1、考研数学二-114 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：18.00)1.四阶行列式中带负号且包含因子 a 12 和 a 21 的项为 1 （分数：2.00）2.排列 i 1 i 2 i n 可经 1 次对换后变为排列 i n i n-1 i 2 i 1 （分数：2.00）3.在五阶行列式中，(-1) (15423)+(23145) a 12 a 53 a 41 a 24 a 35 = 1a 12 a 53 a 41 a 24 a 35 （分数：2.00）4.在函数 （分数：2.00）5.设 a，b 为实数，则当 a= 1，且 b= 2 时， （分
2、数：2.00）6.在 n 阶行列式 D=|(a ij ) nn |中，当 ij 时，a ij =0(i，j=1，2，n)，则 D= 1 （分数：2.00）7.设 A 为 44 矩阵，B 为 55 矩阵，且|A|=2，|B|=-2，则|-|A|B|= 1，|-|B|A|= 2 （分数：2.00）8.设 A 为 33 矩阵，|A|=-2，把 A 按行分块为 其中 A i (j=1，2，3)是 A 的第 j 行，则行列式 （分数：2.00）9.设 A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则|2A * B -1 = 1 （分数：2.00）二、选择题(总题数：5，分数：10.00)10.设|
3、A|=|(a ij ) nn 为 n 阶行列式，则 a 12 a 23 a 34 a n-1n a n1 在行列式中符号为_ A.正 B.负 C.(-1)n D.(-1)n-1（分数：2.00）A.B.C.D.11.设 A 为 n 阶方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则|A|A * |等于_ A.|A|2 B.|A|n C.|A|2n D.|A|2n-1（分数：2.00）A.B.C.D.12.设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有_（分数：2.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0D.若|A|0，则一定有|B|013
4、.设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵， （分数：2.00）A.B.C.D.14.设三阶矩阵 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4三、解答题(总题数：13，分数：72.00)15.证明不等式 （分数：7.00）_16.若 a0，b0，0p1，证明： (a+b) p a p +b p （分数：5.00）_17.设函数 f(x)在0，1上有连续导数，满足 0f“(x)1，并且 f(0)=0，求证： （分数：5.00）_18.求证：|a| p +|b| p 2 1-p (|a|+|b|) p ，(0p1) （分数：5.00）_19.求证：若 x+y+z=6，则 x 2 +y 2 +z 2
5、 12，其中 x，y，z 皆非负 （分数：5.00）_20.证明： (1)若 f(x)在a，b上是增加的，且其上 f“(x)0，则 (2)若 f(x)在a，b上是增加的，且其上 f“(x)0，则 （分数：5.00）_证明：（分数：10.00）(1). （分数：5.00）_(2). （分数：5.00）_21.设 f“(x)Ca，b，且 f(a)=f(b)=0，求证： （分数：5.00）_22.设 f(x)在a，b上二阶可导，且当 xa，b时，f“(x)0，试证： （分数：5.00）_23.设 x0证明： （分数：5.00）_24.若 f“(x)在0，2上连续，且 f“(x)0，则对任意正整数 n
6、，有 （分数：5.00）_25.设在(a，b)内 f“(x)0，ax 1 x 2 b，01，试证： af(x 1 )+(1-)f(x 2 )fx 1 +(1-)x 2 （分数：5.00）_26.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=3，且对于0，1上的一切 x 和 y|f(x)-f(y)|x-y|成立，试证： （分数：5.00）_考研数学二-114 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：18.00)1.四阶行列式中带负号且包含因子 a 12 和 a 21 的项为 1 （分数：2.00）解析：a 12 a 21 a 33 a 44 ；2.排列 i 1
7、i 2 i n 可经 1 次对换后变为排列 i n i n-1 i 2 i 1 （分数：2.00）解析：3.在五阶行列式中，(-1) (15423)+(23145) a 12 a 53 a 41 a 24 a 35 = 1a 12 a 53 a 41 a 24 a 35 （分数：2.00）解析：-；4.在函数 （分数：2.00）解析：-2；5.设 a，b 为实数，则当 a= 1，且 b= 2 时， （分数：2.00）解析：0，0；6.在 n 阶行列式 D=|(a ij ) nn |中，当 ij 时，a ij =0(i，j=1，2，n)，则 D= 1 （分数：2.00）解析：a 11 a 22
8、a nn ；7.设 A 为 44 矩阵，B 为 55 矩阵，且|A|=2，|B|=-2，则|-|A|B|= 1，|-|B|A|= 2 （分数：2.00）解析：64，32；8.设 A 为 33 矩阵，|A|=-2，把 A 按行分块为 其中 A i (j=1，2，3)是 A 的第 j 行，则行列式 （分数：2.00）解析：6；9.设 A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则|2A * B -1 = 1 （分数：2.00）解析：二、选择题(总题数：5，分数：10.00)10.设|A|=|(a ij ) nn 为 n 阶行列式，则 a 12 a 23 a 34 a n-1n a n1 在
9、行列式中符号为_ A.正 B.负 C.(-1)n D.(-1)n-1（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：11.设 A 为 n 阶方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则|A|A * |等于_ A.|A|2 B.|A|n C.|A|2n D.|A|2n-1（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：12.设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有_（分数：2.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0 D.若|A|0，则一定有|B|0解析：13.设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵， （分数：2.00）A.B.C.D.
