1、考研数学二-132 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0，则_（分数：4.00）A.E-A 不可逆，E+A 也不可逆B.E-A 不可逆，E+A 可逆C.E-A 可逆，E+A 也可逆D.E-A 可逆，E+A 不可逆3.设区域 D=(x，y)|x 2+y24，x0，y0，f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则_AabC(a+b)（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)= 则 fff(x)等于_
2、A0 B1（分数：4.00）A.B.C.D.5.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是_（分数：4.00）A.y“-y-2y=3xexB.y“-y-2y=3exC.y“+y-2y=3xexD.y“+y-2y=3ex6.设 an= 则极限 等于_（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 （分数：4.00）A.B.C.D.8.微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为_（分数：4.00）A.y*=ax2+bx+x+x(Asinx+Bcosx)B.y*=x(ax2+bx+x+Asinx+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+
3、Acosx二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 其中 f 可导，且 f(0)0，则 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(u，v)是二元可微函数，z= 则 （分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_14.微分方程 y“+y=-2x 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_16.设 y=sinf(x2)，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：9
4、.00）_17.设函数 y=y(x)由方程 2y3-2y2+2xy-x2=1 所确定，试求 y=y(x)的驻点，并判别它是否为极值点（分数：11.00）_18.证明：当 x0 时，有不等式 arctanx+ （分数：11.00）_19.设 f(x)= 其中 x0，求 f(x)+ （分数：10.00）_20.已知矩阵 （分数：11.00）_21.已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)a，b，c 不全为零矩阵 B= （分数：11.00）_22.设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=-2，又 1=(1，-1，1) T是 A 的属于 1的一个特征向量记 B=A5-4A3+E
5、，其中 E 为 3 阶单位矩阵(1) 验证 1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；(2) 求矩阵 B（分数：11.00）_23.从船上向海中沉放某种探测仪器按探测要求，需要定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)（分数：11.00）_考研数学二-132 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分
6、钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 不可导点的求法解题分析 此题可先求 f(x)的表达式，再结合 f(x)的函数图形求得*因为*所以*根据 y=f(x)的表达式以及其函数图形(见图示)，可以得知 f(x)在 x=1 处不可导(图形是尖点)所以选C2.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0，则_（分数：4.00）A.E-A 不可逆，E+A 也不可逆B.E-A 不可逆，E+A 可逆C.E-A 可逆，E+A 也可逆 D.E-A 可逆，E+A 不可逆解析：考点提示 矩阵的可逆性解题分析 由 A
7、3=0，可得 E-A3=(E-A)(E+A+A2)=E 和 E+A3=(E+A)(E-A+A2)=E显然|E-A|0，E+A0，所以 E-A 和 E+A 均可逆故应选 C3.设区域 D=(x，y)|x 2+y24，x0，y0，f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则_AabC(a+b)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 二重积分解题分析 由题意可知，D 关于直线 y=x 对称，于是*从而*可得 I=*所以选 D4.设 f(x)= 则 fff(x)等于_A0 B1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 分段函数复合解题分析 由题设，*则*由于 f(x)只能
8、取 0，1 两个值，即|f(x)1，x(-，+)，所以ff(x)=1，x(-，)，因而 fff(x)=f(1)=1选 B5.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是_（分数：4.00）A.y“-y-2y=3xexB.y“-y-2y=3exC.y“+y-2y=3xexD.y“+y-2y=3ex 解析：考点提示 二阶常系数线性非齐次微分方程求解解题分析 依题意，y=C 1ex+C2e-2x+xex是某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解相应的齐次方程的特征根是 1=1， 2=-2，特征方程应是(-1)(+2)=0，所以相应的齐次方程为y“+y-2y=0在 D 中，方程 y“+y-
9、2y=3ex有形如 y*=Axex的特解(e ax中 a=1 是单特征根)通过验证知，y *=xex是y“+y-2y=3ex的特解所以选 D6.设 an= 则极限 等于_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 定积分、数列极限解题分析 由题设，*所以*由于*所以*选 B7.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 定积分的性质解题分析 由题设，当 0x*时，*，因此*即 l2*l 1因此可排除 C 和 D令 f(x)=*，则 f(x)=*又令 g(x)=x-*sin2x，则 g(x)=1-cos2x，显然当 0x*时，g(x)0，因此 g(x)严格单调递增，即 g(x
