1、考研数学二-121 及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.对函数*( )（分数：4.00）A.仅有极大值B.仅有极小值C.既有极大值又有极小值D.没有极值2.曲线*的渐近线的条数为( )（分数：4.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条3.设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=2， 3=4，对应的特征向量为 1， 2， 3，令 P=(-3 2，2 1，5 3)，则 P-1(A*+2E)P 等于( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.4.设平面图形 A 由 X2+y22x 及 yx 所确定，则 A 绕直线 x=2 旋
2、转一周所得旋转体的体积公式为( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)连续，且满足*，则关于 f(x)的极值问题有( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.6.设*，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：4.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小7.已知四维列向量 1， 2， 3线性无关，若向量 i(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1， 2， 3均正交，则向量组 1， 2， 3， 4的秩为( )（分数：4.00）A.1B.2C.3D.48.设*在 x=0 处连续，则 f(x)在 x=0 处( ) *（分数：4.00）A.B
3、.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限*（分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)二阶可导且满足*，则 f(x)=_。（分数：4.00）填空项 1:_11.*= 1。（分数：4.00）填空项 1:_12.y=y(x)由*确定，则*=_。（分数：4.00）填空项 1:_13.若 f(x)=2nx(1-x)n，记*，则*=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.*且 ABAT=E+2BAT，则 B= 1。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令* () 确定 a 的取值，使得 g(x)
4、为连续函数； () 求 g(x)并讨论函数 g(x)的连续性。（分数：11.00）_16.设 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，f(x)0，*存在。证明： () 在(a，b)内有 f(x)0； () 存在 r(a，b)，使得* () 存在 (a，b)，使得*（分数：11.00）_17.设数列 xn满足关系*(n=0，1，2，)证明：无论 x00 如何取，数列 xn都收敛，并求其极限（分数：11.00）_18.计算积分*，其中 D 是由直线 y=2,y=0，x=-2 及曲线*所围成的区域（分数：11.00）_19.设 1abe，证明：函数 f(x)=xln2x 满足不等式 *（分数
5、：11.00）_20.设 f(x)在区间a，b上可导，f(a)=f(b)=0 且 f+(a)f-(b)0证明：方程 f(x=0 在(a，b)内至少有两个不同的实根（分数：11.00）_21.设曲线 y=y(x)过(0，0)点，M 是曲线上任意一点，MP 是法线段，P 点在 x 轴上，已知 MP 的中点在抛物线 2y2=x 上，求此曲线的方程（分数：11.00）_22.设 A 为三阶实对称矩阵，且其特征值为 1= 2=1， 3=0，假设 1， 2是矩阵 A 的不同特征向量，且 A( 1+ 2)= 2 () 证明： 1， 2正交； () 求方程组 AX= 2的通解（分数：11.00）_23.设*，
6、则 k 取何值时： () 可由 1， 2， 3唯一线性表示； () 不可由 1， 2， 3线性表示； () 可由 1， 2， 3线性表示，但表示法不唯一，并求出一般表达式（分数：11.00）_考研数学二-121 答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.对函数*( )（分数：4.00）A.仅有极大值B.仅有极小值C.既有极大值又有极小值 D.没有极值解析：详解 令 f(x)=2x(4-x2)ln(1+x2)=0，得 x1=-2，x 2=0，x 3=2当 x-2 时，f(x)0；当 x(-2，0)时，f(x)0；当 x(0，2)时，f(x)
7、0；当 x2 时，f(x)0，则 X1=-2，x 3=2 为 f(x)的极大值点，x 2=0 为 f(x)的极小值点，选(C)2.曲线*的渐近线的条数为( )（分数：4.00）A.1 条B.2 条C.3 条 D.4 条解析：详解 因为*，所以曲线没有水平渐近线；由*，得曲线有两条铅直渐近线；由*，得曲线有一条斜渐近线，选(C)3.设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=2， 3=4，对应的特征向量为 1， 2， 3，令 P=(-3 2，2 1，5 3)，则 P-1(A*+2E)P 等于( ) *（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 A *+2E 对应的特征值为 1=10， 2=-
