的特征值为 1= 2=1， 3=7当 1= 2=1 时，由(E-A)x=0 得到矩阵 A 的特征向量为 1=(-1，1，0) T， 2=(-1，0，1) T当 3=7 时，由(7E-A)x=0 得到矩阵 A 的特征向量为 3=(1，1，1) T如果 a= 有*那么*进而*又*所以 B+2E 的特征值为 9，9，3矩阵 B+2E 对应于 =9 的特征向量是*，其中 k1，k 2为任意非零常数对应于 =3 的特征向量是*为任意非零常数()由于矩阵 B 有 3 个线性无关的特征向量，特征值是 7，7，1所以*，那么*，从而 r(B-E)+r(B-2E)=5)解析：注 要会用相关联矩阵特征值，特征向量之间的关系来求解，当然本题也可按定义先求出*再求*及*然后再来求特征值与特征向量
