1、考研数学二-131 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 D=(x，y)|x+y1，x 2+y21，则 的值为（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x，y)有连续的偏导数且 f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数 u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)=minsinx，cosx，则 f(x)在区间0，2内不可导的点共有（分数：4
2、.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个6.二次型 xTAx=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的正惯性指数 p 与负惯性指数 q 分别是（分数：4.00）A.p=2，q=1B.p=2，q-0C.p=1，q=1D.与 a3，b 3有关，不能确定7.矩阵 的等价标准形是（分数：4.00）A.B.C.D.8.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 是 f(x)当 x1 时的一个原函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 n 为正整数，则 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_1
3、2.设有摆线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积S=_（分数：4.00）填空项 1:_13.函数 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知矩阵 A=( 1， 2， 3， 1)，B=( 3， 1， 2， 2)都是 4 阶矩阵，其中 1， 2， 3， 1，2 均是 4 维列向量若|A|=1，|B|=2，则|A-2B|=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.() 求 （分数：10.00）_16.() 设 f(x)，g(x)在(a，b)可微，g(x)0，且 ，求证：存在常数 C，
4、使得f(x)=Cg(x)( x(a，b)；() 设 f(x)在(-，+)二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0(x(-，+)求证：f(x)为常数( （分数：10.00）_17.设 D 是曲线 y=2x-x2与 x 轴围成的平面图形，直线 y=kx 把 D 分成为 D1和 D2两部分(如图)，若 D1的面积 S1与 D2的面积 S2之比 S1:S2=1:7求平面图形 D1的周长以及 D1绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：10.00）_18.一容器在开始时盛有盐水 100 升，其中含净盐 10 公斤现以每分钟 3 升的速度注入清水，同时以每分钟 2 升的速度将冲淡的溶液放出容器中装有搅拌器
5、使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后 1 小时溶液的含盐量（分数：10.00）_19.设 （分数：11.00）_20.设 有连续的二阶偏导数且满足（分数：10.00）_21.设 D=(x，y)|x 2+y21，() 将二重积分 化为定积分；() 证明不等式 ；() 证明不等式 （分数：11.00）_22.已知 4 元齐次线性方程组 （分数：11.00）_23.已知 A 是 3 阶矩阵， i(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若 A i=i i(i=1，2，3)，令= 1+ 2+ 3() 证明：，A，A 2 线性无关；() 设 P=(，A，A 2)，求 P-1AP（分数：11.00）_考研数
6、学二-131 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析一 考察 f(x)与 f(x)的关系由牛顿-莱布尼兹公式* *故选(A)分析二 同样考察 f(x)与 f(x)的关系由拉格朗日中值定理*x0，1，f(x)=f(x)-f(0)=f()x，f(0，x)*故选(A)2.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由 g(x)在 x=0 连续及 g(x)=1+2x+o(x)(x0)*由复合函数求导法及变限积分求导法*故应选(A
7、)*3.设 D=(x，y)|x+y1，x 2+y21，则 的值为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 D 由直线 x+y=1 与圆周 x2+y2=1 所围成(它位于第一象限)，如图*记 D1=(x，y)|x 2+y21，x0，y0，D2=(x，y)|x+y1，x0，y0，显然 D=D1/D2，于是*其中 D2关于直线 y=x 对称，因此 *故选(B)分析二 直接用极坐标变换(x=rcos，y=rsin)D 的极坐标表示是*因此选(B)4.设 f(x，y)有连续的偏导数且 f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数 u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是（分数：4.00）A.B. C
