1、考研数学二-114 (1)及答案解析(总分：148.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 Z=f(x,y)=x4+y4-(x+y)2，M 1(1,1)与 M2(-1,-1)为函数 f(x,y)的两个驻点，则（分数：4.00）A.f(M1)与 f(M2)都是极大值B.f(M1)与 f(M2)都是极小值C.f(M1)是极大值，f(M 2)是极小值D.f(M1)是极小值，f(M2)是极大值2.下列表达式中正确的是 （分数：4.00）A.B.C.D.3. （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 A 是四阶可逆矩阵，A -1的特征值为 ，记 Aii(i=1,2,
2、3,4)为|A|中元素 aii的代数余子式，则（分数：4.00）A.B.C.D.5.下列论断正确的是（分数：4.00）A.若 对于任意 k 都成立，则必有B.若 f(x,y)在点(x 0,y0)存在一阶偏导数，则 f(x,y)在该点必可微C.若 y1，y 2为微分方程 y“+py+qy=0(p,q 为常数)的两个特解，则 C1y1+C2y2必为所给方程的通解，其中C1，C 2为任意常数D.若 f(x)满足 f(x)=f(1-x)，则必有 f“(x)+f(x)=06. （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 D 为 xOy 平面上以 A(1,1)，B(1,-1)，C(-1,-1)为顶点的三角形
3、区域D 1为 D 在第一象限部分，则（分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 p(x)，q(x)，f(x)连续，而 y1，y 2，y 3都是方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，则该方程必定还有解（分数：4.00）A.y1+y2-y3B.y1-y2-y3C.-y1-y2-y3D.y1+y2+y3二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)=2x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_（分数：4.00）填空项 1:_11.设 z=z(x,y)由方程 （分数：4.00）填空项 1:_1
4、2.微分方程(xcosy+sin2y)y=1 满足初始条件 y(0)=0 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 f(x)可导，x(0,+)，f(x)0， （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 是 n 阶实对称矩阵，A 2=A，r(A)=3，则 A 的相似对角形 A 为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：92.00)15.设|x|1，由 Lagrange 微分中值定理，存在 (0,1)，使试证： （分数：10.00）_16. （分数：10.00）_17.变更二次积分 （分数：10.00）_18.设 f(x)在a,b上可导，且 f(a)=f(b)=
5、0，|f“(x)|4，试证： （分数：10.00）_19.设有一半径为 R，长为 l 的圆柱体平放在深度为 2R 的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)，今将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?(设圆柱体的比重 1)（分数：10.00）_20.设函数 f(x)具有三阶连续导数，且满足 （分数：10.00）_21.设 f(x)在-a,a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0，试证：在-a,a上至少存在一点 ，使（分数：10.00）_（分数：11.00）_22.设 A 为 n 阶矩阵， 1， 2， n为 n 个线性无关的 n 维向量，证明：r(A)n （分数：11.00）_考研数学二-114 (1)
6、答案解析(总分：148.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 Z=f(x,y)=x4+y4-(x+y)2，M 1(1,1)与 M2(-1,-1)为函数 f(x,y)的两个驻点，则（分数：4.00）A.f(M1)与 f(M2)都是极大值B.f(M1)与 f(M2)都是极小值 C.f(M1)是极大值，f(M 2)是极小值D.f(M1)是极小值，f(M2)是极大值解析：分析 *于是 f“xy(1,1)2-f“xx(1,1)f“yy(1,1)0， 且 f“ xx(1,1)0，故 f(M1)为极小值， 同理可得 f(M2)也为极小值2.下列表达式中正确的是 （分数
7、：4.00）A.B. C.D.解析：分析 因|sinx|1，于是有 sin2x|sinx|，*(C)错例如，*(D)错，误认为|f(x)|为偶函数，例如，f(x)=(x+1) 2，而|f(x)|=(x+1) 2就不是偶函数 (B)对，事实上，由定积分性质，*3. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 令|A-E|=(-1) 2(-10)=O，则 =1,1,10因 A 为实对称矩阵，故存在正交矩阵 C，使CTAC=B 或 C-1AC=B，因而 A 与 B 合同且相似，即选项(A)正确4.设 A 是四阶可逆矩阵，A -1的特征值为 ，记 Aii(i=1,2,3,4)为|A|中元素 aii
8、的代数余子式，则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 因 A-1的特征值为*，故知 A 的特征值为 1,2,3,4，从而得|A|=24，而伴随矩阵 A*的特征值*，因此 A*的对角线上元素之和为 *5.下列论断正确的是（分数：4.00）A.若 对于任意 k 都成立，则必有B.若 f(x,y)在点(x 0,y0)存在一阶偏导数，则 f(x,y)在该点必可微C.若 y1，y 2为微分方程 y“+py+qy=0(p,q 为常数)的两个特解，则 C1y1+C2y2必为所给方程的通解，其中C1，C 2为任意常数D.若 f(x)满足 f(x)=f(1-x)，则必有 f“(x)+f(x)=0 解析