8、2， 3=0，对应的特征向量为考 1， 2， 3，则-3 2，2 1，5 3仍然是 A*+2E 的对应于特征值 2=-2， 1=10， 3=0 的特征向量，于是有 *4.设平面图形 A 由 X2+y22x 及 yx 所确定，则 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积公式为( ) *（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 取*则 *5.设 f(x)连续，且满足*，则关于 f(x)的极值问题有( ) *（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 等式两边求导，得 f(x)+2f(x)=2x，其通解为*因为*，所以 C=1，从而*令 f(x)=-2e-2x+1=0，得唯一驻点为*因
9、为 f“(x)=4e-2x0，故*是极小值点，极小值为*6.设*，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：4.00）A.低阶无穷小 B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小解析：详解 * 所以 f(x)是 g(x)的低阶无穷小，选(A)7.已知四维列向量 1， 2， 3线性无关，若向量 i(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1， 2， 3均正交，则向量组 1， 2， 3， 4的秩为( )（分数：4.00）A.1 B.2C.3D.4解析：详解 设 i=(ai1，a i2，a i3，a i4)T(i=1，2，3)，由已知条件有*即 i(i=1，2，3，4)为方程组* 由于
10、 1， 2， 3线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为 3，所以其基础解系含 1 个解向量，从而向量组 1， 2， 3， 4的秩为 1，选(A)8.设*在 x=0 处连续，则 f(x)在 x=0 处( ) *（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 * 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=1+ln3，于是* 又因为* 所以 f(x)在 x=0 处可导，且*，选(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 * *10.设 f(x)二阶可导且满足*，则 f(x)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*
11、）解析：详解 *两边求导得 x2f(x)=3x2+f(x)，整理得 f(x)-x2f(x)=-3x2，解得* 当 x=0 时，f(x)=0，于是 C=-3，故*11.*= 1。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *12.y=y(x)由*确定，则*=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2(e -2-e-1)）解析：详解 当 t=0 时，x=0，y=-1，*，由 tey+y+1=0，得* *13.若 f(x)=2nx(1-x)n，记*，则*=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 令 f(x)=2n(1-x)n-2n2x(1-x)n
12、-1=0，得*由 f(0)=f(1)=0，得 *14.*且 ABAT=E+2BAT，则 B= 1。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 由 ABAT=E+2BAT，得 ABAT=(AT)1AT+2BAT，因为 AT可逆，所以 AB=(AT)-1+2B 或 B=(A-2E)-1(AT)-1-AT(A-2E)-1，解得*三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令* () 确定 a 的取值，使得 g(x)为连续函数； () 求 g(x)并讨论函数 g(x)的连续性。（分数：11.00）_正确答案：(*，当 a=f(0)时，g(x
13、)在 x=0 处连续 () 当 x0 时，* 当 x=0 时，* * 所以 g(x)在 x=0 处连续)解析：16.设 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，f(x)0，*存在。证明： () 在(a，b)内有 f(x)0； () 存在 r(a，b)，使得* () 存在 (a，b)，使得*（分数：11.00）_正确答案：() 由*存在，得 f(a)=0，因为 f(x)0，所以当 x(a，b)时，f(x)f(a)=0 () 令*，因为 F(x)可导，且 F(x)=f(x)0(axb)，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得* () 由 f(a)=0，根据微分中值定理，存在*，使得 f()