8、.D.解析：分析 由已知 du=f(x，y)ydx+f(x，y)xdy*由于它们均连续*故应选(B)*5.设 f(x)=minsinx，cosx，则 f(x)在区间0，2内不可导的点共有（分数：4.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：分析一 在0，2上，画出 y=sinx 与 y=cosx 的图形，立即可得 y=f(x)的图形由图形直接看出，两个交点为 y=f(x)图形的尖点，因而是不可导点，其他均为可导点应选(C)分析二 写出 f(x)的表达式f(x)=minsinx，cosx=*f(x)是一个分段函数，有两个分界点*和*，又 f(x)在0，2上连续，在除分界点外其余各点处
9、均可导，但 f(x)在*的左导数*，由于连续，它在*的右导数*，即在*不可导，类似可得 f(x)在*也不可导故应选(C)6.二次型 xTAx=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的正惯性指数 p 与负惯性指数 q 分别是（分数：4.00）A.p=2，q=1B.p=2，q-0C.p=1，q=1 D.与 a3，b 3有关，不能确定解析：分析 由惯性定理，经坐标变换二次型的正、负惯性指数是不变的，那么令*因为 *，所以()是坐标变换那么经坐标变换()，有xTAx=y1y2再令 *那么经坐标变换()，有xTAx=*故 p=1，q=1应选(C)7.矩阵 的等价标准形是（分数：4.00）A
10、.B. C.D.解析：分析 矩阵 A 与 B 等价是指 A 经过初等变换可得到矩阵 B等价的前提条件是 A 和 B 要同型所以选项(C)肯定不正确要找到矩阵 A 的等价标准形就是要求出矩阵 A 的秩本题中如果 r(A)=2，则选(A)；如果 r(A)=3，则选(B)；如果秩 r(A)和 a 有关，则选(D)对矩阵 A 作初等变换*因为 a 和 a+3 不可能同时为 0，所以 3 阶子式*中至少有一个不为 0，那么*a 必有秩 r(A)=3，故应选(B)8.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 先求出 y与 y“*由*在(-，+)连续，y“不存在的点只有 x=0，*，而 y“=0
11、 的点不存在，且在*两侧 y“变号，x=0两侧 y“也变号*(0，0)，*均为*的拐点，再无其他拐点因此，应选(D)*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 是 f(x)当 x1 时的一个原函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：分析 由题设知*用分部积分法计算定积分，得*10.设 n 为正整数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 *11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：分析 由于*，利用 ln(1+x)的麦克劳林公式得*两式相减并取 n=7，得 x7项的系数为 *12.设有摆线 x=a(t-sint
12、)，y=a(1-cost)(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积S=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：分析 由旋转面面积公式得*13.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：分析 f(x)在0，1连续且可导，又*f(x)在0，1单调上升，且最小值为 f(0)=0，最大值为*因此，值域区间是*14.已知矩阵 A=( 1， 2， 3， 1)，B=( 3， 1， 2， 2)都是 4 阶矩阵，其中 1， 2， 3， 1，2 均是 4 维列向量若|A|=1，|B|=2，则|A-2B|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2
13、1）解析：分析 因为 A-2B=( 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2， 1-2 2)，则有|A-2B|=| 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2， 1|-| 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2，2 2|，又 *于是有 *类似地 *有 *所以 |A-2B|=-7-(-28)=21三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.() 求 （分数：10.00）_正确答案：() () 这是求分段函数的原函数，先求出由于 f(x)在(-，+)上连续，我们用拼接法先求出一个原函数先取 C1使 F(x)在 x=1 处连续，即 再取 C2使 F(x)在 x=-1 处连续，即 ，亦即 于是)解析：1
