1、考研数学二-116 及答案解析(总分：100.02，做题时间：90 分钟)一、计算证明题(总题数：20，分数：100.00)1.设 （分数：3.50）_求下列矩阵的逆矩阵：（分数：14.00）(1). （分数：3.50）_(2). （分数：3.50）_(3). （分数：3.50）_(4). （分数：3.50）_2.已知三阶矩阵 A 满足 A i =i i (i=1，2，3)，其中 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，试求矩阵 A （分数：3.50）_3.k 取什么值时，矩阵 （分数：3.50）_4.设 A 为 n 阶方阵，且有自然数 m
2、，使(E+A) m =0，则 A 可逆 （分数：3.50）_5.设 B 为可逆矩阵，A 是与 B 同阶的方阵，且满足 A 2 +AB+B 2 =O，证明：A 和 A+B 都是可逆矩阵 （分数：3.50）_6.若 A，B 都是 n 阶方阵，且 E+AB 可逆，则 E+BA 也可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A （分数：3.50）_7.设 A，B 是 n 阶方阵，已知|B|0，A-E 可逆且(A-E) -1 =(B-E) T ，求证：A 可逆 （分数：3.50）_8.设 A，B，A+B 为 n 阶正交矩阵，试证：(A+B) -1 =A -1 +B -1 （分数：3.50）_
3、9.设 A，B 为 n 阶方阵，试证明： （分数：3.50）_设 A 为主对角元素均为零的四阶实对称可逆矩阵，E 为四阶单位矩阵 （分数：7.00）(1).试计算|E+AB|，并指出 A 中元素满足什么条件时，E+AB 可逆；（分数：3.50）_(2).当 E+AB 可逆时，试证明(E+AB) -1 A 为对称矩阵（分数：3.50）_计算下列各题：（分数：8.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_10.设 （分数：3.50）_假设 A 为 n 阶可逆矩阵，证明：（分数：11.52）(1).(A -1 ) T =(A T ) -1 ；（分数：2.88）_(2).(AT
4、) * =(A * ) T ；（分数：2.88）_(3).(A -1 ) * =(A * ) -1 ；（分数：2.88）_(4).(A -1 ) T * =(A * ) T -1 （分数：2.88）_11.A 是 n 阶方阵，满足 A m =E，其中 m 为正整数，E 为 n 阶单位矩阵，今将 A 中 n 2 个元素 a ij 用其代数余子式 A ij 代替，得到的矩阵记为 A 0 ，证明 （分数：3.50）_12.设矩阵 （分数：3.50）_13.当 （分数：3.50）_14.已知 A，B 为 n 阶方阵，且满足 A 2 =A，B 2 =B 与(A-B) 2 =A+B，试证：AB=BA=0
5、（分数：3.50）_15.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，|E-A|0，如果 C=A+CA，B=E+AB，求证：B-C=E （分数：3.50）_设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：7.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：3.50）_(2).证明：矩阵 Q 可逆的充要条件是 T A -1 b（分数：3.50）_考研数学二-116 答案解析(总分：100.02，做题时间：90 分钟)一、计算证明题(总题数：20，分数：100.00)1.设 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 求下列矩阵的逆矩阵：（分数：14.00）(1). （分数：3.5
6、0）_正确答案：()解析： (2). （分数：3.50）_正确答案：()解析：因为 由矩阵分块求逆公式： (3). （分数：3.50）_正确答案：()解析：(4). （分数：3.50）_正确答案：()解析：由矩阵分块求逆公式： 2.已知三阶矩阵 A 满足 A i =i i (i=1，2，3)，其中 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，试求矩阵 A （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由本题的条件知： 3.k 取什么值时，矩阵 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 要使 A 可逆，则须使得|A|0，即 经过初等行变换 4.设
7、 A 为 n 阶方阵，且有自然数 m，使(E+A) m =0，则 A 可逆 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 所以 5.设 B 为可逆矩阵，A 是与 B 同阶的方阵，且满足 A 2 +AB+B 2 =O，证明：A 和 A+B 都是可逆矩阵 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 B 可逆，所以|-B 2 |=(-1) n |B| 2 0， 又因为 A 2 +AB+B 2 =0即 A(A+B)=-B 2 ， 所以|A(A+B)|=|-B 2 |0即得 A，A+B 都可逆6.若 A，B 都是 n 阶方阵，且 E+AB 可逆，则 E+BA 也可逆，且(E+BA) -1 =E
8、-B(E+AB) -1 A （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 E+AB 可逆，即(E+AB) -1 存在，所以 (E+BA)(E-B(E+AB) -1 A)=E+BA-(E+BA)B(E+AB) -1 A =E+BA-(B+BAB)(E+AB) -1 A=E+BA-B(E+AB)(E+AB) -1 A =E+BA-BA=E， 即(E+BA)可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A7.设 A，B 是 n 阶方阵，已知|B|0，A-E 可逆且(A-E) -1 =(B-E) T ，求证：A 可逆 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为(A-E) -1 =(B-E
