1、考研数学二-115 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：30.00)1.设 1 ， 2 ， 3 ， 均为 4 维列向量，A= 1 ， 2 ， 3 ，B= 1 ， 2 ， 3 ，且|A|=2，|B|=3，则|A-3B|= 1 （分数：3.00）2.若对任意的 n1 矩阵 X，均有 AX=O，则 A= 1 （分数：3.00）3.设 A 为 m 阶方阵，存在非零的 mn 矩阵 B，使 AB=O 的充分必要条件是 1 （分数：3.00）4.设 A 为 n 阶矩阵，则存在两个不相等的 n 阶矩阵 B，C，使 AB=AC 的充分条件是 1 （分数：3.00
2、）5. （分数：3.00）6.设矩阵 （分数：3.00）7.若 n 阶矩阵 A 满足方程 A2+2A+3E=O，则 A -1 = 1 （分数：3.00）8.设 （分数：3.00）9.设矩阵 （分数：3.00）10.设矩阵 （分数：3.00）二、选择题(总题数：10，分数：30.00)11.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则_ A.AB=BA B.存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B C.存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B D.存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B（分数：3.00）A.B.C.D.12.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则 （分数：3.00）A.B.C.D.13.设 A，B 均为
3、 n 阶方阵，下面结论正确的是_（分数：3.00）A.若 A，B 均可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 均可逆，则 AB 可逆C.若 A+B 可逆，则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 均可逆14.设 A 为 n 阶方阵，且|A|0，下列正确的是_ A.对 n 阶方阵 B，若 AB=O，则 B=O B.对 n 阶方阵 B，若 AB=BA，则|B|O C.对 n 阶方阵 B，若|B|=|A|，则 A，B 有相同的特征值 D.对任意非零向量 x=(x1，x 2，x n)T，都有 xTAx0（分数：3.00）A.B.C.D.15.设 n 维向量 （分数：3.00）A.B.C.D.16.
4、设 设有 P 2 P 1 A=B，则 P 2 =_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.17.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则(-A) * 等于_ A.-A* B.A* C.(-1)*A* D.(-1)n-1A*（分数：3.00）A.B.C.D.18.设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A * 是矩阵 A 的伴随矩阵，则_ A.(A*)*=|A|n-1A B.(A*)*=|A|n+1A C.(A*)*=|A|n-2A D.(A*)*=|A|n+2A（分数：3.00）A.B.C.D.19.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r
5、1，则_（分数：3.00）A.rr1B.rr1C.r=r1D.r 与 r1 的关系依 C 而定20.设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩_（分数：3.00）A.必有一个等于零B.都小于 nC.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n三、计算题(总题数：8，分数：40.00)21.设 （分数：5.00）_22.计算元素为 a ij =|i-j|的 n 阶行列式 （分数：5.00）_23.计算 n 阶行列式 （分数：5.00）_24.设 a，b，c 是互异的实数，证明： （分数：5.00）_25.证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零 （分数：5.00）_26.设 （分
6、数：5.00）_27.试证：如果 n 次多项式 f(x)=C 0 +C 1 x+C n x n 对 n+1 个不同的 x 值都是零，则此多项式恒等于零(提示：用范德蒙行列式证明) （分数：5.00）_28.设 （分数：5.00）_考研数学二-115 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：30.00)1.设 1 ， 2 ， 3 ， 均为 4 维列向量，A= 1 ， 2 ， 3 ，B= 1 ， 2 ， 3 ，且|A|=2，|B|=3，则|A-3B|= 1 （分数：3.00）解析：56；2.若对任意的 n1 矩阵 X，均有 AX=O，则 A= 1 （分数
7、：3.00）解析：0；3.设 A 为 m 阶方阵，存在非零的 mn 矩阵 B，使 AB=O 的充分必要条件是 1 （分数：3.00）解析：|A|=0；4.设 A 为 n 阶矩阵，则存在两个不相等的 n 阶矩阵 B，C，使 AB=AC 的充分条件是 1 （分数：3.00）解析：|A|=0；5. （分数：3.00）解析：6.设矩阵 （分数：3.00）解析：7.若 n 阶矩阵 A 满足方程 A2+2A+3E=O，则 A -1 = 1 （分数：3.00）解析：8.设 （分数：3.00）解析：9.设矩阵 （分数：3.00）解析：10.设矩阵 （分数：3.00）解析：二、选择题(总题数：10，分数：30.
8、00)11.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则_ A.AB=BA B.存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B C.存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B D.存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：12.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：13.设 A，B 均为 n 阶方阵，下面结论正确的是_（分数：3.00）A.若 A，B 均可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 均可逆，则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆，则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 均可逆解析：14.设 A 为 n 阶方阵，且|A|0，下列正
9、确的是_ A.对 n 阶方阵 B，若 AB=O，则 B=O B.对 n 阶方阵 B，若 AB=BA，则|B|O C.对 n 阶方阵 B，若|B|=|A|，则 A，B 有相同的特征值 D.对任意非零向量 x=(x1，x 2，x n)T，都有 xTAx0（分数：3.00）A. B.C.D.解析：15.设 n 维向量 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：16.设 设有 P 2 P 1 A=B，则 P 2 =_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：17.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则(-A) * 等于_ A.-A* B.A* C.(-1)*A* D.(-1)n-1A*（分数
10、：3.00）A.B.C.D. 解析：18.设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A * 是矩阵 A 的伴随矩阵，则_ A.(A*)*=|A|n-1A B.(A*)*=|A|n+1A C.(A*)*=|A|n-2A D.(A*)*=|A|n+2A（分数：3.00）A.B.C. D.解析：19.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r1，则_（分数：3.00）A.rr1B.rr1C.r=r1 D.r 与 r1 的关系依 C 而定解析：20.设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩_（分数：3.00）A.必有一个等于零
11、B.都小于 n C.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n解析：三、计算题(总题数：8，分数：40.00)21.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 22.计算元素为 a ij =|i-j|的 n 阶行列式 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 23.计算 n 阶行列式 （分数：5.00）_正确答案：()解析：当 n=2 时， 当 n2 时 24.设 a，b，c 是互异的实数，证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：范德蒙行列式： 25.证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：由题意知 A T =-A，又|A|=|A T |=|-A|=(-1) n |A|=-|A|(n 为奇数)所以|A|=026.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：因为 27.试证：如果 n 次多项式 f(x)=C 0 +C 1 x+C n x n 对 n+1 个不同的 x 值都是零，则此多项式恒等于零(提示：用范德蒙行列式证明) （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：假设多项式的 n+1 个不同的零点为 x 0 ，x 1 ，x n ，将它们代入多项式，得关于 C i 的方程组 C 0 ，C 1 ，C n 的系数矩阵为 28.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为
