1、考研数学二-120 (1)及答案解析(总分：137.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设矩阵 A 合同于对角矩阵 B=diag 1， 2， n，则（分数：4.00）A. 1， 2， n是 A 的特征值B.|A|=|B|C.B 必合同于单位矩阵 En，D.A=AT2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，且满足 AB=A+B，则 B-E 不可逆 (A-E)x=0 仅有零解 |A+B|=|A|B| (AB) -1=A-1B-1 上述四个命题中正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.4.在下列四个选项中，正确的是 （分数
2、：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(t)连续，z-a，a，f(t)0，且 （分数：4.00）A.B.C.D.6.交换二次积分的积分顺序：设 f、(x，y)连续，则 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列函数中不是周期函数的应为 (A)f(x)=sin2x （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 等于 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f， 皆可导， （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 f()=a，
3、（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 是三阶方阵，且|A+E|=|A-2E|=|2A+3E|=0，则|A+4E|= 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：81.00)15.设 f(x)为区间0，1的连续可导函数，且满足 （分数：9.00）_16.将 f(x)=1n(1+sinx)在点 x=0 时展成带有皮亚诺余项的泰勒公式(仅到 x4项)（分数：9.00）_17.一渔船停泊在距海岸 9 公里处，今需派人送信给距渔船 （分数：9.00）_18. 其中 f(x)有连续二阶导数，试求 （分数：9.00）_19.设 f(x)可导，x(-，+)， （分数：9.00）_2
4、0.证明： （分数：9.00）_21.设函数 f(x)在-2，2上具有二阶导数，且|f(x)|1，又 f2(0)+f(0)2=4试证：至少存在一点(-2，2)，使 f()+f“()=0（分数：9.00）_22.设 A 为 n 阶正定矩阵，B 为 nm 矩阵，试证： ()r(B)=r(B TAB)： ()B TAB 正定的充分必要条件为 r(B)=m（分数：9.00）_23.证明：向量集合 M 的一个向量组 1， 2， s是 M 的极大线性无关组的充分必要条件是 1， 2， s线性无关且 M 中任一向量都是 1， 2， s的线性组合（分数：9.00）_考研数学二-120 (1)答案解析(总分：1
5、37.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设矩阵 A 合同于对角矩阵 B=diag 1， 2， n，则（分数：4.00）A. 1， 2， n是 A 的特征值B.|A|=|B|C.B 必合同于单位矩阵 En，D.A=AT 解析：分析 由 A 合同于 B，从而存在可逆矩阵 P，使 PTAP=B 于是 A=(pT)-1BP-1=(P-1)BP-1=QTBQ(这里 Q=P-1)。 AT=(QTBQ)T=QTBTQ=QTBQ 因此，A=A T，即选项(D)对 因 A 与 B 合同不一定 A 与 B 相似，一般 PTP -1(P 不一定是正交矩阵)，故 B 的特征值
6、1， 2， n不一定是 A 的特征值，选项(A)不对 由 B=PTAP，有|B|=|P T|A|P|=|P|2|A|， 因 P 未必是正交矩阵，故未必有|P| 2=1，从而选项(B)不对 因 B 的特征值 1， 2， 3中有的也许为零，故 B 未必能与单位矩阵 En合同，从而选项(C)也不对2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 *故 x=-1 和 x=1 是曲线的两条垂直渐近线 又* * 因此，y=x 是曲线的一条斜渐近线同法可求得 y=x 也是曲线的一条斜渐近线3.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，且满足 AB=A+B，则 B-E 不可逆 (A-E)x=0 仅有零解 |A+
7、B|=|A|B| (AB) -1=A-1B-1 上述四个命题中正确的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由 AB=A+B*|A+B|=|AB|=|A|B|，成立 * 从而知 A-E，B-E 都为可逆阵，且互为逆矩阵。故 方程组(A-E)x=0 仅有零解，成立而不成立 由(A-E)(B-E)=E *(BE)(AE)一 E *BA-A-B+E=E *BA-A+B *BA=AB *(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1，成立4.在下列四个选项中，正确的是 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 (A)，(B)中被积函数在 x=0 处不连续，故*在-1，1上的原函数。1n|e
8、x-1|也不是*在-1，1上的原函数，都不能直接利用牛顿一莱布尼兹公式(事实上，它们都是广义积分，且发散)(C)为广义积分，且发散(注意不能用定积分性质作*5.设函数 f(t)连续，z-a，a，f(t)0，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 当-axa 时，有 * 于是* 又 g“(x)=f(x)+f(x)=2f(x)0， 故 g(x)在(-a，a)内是单调增加的6.交换二次积分的积分顺序：设 f、(x，y)连续，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 先从二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域，然后按相反次序作出相应的二次积分，即为所求记 D=D1+D2(如