10、)g(0)=0，从而 f(x)0，即 f(x)在(0，*)上严格单调递增所以*因此*即 l11综上有 l2l 11，所以选 B8.微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为_（分数：4.00）A.y*=ax2+bx+x+x(Asinx+Bcosx) B.y*=x(ax2+bx+x+Asinx+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+Acosx解析：考点提示 二阶线性常系数非齐次方程的特解解题分析 由题设，原方程相应齐次方程的特征方程为 2+1=0，则特征值为 =i又原方程非齐次项有两部分：x 2+1 和 sinx，与 x2+1 对应的特解形式
11、为 ax2+bx+x，而与 sinx 对应的特解形式(其特征值为i)为 x(Asinx+Bcosx)，所以原方程特解形式为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)选 A二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 本题为“0”型未定式，可转化为*型，再用洛必达法则求解解题分析*评注 1 对于 x的情形，可以先作变换*=t 再计算，这样往往要简单得多评注 2 对于“0”型未定式，也可考虑将无穷小量部分用等价代换，一般地，若aa，则 limf(a)=limf(a)因此，本题也可如下进行计算：*10.设 其中 f 可导，
12、且 f(0)0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：考点提示 含有参数的方程求导数解题分析 由于*于是*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 不定积分解题分析 由题设，*或者，原式=*12.设 f(u，v)是二元可微函数，z= 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 隐函数的求导解题分析 已知 z=*则*于是*13.微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y= ）解析：考点提示 微分方程求通解解题分析 ydx+(x 2-4x)dy=0利用分离变量法
13、，*故*14.微分方程 y“+y=-2x 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1cosx+C2sinx-2x）解析：考点提示 微分方程的通解解题分析 方程 y“+y=-2x 对应的齐次方程的特征方程为 2+1=0，特征根为 1,2i，故对应的齐次方程通解为 C1cosx+C2sinx 因为 a=0 不是特征根，因此原方程的特解可设为y*=Ax+B，代入原方程，得 A=-2，B=0所以原方程的通解为 y=C1cosx+C2sinx-2x三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_正确答案：(或者，)解析：考点提示 极限16.设 y=si
14、nf(x2)，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：9.00）_正确答案：( )解析：考点提示 复合函数的二阶导数17.设函数 y=y(x)由方程 2y3-2y2+2xy-x2=1 所确定，试求 y=y(x)的驻点，并判别它是否为极值点（分数：11.00）_正确答案：(原方程两边对 x 求导，得 3y 2y-2yy+xy+y-x=0 令 y=0，得 y=x，代入原方程，有 2x 3-x2-1=0从而解得唯一的驻点 x=1在式两边再对 x 求导，得 (3y 2-2y+x)y“+2(3y-1)y2+2y-1=0，因此 y“|(1,1)= )解析：考点提示 本题是隐函数求极值问题按隐函数求导法，得 y
15、(x)的驻点，并求二阶导数进行判断18.证明：当 x0 时，有不等式 arctanx+ （分数：11.00）_正确答案：(设 f(x)=arctanx+ (x0)，于是有所以 f(x)在(0，+)上单调减少又 =0，所以当 x0 时，即)解析：考点提示 利用单调性证明不等式评注 利用单调性证明不等式是一种非常重要的方法，其他证明不等式的方法有中值定理、极值和最值，以及凹凸性等19.设 f(x)= 其中 x0，求 f(x)+ （分数：10.00）_正确答案：(详解 1 令 t= ，则 dt=- 当 t=1 时，y=1，当 t= 时，y=x，于是因此详解 2 令 F(x)=f(x)+ ，则所以又由
16、题设知 F(1)=0，得 C=0，从而)解析：考点提示 为了便于合并，可对*先作倒代换 t=*也可先求*的导数，再积分评注 本题综合考查了换元积分法、分部积分法、变限积分求导公式以及复合函数的求导方法20.已知矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(由题设 AXA+BXB=AXB+BXA+E，知，AX(A-B)=BX(A-B)+E，即 (AX-BX)(A-B)=E，从而 (A-B)X(A-B)=E 又由已知 不难求得 A-B= 则|A-B|=1，所以 A-B 可逆，且则由式，)解析：考点提示 矩阵方程21.已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)a，b，c 不全为零矩阵 B= （分数：1
17、1.00）_正确答案：(根据题意，由 AB=0，得 r(A)+r(B)3，又 A0，B0，所以 1r(A)2，1r(B)2(1) 若 r(A)=2，有 r(B)=1，则 k=9方程组 Ax=0 的通解是 t(1，2，3) T，其中 t 为任意常数(2) 若 r(A)=1，则 Ax=0 的同解方程组是 ax1+bx2+cx3=0 且满足 )解析：考点提示 求线性方程组的通解22.设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=-2，又 1=(1，-1，1) T是 A 的属于 1的一个特征向量记 B=A5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵(1) 验证 1是矩阵 B 的特征向量，并
18、求 B 的全部特征值与特征向量；(2) 求矩阵 B（分数：11.00）_正确答案：(1) 容易验证 An 1= (n=1，2，)，于是于是-2 是矩阵 B 的特征值，k 1 1是 B 属于特征值-2 的全部特征向量(k 1R，非零)同理可求得矩阵 B的另外两个特征值 1 和 1因 A 为实对称矩阵，则 B 也为实对称矩阵，于是矩阵 B 属于不同特征值的特征向量是正交的设 B 的属于1 的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则有方程x1-x2+x3=0于是求得 B 的属于 1 的全部特征向量为 =k 2 2+k3 3，其中 2=(-1，0，1) T 3=(1，1，0)T，k 2，k 3R，不
19、全为零(2) 令矩阵 P=( 1， 2， 3)= 则 P-1BP=diag(-2，1，1)，于是)解析：考点提示 矩阵的特征向量与特征值23.从船上向海中沉放某种探测仪器按探测要求，需要定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)（分数：11.00）_正确答案：(由题设，建立坐标系，取沉放点为坐标原点 O，y 轴竖直向下为正由已知仪器重力为 mg，浮力为-B，阻力为-kv=-k 根据牛顿第二定律，代入式，得 此为可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分得由初始条件 v|y=0=0，可求出所以)解析：考点提示 微分方程应用
