1、考研数学二-120 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：15.00)1.二次型 （分数：3.00）2.矩阵 （分数：3.00）3.当 t 1 时，实二次型 （分数：3.00）4.设 A 是实对称可逆矩阵，则将 f=x T Ax 化为 f=y T A -1 y 的线性变换为 1 （分数：3.00）5.设 n 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 1，2，n，则当 t 1 时，tE-A 为正定矩阵 （分数：3.00）二、选择题(总题数：3，分数：9.00)6.设 A，B 均为 n 阶方阵，x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，且 x T Ax=x
2、T Bx，当_时，A=B A.秩(A)=秩(B) B.AT=A C.BT=B D.AT=A 且 BT=B（分数：3.00）A.B.C.D.7.下列矩阵为正定的是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.8.设 A，B 是 n 阶正定矩阵，则_是正定矩阵 A.A*+B* B.A*-B* C.A*B* D.k1A*+k2B*（分数：3.00）A.B.C.D.三、计算证明题(总题数：10，分数：76.00)用合同变换将下列二次型化为标准形：（分数：12.00）(1).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(-2x 1 +x 2 +x 3 ) 2 +(x 1 -x 2 +x 3 ) 2 +(
3、x 1 +x 2 -2x 3 ) 2 ；（分数：6.00）_(2).f(x 1 ，x 2 ，x 2n )=x 1 x 2n +x 2 x 2n-1 +x n x n+1 （分数：6.00）_用正交变换将下列实二次型化为标准形：（分数：12.00）(1). （分数：6.00）_(2). （分数：6.00）_9.已知二次型 ，通过正交变换化为标准形 （分数：6.00）_10.设 A 为 n 阶实对称矩阵，且满足 A 3 +A 2 +A=3E， 证明 A 是正定矩阵 （分数：6.00）_11.设实对称矩阵 A 的特征值全大于 a，实对称矩阵 B 的特征值全大于 b，证明 A+B 的特征值全大于 a+
4、b （分数：6.00）_12.设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，证明：秩(A)=n 的充分必要条件为存在一个 n 阶实矩阵 B，使 AB+B T A是正定矩阵 （分数：6.00）_13.设 A，B 是正定矩阵，证明：AB 是正定矩阵的充要条件是 A 与 B 可交换 （分数：6.00）_14.A 为 n 阶实对称矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，求证：对充分小的正数 ，E+A 为正定矩阵 （分数：6.00）_15.二次型 （分数：8.00）_16.对一般的 n 元实二次型 f=x T Ax，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，证明：f 在条件 （分数：8.00）_考研数学二-120 答
5、案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：15.00)1.二次型 （分数：3.00）解析：2.矩阵 （分数：3.00）解析：3.当 t 1 时，实二次型 （分数：3.00）解析：4.设 A 是实对称可逆矩阵，则将 f=x T Ax 化为 f=y T A -1 y 的线性变换为 1 （分数：3.00）解析：A -1 y5.设 n 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 1，2，n，则当 t 1 时，tE-A 为正定矩阵 （分数：3.00）解析：tn二、选择题(总题数：3，分数：9.00)6.设 A，B 均为 n 阶方阵，x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，
6、且 x T Ax=x T Bx，当_时，A=B A.秩(A)=秩(B) B.AT=A C.BT=B D.AT=A 且 BT=B（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：7.下列矩阵为正定的是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：8.设 A，B 是 n 阶正定矩阵，则_是正定矩阵 A.A*+B* B.A*-B* C.A*B* D.k1A*+k2B*（分数：3.00）A. B.C.D.解析：三、计算证明题(总题数：10，分数：76.00)用合同变换将下列二次型化为标准形：（分数：12.00）(1).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(-2x 1 +x 2 +x 3 ) 2
7、 +(x 1 -x 2 +x 3 ) 2 +(x 1 +x 2 -2x 3 ) 2 ；（分数：6.00）_正确答案：()解析：解 依题意，令 (2).f(x 1 ，x 2 ，x 2n )=x 1 x 2n +x 2 x 2n-1 +x n x n+1 （分数：6.00）_正确答案：()解析：依题意，令 用正交变换将下列实二次型化为标准形：（分数：12.00）(1). （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 依题知，二次型对应的矩阵为 (2). （分数：6.00）_正确答案：()解析：依题知，二次型对应的矩阵为 9.已知二次型 ，通过正交变换化为标准形 （分数：6.00）_正确答案：()解析