10、解析：14.设三阶矩阵 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：三、解答题(总题数：13，分数：72.00)15.证明不等式 （分数：7.00）_正确答案：()解析：证明：令 f(x)=a x ，则 f“(x)=a x lna 在 上使用拉格朗日定理 即 又因为 f(x)=a x ，当 a1 时为单调递增的函数，所以当 时， 所以 16.若 a0，b0，0p1，证明： (a+b) p a p +b p （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 f(x)=(x+b) p -x p -b p ， 显然 f(0)=0当 x0 时，因为 0p1，所以-1p-10， f“(x)=p(x
11、+b) p-1 -px p-1 0， 所以当 x0 时，f(x)单减，所以 f(a)f(0)=0所以 (a+b) p -a p -b p 0， 即得(a+b) p a p +b p ，17.设函数 f(x)在0，1上有连续导数，满足 0f“(x)1，并且 f(0)=0，求证： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 显然 F(0)=0因为 0f“(x)1，所以 f(x)单调递增 又 f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)0 令 ，显然 (0)=0因为 0f“(x)1，所以 1-f“(z)0，即 (x)在 x(0，+)单调递增即得： (x)=2f(x)-2f(x)f“(x)=2f(x
12、)(1-f“(x)0， 所以当 x0 时，(x)0由知 F“(x)0(x0)当 x0 时 F(x)F(0) 所以 F(1)F(0)=0 即证得： 18.求证：|a| p +|b| p 2 1-p (|a|+|b|) p ，(0p1) （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：(1)先证当 0x1，0p1 时，有 2 1-p x p +(1-x) p 1 今 F(x)=x p +(1-x) p ， F“(x)=px p-1 -p(1-x) p-1 ，-1p-10，F(x)在 上单调递增F(x)在 上单调递减 令 F“(x)=0 得 即 为最大值，又 F(1)=F(0)=1，即 1 为其最小值
13、所以当 0x1，0p1时，有 2 1-p x p +(1-x) p 1 (2)今 则 代入(1)的结论，即可得到 19.求证：若 x+y+z=6，则 x 2 +y 2 +z 2 12，其中 x，y，z 皆非负 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：条件极值问题： 令 F(x，y，z，)=x 2 +y 2 +z 2 -2(x+y+z-6)，则 20.证明： (1)若 f(x)在a，b上是增加的，且其上 f“(x)0，则 (2)若 f(x)在a，b上是增加的，且其上 f“(x)0，则 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：(1)因为 f(x)在a，b上是增加的，所以 xa，b，都有
14、 f(x)f(a)，即有 由拉格朗日中值定理 f(x)-f(a)=f“()(x-a)，其中 a1，所以 又因为 f“(x)0，所以 F“(x)单增，所以 F“(x)0所以 F(x)单减又因为 F(a)=0，所以 F(b)F(a)=0即可得 证明：（分数：10.00）(1). （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 f(x)=x 2 ， 因为 f(x)=x 2 为凸函数，所以运用凸函数的性质可得 f(p 1 x 1 +p n x n )p 1 f(x 1 )+p n f(x n ) (2). （分数：5.00）_正确答案：()解析：取 f(x)=lnx，则 f(x)为凹函数令 利用凹函数的性
15、质，即得 即得到 21.设 f“(x)Ca，b，且 f(a)=f(b)=0，求证： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：因为 22.设 f(x)在a，b上二阶可导，且当 xa，b时，f“(x)0，试证： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：因为 f(x)在a，b上二阶可导，所以 f(x)连续又因为当 xa，b时，f(x)f“(x)0，所以当 xa，b时，f(x)0分二种情形： 当 xa，b，f(x)0 时由 f(x)f“(x)0 得到 f“(x)0 所以 即 当 xa，b，f(x)0 时由 f(x)f“(x)0 得到 f“(x)0 即 23.设 x0证明： （分数：5.00
16、）_正确答案：()解析：证明：令 于是 当 x0 时， 即当 x0 时，f(x)单增所以当 x0 时 f(x)0即 令 于是 当 x0 时 ，即当 x0 时，g(x)单增，所以当 x0 时 y(x)0，即 由可得： 24.若 f“(x)在0，2上连续，且 f“(x)0，则对任意正整数 n，有 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明： 所以 25.设在(a，b)内 f“(x)0，ax 1 x 2 b，01，试证： af(x 1 )+(1-)f(x 2 )fx 1 +(1-)x 2 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：由拉格朗日中值定理可得： f(x 1 +(1-)x 2 )-f(
17、x 1 )=(1-)(x 2 -x 1 )f“( 1 )， f(x 2 )-f(x 1 +(1-)x 2 )=(x 2 -x 1 )f“( 2 ) -(1-)得到 f(x 1 +(1-)x 2 )=f(x 1 )+(1-)f(x 2 )+(1-)(x 2 -x 1 )f“( 1 )-f“( 2 ) f(x 1 +(1-)x 2 )+(1-)(x 2 -x 1 )f“( 2 )-f“( 1 )=f(x 1 )+(1-)f(x 2 ) f(x 1 +(1-)x 2 )+(1-)(x 2 -x 1 )f“()=f(x 1 )+(1-)f(x 2 ) 因为 f“()0，即 (1-)(x 2 -x 1 )f“()0 所以 f(x 1 )+(1-)f(x 2 )fx 1 +(1-)x 2 26.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=3，且对于0，1上的一切 x 和 y|f(x)-f(y)|x-y|成立，试证： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明因为 f(x)在0，1上连续，且 f(0)=3所以 又对于0，1上的一切 x 和 y，f(x)-f(y)|x-y|成立所以 所以