14、=f()=f(a)=f()(-a) *)解析：17.设数列 xn满足关系*(n=0，1，2，)证明：无论 x00 如何取，数列 xn都收敛，并求其极限（分数：11.00）_正确答案：(*知数列有界又* 若对任取的 x00，有 x1x 0，则由数学归纳法知，数列单调增加；若对任取的 x00，有 x1x 0，则由数学归纳法知，数列单调减少于是，不论 x00 如何取值，数列x n都是单调的，从而*存在 *，对递推关系式两边求极限，得*)解析：18.计算积分*，其中 D 是由直线 y=2,y=0，x=-2 及曲线*所围成的区域（分数：11.00）_正确答案：(令 D1=(x，y)|-2x0，0y2，*
15、 *)解析：19.设 1abe，证明：函数 f(x)=xln2x 满足不等式 *（分数：11.00）_正确答案：(* 由于 f(x)=ln2x+21nx，*，从而当 xa1 时，g(x)0，即当 xa1 时 g(x)单调增加，再由 g(a)=0，则有 g(n)0，从而左端不等号得证 * * 于是当 1axe 时，有* 因此 h(x)为单调增加的函数，从而有 h(b)h(a)=0，即右端不等号得证)解析：20.设 f(x)在区间a，b上可导，f(a)=f(b)=0 且 f+(a)f-(b)0证明：方程 f(x=0 在(a，b)内至少有两个不同的实根（分数：11.00）_正确答案：(方法一：因为
16、f+(a)f-(b)0，所以 f+(a)，f-(b)同号，不妨设 f+(a)0，f-(b)0由 f+(a)0，存在 x1(a，b)，使得 f(x1)f(a)=0；由 f-(b)0，存在 X2(a，b)，使得 f(x2)f(b)=0由零点定理，存在 c(x 1，x 2)，使得 f(c)=0 由 f(a)=f(c)=f(b)=0 及 f(x)的可导性，存在 (a，c)，叩(c，b)，使得 f()=0，f()=0 方法二： 因为 f+(a)f-(b)0，所以 f+(a)，f-(b)同号，不妨设 f+(a)0，f-(b)0 由 f+(a)0，存在 x1(a，b)：使得 f(x1)f(a)=0；由 f-
17、(b)0，存在 x2(a，b)，使得 f(x2)f(b)=0*，再由 f(a)=f(b)=0，存在 ，(a，b)，使得 f()=M，f()=m，从而 f()=0，f()=0)解析：21.设曲线 y=y(x)过(0，0)点，M 是曲线上任意一点，MP 是法线段，P 点在 x 轴上，已知 MP 的中点在抛物线 2y2=x 上，求此曲线的方程（分数：11.00）_正确答案：(设 M(x，y)，则法线方程为 * 令 Y=0 得 X=yy+x，于是 P 点坐标为(yy+x，0)MP 的中点坐标为*，它位于给定的抛物线上于是有方程 y2=yy+2x，即*,所以 y2e-2x=2xc-2x+e-2x+C由
18、y(0)=0 得 C=-1，所求曲线方程为 y2=1+2x=e2x)解析：22.设 A 为三阶实对称矩阵，且其特征值为 1= 2=1， 3=0，假设 1， 2是矩阵 A 的不同特征向量，且 A( 1+ 2)= 2 () 证明： 1， 2正交； () 求方程组 AX= 2的通解（分数：11.00）_正确答案：() 若 1， 2都是属于特征值 1= 2=1 的特征向量，则 A 1= 1，A 2= 2，由A( 1+ 2)= 2，得 1=0，矛盾；若 1， 2都是属于特征值 3=0 的特征向量，则有 A 1=0，A 2=0，由 A( 1+ 2)= 2，得 2=0，矛盾，所以 1， 2是属于不同特征值的
19、特征向量，而 A 是实对称矩阵，所以 1， 2正交，即* () 因为*，所以 r(A)=2若 A 1= 1，则 A 2=0，由 A( 1+ 2)= 2，得 1= 2，矛盾，所以A 1=0，A 2= 2，于是 AX= 2的通解为 X=k 1+ 2(其中 k 为任意常数)解析：23.设*，则 k 取何值时： () 可由 1， 2， 3唯一线性表示； () 不可由 1， 2， 3线性表示； () 可由 1， 2， 3线性表示，但表示法不唯一，并求出一般表达式（分数：11.00）_正确答案：(向量 可由 1， 2， 3线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组x1 1+x2 2+x3 3= 有解 方法一
20、：令 A=( 1， 2， 3)，* () 当 k0 且 k1 时，因为|A|0，所以方程组 x1 1+x2 2+x3 3= 有唯一解，即 可由 1， 2， 3唯一线性表示； () 当 k=0 时，*，因为*，所以方程组 x1 1+x2 2+x3 3= 无解，即 不可由 1， 2， 3线性表示； () 当 k=1 时，*，因为 r(A)=*，所以方程组 x1 1+x2 2+x3 3= 有无穷多个解，即 可由 1， 2， 3线性表示，但表示法不唯一 因为方程组 x1 1+x2 2+x3 3= 的通解为 * 故 =(2c-1) 1+(-2c+1) 2+c 3，其中 c 为任意常数 方法二：* () 当 k(1-k)0，-(k-1) 20，即 k0 且 k1 时，因为*，所以 可由 1， 2， 3唯一线性表示； () 当 k=0 时，因为*，所以卢不可由 1， 2， 3线性表示； () 当 k=1 时，* 因为*，所以 可由 1， 2， 3线性表示，且表示方法不唯一，其一般表示式为 =(2c-1) 1+(-2c+1) 2+c 3，其中 c 为任意常数)解析：
