1、考研数学二-115 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A，P 都是 n 阶可逆阵， 分别是 A 的特征值和对应的特征向量，则 P-1A*P 的特征值和对应的特征向量分别是( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.设 不存在， 存在，则B.设 不存在， 不存在，则C.设 ，则必有D.设 ，则必有4.设 A 是 n 阶矩阵，(E+A)X=0 只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是( )（分数：4.00）A.A-E；A+EB.A-E；(A
2、+E) -1C.A-E；(A+E) *D.A-E；(A+E) T5.设 f(u)为(-，+)上的连续函数，a 为常数则下述积分为 x 的偶函数的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.下列反常积分发散的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.8.下述命题设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f(x)在(-，+)上连续设 f(x)在任意的闭区间a，b上有界，则 f(x)在(-，+)上有界设 f(x)在(-，+)上为正值的连续函数，则 在(-，+)上也是正值的连续函数设 f(x)在(-，+)上为正值的有界函数，则 （分数：4.00）A.
3、B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)在 x=a 处存在二阶导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设常数 a0，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程 y“-3y+2y=xex的通解为 y= 1（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A，B 是 n 阶矩阵，且 B 可逆，并满足关系 A2+BA+A+2B=0，则 A+B 可逆，且(A+B) -1=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)具有二阶连续
4、导数，f(0)=0，f(0)=0，f(0)0在曲线 y=f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 z 轴上的截距记为 u，求 （分数：11.00）_设曲线 y=ax2(x0，常数 a0)与曲线 y=1-x2交于点 A，过坐标原点 0 和点 A 的直线与曲线 y=ax2围成一平面图形 D1.求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积 V(a)；（分数：10.00）_16.已知抛物线 y=ax2+bx+c 在其上的点 P(1，2)的曲率圆的方程为 （分数：10.00）_17.设 f(x)在-，上连续，且有 （分数：11.00）_18.设 f(x，y)=maxx，y，D=(x，y)
5、|0x1，0y1求 （分数：10.00）_19.求|z|在约束条件 （分数：10.00）_设 f(x)在(-，+)上存在二阶导数，f(0)0，f(0)=a，f“(x)0证明：1.无论 a0，a0，还是 a=0，f(x)至多有两个零点，至少有一个零点；（分数：10.00）_20.设 （分数：11.00）_设 （分数：11.00）_考研数学二-115 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 |f(x，y)|x 2+y2命(x，y)(0，0)，由夹逼定理有*不选(A)*同理 fy(0，
6、0)=0不选(B)考虑点 O(0，0)处的f，*按可微定义，f(x，y)在点(0，0)处可微选(D)2.设 A，P 都是 n 阶可逆阵， 分别是 A 的特征值和对应的特征向量，则 P-1A*P 的特征值和对应的特征向量分别是( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由题设条件A=， (*)其中 A 可逆，故 0，(*)左乘 A*得A*A=|A|=一 A *，* (*)(*)左乘 P-1得*故知 P-1A*P 有特征值*，对应的特征向量为 P-1故应选(A)3.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.设 不存在， 存在，则B.设 不存在， 不存在，则C.设 ，则必有D.设 ，则必
7、有 解析：分析 方法一 证明(D)是正确的由*，对于任给 0，存在 M0，当|u|M 时，有|f(u)-A|又因*，故对于上述 M0，存在 0，当 0|x-x 0| 时，|g(x)|M将上述两点结合起来推知，对于任给 0，存在 0，当 0|x-x 0| 时，有|f(x)-A|，即*(D)正确方法二 用排斥法(A)的反例：*不存在 g(x)x，n*存在但*仍不存在(B)的反例：*不存在*亦不存在但*，(存在)(C)的反例：*但对于复合函数*，不论 0 多么小，在 x=0 的 去心邻域 U (0)=x|0|x|)内，f(g(x)在无穷多个点处(例如*，n=1，2，)没有定义(因分母为 0)，因此谈