14、6.() 设 f(x)，g(x)在(a，b)可微，g(x)0，且 ，求证：存在常数 C，使得f(x)=Cg(x)( x(a，b)；() 设 f(x)在(-，+)二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0(x(-，+)求证：f(x)为常数( （分数：10.00）_正确答案：() 即证 f(x)/g(x)在(a，b)为常数由f(x)/g(x)在(a，b)为常数，即 常数 C，使() 只需证 f(x)=0( x(-，+)解析：17.设 D 是曲线 y=2x-x2与 x 轴围成的平面图形，直线 y=kx 把 D 分成为 D1和 D2两部分(如图)，若 D1的面积 S1与 D2的面积 S2之比 S1:S2=
15、1:7求平面图形 D1的周长以及 D1绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：10.00）_正确答案：(由方程组 可解得直线 y=kx 与曲线 y=2x-x2有两个交点(0，0)和(2-k，k(2-k)，其中0k2于是又 由题设 S 1:S2=1:7，知于是 k=1注意这时 D1的边界由 y=x 上 0x1 的线段与曲线 y=2x-x2上 0x1 的弧构成，从而 D1的周长于是 D1绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积)解析：18.一容器在开始时盛有盐水 100 升，其中含净盐 10 公斤现以每分钟 3 升的速度注入清水，同时以每分钟 2 升的速度将冲淡的溶液放出容器中装有搅拌器使容器中的溶液
16、保持均匀，求过程开始后 1 小时溶液的含盐量（分数：10.00）_正确答案：(设 t 时刻容器中溶液的含盐量为 x=x(t)，依题意 t 时刻容器中的溶液量为 100+(3-2)t t 时刻容器中溶液的浓度为 因此在t，t+t时间间隔内，容器中溶液的含盐量改变量=流入溶液的含盐量-流出溶液的含盐量，即当t0 时，得到 (变量分离法求得)又由题设条件当 t=0 时，x=10(kg)，由此确定 C=105，故有)解析：19.设 （分数：11.00）_正确答案：() 当 x0 时 f(x)与初等函数 相同，故连续又即 f(x)在 x=0 处右连续，因此 f(x)在0，+)上连续() 考察(0，+)上
17、 f(x)的符号先求并考察 ，由g(x)在(0，+)单调上升f(x)在0，1单调下降，在1，+)单调上升() 由上述单调性分析知，又 因此 )解析：20.设 有连续的二阶偏导数且满足（分数：10.00）_正确答案：(令 ，则 u=u(r)由于同理 于是代入原方程有易知它有特解 u *=r2-2 通解u=C1cosr+C2sinr+r2-2)解析：21.设 D=(x，y)|x 2+y21，() 将二重积分 化为定积分；() 证明不等式 ；() 证明不等式 （分数：11.00）_正确答案：() 作极坐标变换化二重积分为定积分令 x=rcos，y=rsin，则 D：002，0r1于是() 利用单调性
18、证明不等式令 ，则 f(x)在0，+)内有二阶连续导数，且因 sinxx(x0) f“(x)0(x0) f(x)在0，+)单调上升，f(x)f(0)=0(x0) f(x)在0，+)单调上升，f(x)f(0)=0(x0)，即() 由题()，估计 转化为估计定积分 ，再利用 sinx 的不等式(题()的不等式及sinxx(x0)来估计这个定积分由 上 式两边在0，1上积分得又 因此 )解析：22.已知 4 元齐次线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：() 因为方程组(i)的解全是(ii)的解，所以(i)与(iii) 同解那么(i)和(iii)的系数矩阵 与 有相同的秩如 a=0，则 r(A)
19、=1，而 r(B)=2，所以下设 a0由于因为 a 和 a-1 不能同时为 O，故秩 r(A)=3又当 时，r(B)=3，此时(i)与(iii)同解() 由于 基础解系为 )解析：23.已知 A 是 3 阶矩阵， i(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若 A i=i i(i=1，2，3)，令= 1+ 2+ 3() 证明：，A，A 2 线性无关；() 设 P=(，A，A 2)，求 P-1AP（分数：11.00）_正确答案：() 由 A 1= 1，A 2=2 2，A 3=3 3，且 1， 2， 3非零可知， 1， 2， 3是 A 的不同特征值的特征向量，故 1， 2，3 线性无关又 A= 1+2 2+3 3，A 2= 1+4 2+9 3，若 k1+k 2A+k 3A2=0，即k1( 1+ 2+ 3)+k2( 1+2 2+3 3)+k3( 1+4 2+9 3)=0，则 (k 1+k2+k3) 1+(k1+2k2+4k3) 2+(k1+3k2+9k3) 3=0由 1， 2， 3线性无关，得齐次线性方程组因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为 0，所以必有 k1=k2=k3=0，即 ，A，A 2 线性无关() 因为 A3= 1+8 2+27 3=6-11A+6A 2，所以AP=A(，A，A 2)=(A，A 2，6-11A+6A 2)故 )解析：