8、：解 二次型对应的矩阵为 解得 1 =2a， 2 =4， 3 =2与 10.设 A 为 n 阶实对称矩阵，且满足 A 3 +A 2 +A=3E， 证明 A 是正定矩阵 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 假设 为 A 的特征值，因为 A 3 +A 2 +A=3E，所以 3 + 2 +-3=0解得，=1， 因为 A 为实对称矩阵，所以只能有 =1， 11.设实对称矩阵 A 的特征值全大于 a，实对称矩阵 B 的特征值全大于 b，证明 A+B 的特征值全大于 a+b （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为实对称矩阵 A 的特征值全大于 a，实对称矩阵 B 的特征值全大于 b，所以
9、(A-aE)+(A-bE)的特征值全大于 0，即(A-aE)+(A-bE)为正定阵 假设 为 A+B 的特征值，相应的特征向量为 x，则(A+B)x=x 于是(A-aE)+(B-bE)x=(A+B)x-(a+b)Ex=-(a+b)x 所以 -(a+b)为(A-aE)+(A-bE)的特征值又因为(A-aE)+(A-bE)为正定阵，所以 -(a+b)0，即a+b12.设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，证明：秩(A)=n 的充分必要条件为存在一个 n 阶实矩阵 B，使 AB+B T A是正定矩阵 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 “充分性”(反证法) 反设 r(A)n，则|A|=0于是 =
10、0 是 A 的特征值，假设相应的特征向量为 x，即Ax=x=0x=0(x0)所以 x T A T =0 所以 x T (AB+B T A)x=x T ABx+x T B T Ax=0，与 AB+B T A 是正定矩阵矛盾，假设不成立，所以 r(A)=n “必要性” 因为 r(A)=n，所以 A 的特征值 1 ， 2 ， n 全不为 0 取 B=A，则 AB+B T A=AA+AA=2A 2 ，它的特征值为 2 1 2 ，2 2 2 ，2 n 2 全部为正，所以 AB+B T A 是正定矩阵13.设 A，B 是正定矩阵，证明：AB 是正定矩阵的充要条件是 A 与 B 可交换 （分数：6.00）_
11、正确答案：()解析：解 因为 AB=BA，则(AB) T =B T A T =BA=AB，所以 AB 为对称矩阵 因为 A 为正定矩阵，所以存在可逆矩阵 P 使得 A=P T P； 因为 B 为正定矩阵，所以存在可逆矩阵 Q 使得 B=Q T Q 所以 Q(AB)Q -1 =Q(P T P)(Q T Q)Q -1 =QP T PQ T =(PQ T ) T (PQ T )因为 PQ T 可逆，所以(PQ T ) T (PQ T )为正定矩阵上式表明 AB 相似于正定矩阵，又因为 AB 对称，所以 AB 是正定矩阵 14.A 为 n 阶实对称矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，求证：对充分小的正数 ，
12、E+A 为正定矩阵 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 (E+A) T =E+A T =E+A，且又 为充分小的正数，所以 E+A 为 n 阶实对称矩阵对于 n 阶实对称矩阵 A，假设它的特征值为 1 ， 2 ， n ，E+A 的特征值为 1+ 1 ，1+ 2 ，1+ n 令 =max| 1 |，| 2 |，| n |，取 使 1 又 0，0，所以 0 则 1+ 1 0，1+ 2 0，1+ n 0，所以 E+A 为正定矩阵15.二次型 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 依题知，二次型对应的矩阵为 因为二次型 的正负惯性指数都是 1，所以矩阵 A 有一个为 0 的特征值，所以对
13、应的行列式|A|=0 于是 所以 a=-2，a=1 当 a=1 时， 解得 1 =0(二重)， 2 =3和二次型的正负惯性指数都是 1 矛盾； 当 a=-2 时， 解得 1 =0， 2 =3， 3 =-3所以 a=-2 为正确答案 于是 16.对一般的 n 元实二次型 f=x T Ax，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，证明：f 在条件 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 对于实二次型 f=x T Ax，存在正交变换 x=Qy，使得： f= 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + n y n 2 其中， 1 ， 2 ， n 为 A 的全部特征值不妨假定： 1 2 n 则
14、 1 x T x= 1 y T Q T Qy= 1 y T y， 2 x T x= 2 y T Q T Qy= 2 y T y， 依此类推： n x T x= n y T Q T Qy= n y T y， 于是， 又 1 y T y= 1 y 1 2 + 1 y 2 2 + 1 y n 2 ， n y T y= n y 1 2 + n y 2 2 + n y n 2 ， 且 1 2 n 所以 1 y T yx T Ax= 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + n 2 y n 2 n y T y， 所以 1 x T xx T Ax n x T x 当 ，即当 x T x=1 时， 1 x T Ax n 由 n x T x= n y T Q T Qy= n y T y 知，当 y T y=1 时，x T x=1取 y=(0，0，1) T 时，相应的 x 有 x T Ax= 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + n y n 2 = n 所以 f 在条件