8、不上取极限*，(C)也不成立，故选(D)4.设 A 是 n 阶矩阵，(E+A)X=0 只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是( )（分数：4.00）A.A-E；A+EB.A-E；(A+E) -1C.A-E；(A+E) *D.A-E；(A+E) T 解析：分析 方法一 因(A+E)(A-E)=A 2-E=(A-E)(A+E) (1)，故 A+E，A-E 可交换，(A)成立(1)式两边左右各乘(A+E) -1，得(A-E)(A+E)-1=(A+E)-1(A-E) (2)，故(A+E) -1，A-E 可交换，(B)成立(2)式两边乘|A+E|(数)，得(A-E)(A+E) *=(A+E)*(A-E)
9、，故(A+E) *，A-E 可交换，(C)成立由排除法，知应选(D)，即(A+E) T，A-E 不能交换方法二 (A+E)(A-E)=(A+E)(A+E-2E)=(A+E)2-2(A+E)=(A+E-2E)(A+E)=(A-E)(A+E)同理 (A+E) -1(A-E)=(A+E)-1(A+E-2E)=(A+E)-1(A+E)-2(A+E)-1=(A+E)(A+E)-1-2(A+E)-1=(A+E-2E)(A+E)-1=(A-E)(A+E)-1(A+E)*(A-E)=(A-E)(A+E)*方法三 (D)不成立，因 ATAAA T或举出反例，如取*而 *故(A+E) T(A-E)(A-E)(A+
10、E) T，(D)不成立5.设 f(u)为(-，+)上的连续函数，a 为常数则下述积分为 x 的偶函数的是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 f(v 2)为 v 的偶函数，所以*为 u 的奇函数，*为 x 的偶函数选(B)6.下列反常积分发散的是( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 通过具体计算* ()*式(1)中两个积分只要有一个发散，就说该积分发散，所以*发散选(A)7.设 ，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 *所以*故选(C)8.下述命题设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f(x)在(-，+)上连续设 f(x)在任意的闭区间a，b
11、上有界，则 f(x)在(-，+)上有界设 f(x)在(-，+)上为正值的连续函数，则 在(-，+)上也是正值的连续函数设 f(x)在(-，+)上为正值的有界函数，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 与是正确的，与是不正确的，正确的个数为 2是正确的理由如下：设 x0(-，+)，则它必含于某区间a，b中由于题设 f(x)在任意闭区间a，b上连续故在 x0处连续，所以在(-，+)上连续证论的关键之处是：函数 f(x)的连续性是接点来讨论的在区间上每一点连续就说它在该区间上连续函数 f(x)在a，b上有界性的“界”是与区间有关的例如 f(x)=x 在区间a，b上，|f(x)|max|
12、a|，|b|*M这个“界”，与区间a，b有关容易看出，在区间(-，+)上，此 f(x)=x就无界了不正确是正确的其理由是：设 x0(-+)，所以 f(x0)0 且 f(x)在 x0处连续，由连续函数的四则运算知，*在 x0处也连续，所以*在(-，+)上连续是不正确的例如函数*，在区间(-，+)上 0f(x)1，所以 f(x)在(-，+)上有界，而*在(-，+)上无界这是因为当 x时*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：分析 由 f(x)的表达式，有*最后，分别写出自变量的取值范围，易见第 4 式中*与 x1 的交集为空集最后化
13、简如上所填10.设 f(x)在 x=a 处存在二阶导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 方法 1 通分，分子用皮亚诺余项泰勒公式：*方法 2 用洛必达法则*最后一步采目二阶导数定义11.设常数 a0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 命*，则*，dx=acostdt，原式*以下有两个方法方法 1 命 tant=u，*方法 2*12.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 *所以*13.微分方程 y“-3y+2y=xex的通解为 y= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析
14、对应的齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e2x设原方程的一个特解为 y*=x(Ax+B)ex，代入方程左边，命左右两边相等，求得*所以通解如上所填14.设 A，B 是 n 阶矩阵，且 B 可逆，并满足关系 A2+BA+A+2B=0，则 A+B 可逆，且(A+B) -1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-(A+E)B -1）解析：分析 由题设(A+B)A+(A+B)=-B，(A+B)(A+E)=-B，(A+B)-(A+E)=BB 可逆，两边右乘 B-1，得(A+B)-(A+E)B -1=E故 A+B 可逆，且(A+B) -1=-(A+E)B-1三、解答题(总题数：9，分数：94