9、图 221 所示) * * 交换积分次序，有 * 故原式*7.下列函数中不是周期函数的应为 (A)f(x)=sin2x （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 因*故 f(x)为周期函数，其最小正周期为 T=容易看出，*的最小正周期为 4，*的最小正周期为 6，从而其和的最小正周期为 12同理 sin2x 的最小正周期为 ，cosx 的最小正周期为 2从而其和不是周期函数至于 f(x)=x-x(若 x=n+an 为整数，且 01，则x=n)，容易验证它为周期函数事实上，设 x=n+，”为整数，01，m 为整数，则 f(m+x)=f(m+n+)=m+n+-m+n+a =m+m+-m-n+
10、=n+-n+ =x-x=f(x)。 于是所有整数 m 都是 f(x)的周期，而最小正周期为 1综上分析，应选(C)8.设 等于 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 * 令* * 故*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 * * *10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 * 而* 故*11.设 f， 皆可导， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 * *12.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e2x(C 1cosx+C2sinx+1)）解
11、析：分析 这是常系数非齐次线性微分方程，其通解由对应的齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解所构成，对应的齐次线性方程的通解为 e2x(C1cosx+C2sinx)，而非齐次项为 e2x因此用待定系数法求特解 Ae2x，代入方程求得 A=113.设 f()=a， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：b-z）解析：分析 * * * 于是，由(*)得 *14.设 A 是三阶方阵，且|A+E|=|A-2E|=|2A+3E|=0，则|A+4E|= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：45）解析：分析 由|A+E|=|A-2E|=|2A+3E|=0，知 A 的特征值为-1，2，*则
12、 A+4E 的特征值为 3，6，*故可算出|A+4E|=36*=45三、解答题(总题数：9，分数：81.00)15.设 f(x)为区间0，1的连续可导函数，且满足 （分数：9.00）_正确答案：( 由设知，f(x)在点 x=0 处右连续，故有 因此，一般解为 由 f(1)=2，知 C=2e，故得 )解析：分析 对 x 求导，消去积分号，化为微分方程解之16.将 f(x)=1n(1+sinx)在点 x=0 时展成带有皮亚诺余项的泰勒公式(仅到 x4项)（分数：9.00）_正确答案：( )解析：分析 按 ln(1+x)与 sinx 的展开式解17.一渔船停泊在距海岸 9 公里处，今需派人送信给距渔
13、船 （分数：9.00）_正确答案：(如图 222 所示，设渔船 A 到海岸 BC 的距离 AB=9，A 与渔站 C 的距离 则 假设在离渔站 x 公里处登陆，那么自 A 到 C 所需时间为 于是 )解析：分析 这是导数应用的题由题设，先列出所需时间的表达式，再按求极值的方法，算出所用时间的最小值18. 其中 f(x)有连续二阶导数，试求 （分数：9.00）_正确答案：(由题设 即 故 又由题设，有 于是 从而有 因此 )解析：分析 充分理解极限的概念，用到等价无穷小：1n(1+x)x(x0)以及带有皮亚诺余项的泰勒展开式19.设 f(x)可导，x(-，+)， （分数：9.00）_正确答案：(曲
14、线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y-f(1)=f(1)(x-1) 由 在 x-1 处取得极值，知 F(1)=0 )解析：分析 利用可导函数取得极值的必要条件20.证明： （分数：9.00）_正确答案：(证法一 因 故等式成立 证法二 因 (0)=(0)=0，故只要证明 (x)=(x)即知 (x)=(x) 由设 f(x)连续，于是 )解析：21.设函数 f(x)在-2，2上具有二阶导数，且|f(x)|1，又 f2(0)+f(0)2=4试证：至少存在一点(-2，2)，使 f()+f“()=0（分数：9.00）_正确答案：(由拉格朗日定理，有 即 )解析：分析 由题设，作辅助函数
15、F(x)，使 F0)=4，由结论，知 F(x)出现 f(x)+f“(x)，恰好 F(x)=f2(x)+f2(x)符合上述要求为了证出*需估计*为此，在-2，0与0，2上分别应用拉格朗日定理，得|f(a)|1，|f(b)|1，其中 a(-2，0)，b(0，2) 作辅助函数 F(x)=f2(x)+f2(x)， 故有 F(a)2，F(b)2 由题设知，F(x)连续，xa，b，F(0)=4，故 F(x)在a，b上的最大值取自于(a，b)内，且 maxF(x)4，又由题设知，F(x)在(a，b)内可导，于是由费尔玛定理，知 F()=0，(a，b)，即 F()=2f()f()+f“()， 因 F()4，|
16、f()|1，故 f()0，从而有 f()+f“()=0， 这里 (a，b)*(-2，2)22.设 A 为 n 阶正定矩阵，B 为 nm 矩阵，试证： ()r(B)=r(B TAB)： ()B TAB 正定的充分必要条件为 r(B)=m（分数：9.00）_正确答案：()由设，A 为正定阵，故存在可逆阵 P，使 A=PTP，于是有 r(BTAB)=r(BTPB)=r(PB)T(PB) =r(PB)=r(B) ()必要性：设 BTAB 为正定阵，由定义， X=x1，x 2，x nT0，有 XTBTABX=(BX)TABX0 故 X0，有 BX0，因此，B nm的列向量组线性无关，即 r(B)=m 充
17、分性：设 r(B)=m，B 的列向量组线性无关， X=x1，x 2，x nT0，都有 BX0，由 A 为正定阵，故 V )解析：分析 (I)利用 r(ATA)-r(A)，r(PB)=r(B)，P 为可逆阵 ()利用正定阵的概念23.证明：向量集合 M 的一个向量组 1， 2， s是 M 的极大线性无关组的充分必要条件是 1， 2， s线性无关且 M 中任一向量都是 1， 2， s的线性组合（分数：9.00）_正确答案：(充分性：设 为 M 中任一向量，又 1， 2， s是 M 的极大线性无关组，则 1， 2， s， 线性相关，因 1， 2， s线性无关，故 可由 1， 2， s线性表示，也即 是 1， 2， s， 线性组合 必要性：M 中任一向量都是 1， 2， s的线性组合，即对 M 中任一向量 ，都有 1， 2， s， 线性相关，又 1， 2， s线性无关，由极大线性无关组的定义即证得)解析：分析 考查极大线性无关组的相关知识