9、：分析 (A)的反例：*(B)的反例：设*则易得 fx(0,0)=0，f y(0,0)=0，*不存在，从而 f(x,y)在点(0,0)不连续，故 f(x,y)在点(0,0)也不可微 (C)巾给出的特解 y1，y 2未必线性无关，故不一定构成通解 选项(D)正确。事实上，由 f(x)=f(1-x)得 f“(x)=-f(1-x)=f1-(1-x)=-f(x)*f“(x)+f(x)=06. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 设*故有 QP17.设 D 为 xOy 平面上以 A(1,1)，B(1,-1)，C(-1,-1)为顶点的三角形区域D 1为 D 在第一象限部分，则（分数：4.00）
10、A.B.C. D.解析：分析 如 l 图 271 所示，将区域 D 分割成 D1，D 2，D 3，D 4四部分显见 D1与 D2关于 x 轴对称，D3与 D4关于 y 轴对称，而 xy 对于 x 或 y 都为奇函数，*又 sinxcosy 对于 x 是奇函数，对于 y 是偶函数故 *因此，选项(C)正确 *8.设函数 p(x)，q(x)，f(x)连续，而 y1，y 2，y 3都是方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，则该方程必定还有解（分数：4.00）A.y1+y2-y3 B.y1-y2-y3C.-y1-y2-y3D.y1+y2+y3解析：分析 选项(A)正确 事实上， (y1+y
11、2-y3)“+p(x)(y1+y2 一 y3)+q(x)(y1+y2-y3) =(y“1+p(x)y1+q(x)y1)+(y“2+p(x)y2+q(x)y2)-(y“3+p(x)y3+q(x)y3) =f1(x)+f2(x)-f3(x) =f(x) 故 y1+y2-y3也为方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 按洛比达法则求之 *10.设 f(x)=2x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确
12、答案：2）解析：分析 f(x)为两项之和，其中的一项 2x3有任意阶导数，只需看另一项 x2|x|在 x-0 处有几阶导数 *故使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为 211.设 z=z(x,y)由方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：z-xy）解析：分析 直接对方程的两端分别就 x，y 求偏导，可得 *12.微分方程(xcosy+sin2y)y=1 满足初始条件 y(0)=0 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x=-2(1+siny-e siny)）解析：分析 将方程改写为 *根据一阶线性微分方程的通解公式，有 *由 y(0)=0，得 C=2 故 x=-
13、2(siny+1-e siny)13.设 f(x)可导，x(0,+)，f(x)0， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 *是幂指函数极限，可先取对数再求极限 *由导数定义知 *14.设 A 是 n 阶实对称矩阵，A 2=A，r(A)=3，则 A 的相似对角形 A 为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 因 A 是实对称矩阵，故可对角化，A 的元素就是 A 的全部特征值由于 A2=A,A 的特征值仅为 1 或 0又 r(A)=r(A)=3，故 1 必为三重特征值，0 为 n-3 重特征值，因此 *三、解答题(总题数：9，分数：92.00)15.
14、设|x|1，由 Lagrange 微分中值定理，存在 (0,1)，使试证： （分数：10.00）_正确答案：(由 Maclaurin 公式，有 )解析：分析 利用带有 Peano 余项型的 Taylor 公式，解出 (x)，再取极限即得16. （分数：10.00）_正确答案：(同理可得 故有 )解析：分析 按复合函数微分法则解之17.变更二次积分 （分数：10.00）_正确答案：(由已给二次积分的积分限，可知积分区域 ，2x4画出区域 D 的图形，如图 272，交点的坐标为 A(2,2)，B(4,1)，故 )解析：分析 解这类问题，通常先由所给二次积分的积分限，画出积分区域 D 的图形，然后按
15、新次序写出二次积分18.设 f(x)在a,b上可导，且 f(a)=f(b)=0，|f“(x)|4，试证： （分数：10.00）_正确答案：(取 ，于是由题设有 其中 在 x 与 x0之间 令 x=a，代入式，有 其中 1(a,x 0) 令 x=b，代入式，有 其中 2(x 0,b) 式和式相加，可得 )解析：分析 取*，写出在 x=x0处的一阶泰勒公式，分别用 x=a 与 x-b 代入，利用题设条件，解出f(x0)，再利用常见不等式，即可得出欲证不等式19.设有一半径为 R，长为 l 的圆柱体平放在深度为 2R 的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)，今将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?(设圆
16、柱体的比重 1)（分数：10.00）_正确答案：(选取坐标系如图 273 所示，设将柱体分层，把在水深厚度为 dx 的一层柱体提出水面之上所做的功为 )解析：分析 采用微元分析法，即适当选取坐标系，写出所求量即功的微元，再积分即可20.设函数 f(x)具有三阶连续导数，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(于是 )解析：分析 利用等价无穷小及二阶泰勒公式求解21.设 f(x)在-a,a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0，试证：在-a,a上至少存在一点 ，使（分数：10.00）_正确答案：(因 f“(x)连续，故存在常数 m，M，使 mf“()M，于是有 mx2f“()x 2Mx 2，
17、积分得 由连续函数介值定理，知存在 -a,a，使 )解析：分析 利用一阶泰勒公式欲证存在 (-a,a)，*，由于 f“(x)连续，故只要证明*是介于f“(x)在-a,a，上最小值与最大值之间的某个常数即可。（分数：11.00）_正确答案：(设特征向量)解析：_正确答案：(由得矩阵特征值 1= 2=1， 3=10 (A-E)x=0， )解析：分析 本题考查特征值及特征向量的相关知识，以及实对称阵的对角化22.设 A 为 n 阶矩阵， 1， 2， n为 n 个线性无关的 n 维向量，证明：r(A)n （分数：11.00）_正确答案：(“ ”：记 B=( 1， 2， n)， 则 |(A1，A 2，A n)|=| A( 1， 2， n)|=|AB|=|A|B| 由 r(A)=n， 1， 2， n线性无关知，|A|0，|B|0，从而|AB|0，即 A 1，A 2，A n线性无关 “ )解析：分析 判断 n 个 n 维向量的线性相关性，利用矩阵的行列式较为简便