15、.00)15.设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=0，f(0)0在曲线 y=f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 z 轴上的截距记为 u，求 （分数：11.00）_正确答案：(由于 f(0)=0 及 f“(0)0，故当 x0 时，f(x)0过点(x，f(x)(x0)的切线方程为 Y-f(x)=f(x)(X-x)令 Y=0 得截距 从而)解析：设曲线 y=ax2(x0，常数 a0)与曲线 y=1-x2交于点 A，过坐标原点 0 和点 A 的直线与曲线 y=ax2围成一平面图形 D1.求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积 V(a)；（分数：10.00）
16、_正确答案：( 的交点为 直线 OA 的方程为 旋转体体积)解析：_正确答案：( )解析：16.已知抛物线 y=ax2+bx+c 在其上的点 P(1，2)的曲率圆的方程为 （分数：10.00）_正确答案：(曲线 L：y=ax 2+bx+c 经过点 P(1，2)，从而2=a+b+C曲率圆 在点 P 处的与 L 的此点相切，故L 的 y|P=2ax+bP=2a+b=1又 L 在点 P 处曲率应与曲率圆的曲率相等，即所以 )解析：17.设 f(x)在-，上连续，且有 （分数：11.00）_正确答案：(由于 存在，记为 A： 于是由条件有从而有作积分变量变换 x=-t，当 x=0 时 t=；x= 时
17、t=0于是所以从而)解析：18.设 f(x，y)=maxx，y，D=(x，y)|0x1，0y1求 （分数：10.00）_正确答案：(如图，将 D 划分成三块：D 1D 2D 3，)解析：19.求|z|在约束条件 （分数：10.00）_正确答案：(|z|的最大值点，最小值点，与 z2的最大值点，最小值点一致用拉格朗日乘数法，作F(x，y，z，)=z 2+(x 2+9y2-2z2)+(x+3y+3z-5)，解之得两组解：所以当 x=1， 时|z|=1 最小，当 x=-5， )解析：设 f(x)在(-，+)上存在二阶导数，f(0)0，f(0)=a，f“(x)0证明：1.无论 a0，a0，还是 a=0
18、，f(x)至多有两个零点，至少有一个零点；（分数：10.00）_正确答案：(若 f(x)有三个或三个以上零点，则由罗尔定理知，f(x)至少有两个零点对 f(x)再用罗尔定理知，f“(x)至少有一个零点与题设 f“(x)无零点矛盾以下证 f(x)至少有一个零点设 f(0)=a0，由泰勒公式：，当 x0，取 ，有 f(x)0由介值定理知，在区间(0，+)上 f(x)至少有一个零点又因当 x0 时 f(x)f(0)0，故在区间(0，+)上至多有一个零点，故正好有一个零点设 f(0)=a0，类似可证在区间(-，0)上正好有一个零点设 f(0)=a=0，由连续函数保号性及 f(x)严格单增知，存在 0，
19、当 x0，时 f(x)0 且 f()0在点 x= 处用泰勒公式，有f()+f()(x-)， 当 x取 )解析：_正确答案：(方法 1 由()已证，在区间(-，0)或(0，+)上正好有一个零点所以若共有两个零点，则必反号方法 2 用反证法，设 f(x)有两个零点 x1与 x2，它们同号，不妨设 0x 1x 2在区间0，x 1与x 1，x 2分别用拉格朗日中值定理，有f(x1)-f(0)=f( 1)x1， (*)f(x2)-f(x1)=f( 2)(z2-x1) (*)由(*)有 f( 1)0，由(*)有 f( 2)=0，得 f( 1)f( 2)，但 1 2，与 f“(x)0 矛盾所以x1与 x2必
20、反号)解析：20.设 （分数：11.00）_正确答案：(将 1， 2， 3 1， 2， 3一起作初等行变换，有A|B= 1， 2， 3 1， 2， 3= 1， 2， 3| 1， 2， 3=A|B向量组 r(A)=r(B)故应取 a=1，b=2，c=-2当 a=1，b=2，C=-2 时，A|B= 1， 2， 3 1， 2， 3 ，故 1， 2， 3 1， 2， 3，从而有 1， 2， 3) 1， 2， 3求 1由 1， 2， 3线性表出的表出式，即解方程组得通解为 k-1，-1，1 T+1，0，0 T，即 1=(-k+1) 1-k 2+k 3，其中 k 是任意常数求 1由 1， 2， 3线性表出的表出式，即解方程得通解为 l-4，1，2 T+1，0，O丁，即 1=(-4l+1) 1+l 2+2l 3，其中 l 是任意常数 )解析：设 （分数：11.00）_正确答案：(由特征方程知 =2，=-2(三重根)=2 时，(2E-A)X=0，即 ，(每行元素之和为 0)得 (只有一个线性无关特征向量)=-2 时，(-2E-A)X=0，即)解析：_正确答案：(将 1， 2， 3， 4单位化，合并成正交阵得则 Q TAQ=Q-1AQ2 因 A2=4E，故 2=4，=2，得 A 的特征值的取值范围再求对应的特征向量，再由线性无关特征向量的个数确定 i的重数及正交相似对角阵3 )解析：