9、) T ，所以(A-E)(B-E) T =E， 所以 A(B T -E)-B T +E=E，A(B T -E)=B T 由|B|0 知 B -1 ，(B T ) -1 存在 所以 A(B T -E)(B T ) -1 =E所以 A 可逆8.设 A，B，A+B 为 n 阶正交矩阵，试证：(A+B) -1 =A -1 +B -1 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由 A，B，A+B 为正交矩阵，即 A -1 =(B T -E)(B T ) -1 知(A+B) T =(A+B) -1 ，A T =A -1 ，B T =B -1 所以(A+B) -1 =(A+B) T =A T +B T =
10、A -1 +B -1 9.设 A，B 为 n 阶方阵，试证明： （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 所以 即 又因为(-1) n2 =(-1) n ，所以 设 A 为主对角元素均为零的四阶实对称可逆矩阵，E 为四阶单位矩阵 （分数：7.00）(1).试计算|E+AB|，并指出 A 中元素满足什么条件时，E+AB 可逆；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 依题意得 所以当 (2).当 E+AB 可逆时，试证明(E+AB) -1 A 为对称矩阵（分数：3.50）_正确答案：()解析：因为 E+AB 可逆，所以(E+AB) -1 存在， 即有(E+AB) -1 A=A -1 (
11、E+AB) -1 =(A -1 +B) -1 因为 A，B 为实对称矩阵，所以 A -1 +B 为实对称矩阵，所以(E+AB) -1 A 为对称矩阵计算下列各题：（分数：8.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：令 则 A 的特征值为 且它们互不相同于是存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 10.设 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 下用数学归纳法 假设 n=k 时，成立，即 则当 n=k+1 时， 即得 假设 A 为 n 阶可逆矩阵，证明：（分数：11.52）(1).(A -1 ) T =(A T )
12、-1 ；（分数：2.88）_正确答案：()解析：解 因为 A 可逆，所以 A -1 存在AA -1 =E，(A -1 ) T A T =E所以 A T 可逆且(A T ) -1 =(A -1 ) T (2).(AT) * =(A * ) T ；（分数：2.88）_正确答案：()解析：A * =|A|A -1 ，(A * ) T =(|A|A -1 ) T =|A|(A -1 ) T =|A T |(A T ) -1 =(A T ) * (3).(A -1 ) * =(A * ) -1 ；（分数：2.88）_正确答案：()解析：证明：因为(AB) * =|AB|(AB) -1 =|A|B| B
13、-1 A -1 =B * A * AA -1 =E两边取“*”运算，所以由得(AA -1 ) * =(A -1 ) * A * =E 即证得(A * ) -1 =(A -1 ) * (4).(A -1 ) T * =(A * ) T -1 （分数：2.88）_正确答案：()解析：(A -1 ) T * =(A -1 ) * T =(A * ) -1 T =(A * ) T -1 11.A 是 n 阶方阵，满足 A m =E，其中 m 为正整数，E 为 n 阶单位矩阵，今将 A 中 n 2 个元素 a ij 用其代数余子式 A ij 代替，得到的矩阵记为 A 0 ，证明 （分数：3.50）_正确
14、答案：()解析：解 因为 A m =E，所以|A| m =1，所以 A 可逆 又因为 A 0 =(A * ) T =|A|A -1 T =|A|(A T ) -1 ， 所以 12.设矩阵 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 下面用数学归纳法证明：因为 所以 A 3 =A 3-2 +A 2 -E 现假设 A k =A k-2 +A 2 -E， 下证 A k+1 =A k-1 +A 3 -A 成立 因为 A k+1 =A k-1 +A 3 -A=A k-1 +A+A 2 -E-A=A (k+1)-2 +A 2 -E， 所以 A n =A n-2 +A 2 -E 利用的逆推公式得：A 100
15、 =A 98 +A 2 -E=A 96 +2A 2 -2E=50A 2 -49E 13.当 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由题意得： 所以 因为 A 6 =E， 14.已知 A，B 为 n 阶方阵，且满足 A 2 =A，B 2 =B 与(A-B) 2 =A+B，试证：AB=BA=0 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为(A-B) 2 =A+B，所以(A-B) 3 =(A-B) 2 (A-B)=(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B) 于是 A 2 -BA+AB-B 2 =A 2 +BA-AB-B 2 ，所以 AB=BA 由(A-B) 2 =A+B，得 A 2 -AB
16、-BA+B 2 =A+B 因为 A 2 =A，B 2 =B，所以 2AB=0，所以 AB=BA=015.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，|E-A|0，如果 C=A+CA，B=E+AB，求证：B-C=E （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 B=E+AB，所以 B-AB=E即(E-A)B=E，所以 E-A，B 可逆 对于 B=E+AB，右乘 B -1 得 E=B -1 +A，再左乘 B，得 B=E+BA，所以 AB=BA 因为 B=E+AB，C=A+CA 所以，B-C=E+AB-A-CA=E-A+AB-CA=E-A+BA-CA =(E-A)+(B-C)A 所以(B-C)(E-A)=E-A 右乘(E-A) -1 ，得 B-C=E设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：7.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 所以 又因为|A|=A * A，所以- T A * A=- T |A|，- T A * A+ T |A|=0， (2).证明：矩阵 Q 可逆的充要条件是 T A -1 b（分数：3.50）_正确答案：()解析：证明：因为 所以|PQ|=|P|Q|=|A|Q|又由可得
