1、考研数学二-113 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：9，分数：100.00)将二重积分 （分数：16.00）(1).D：由 y 2 =8x 与 x 2 =y 所围之区域；（分数：4.00）_(2).D：由 x=3，x=5，x-2y+1=0 及 x-2y+7=0 所围之区域；（分数：4.00）_(3).D：由 x 2 +y 2 1，yx 及 x0 所围之区域；（分数：4.00）_(4).D：|x|+|y|1（分数：4.00）_改变下列积分次序：（分数：12.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_(3). （分数：4.00）_将
2、二重积分 （分数：12.00）(1).D：a 2 x 2 +y 2 b 2 ，y0，(ba0)；（分数：4.00）_(2).D：x 3 +y 2 y，x0；（分数：4.00）_(3).D：0x+y1，0x1（分数：4.00）_求解下列二重积分：（分数：20.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_(3). D：由 x=y 2 及 （分数：4.00）_(4). （分数：4.00）_(5). （分数：4.00）_计算下列二重积分：（分数：12.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_(3). （分数：4.00）_1.设 f(t)是半径为 t 的圆
3、的周长，试证： （分数：4.00）_2.设 p(x)是a，b上非负连续函数，f(x)，g(x)在a，b上连续且单调递增，证明： （分数：4.00）_3.设 m，n 均为正整数且其中至少有一个是奇数，证明： （分数：4.00）_求由下列曲线所围图形的面积（分数：16.00）(1).xy=a 2 ， （分数：4.00）_(2).x+y=a，x+y=b，y=ax，y=x(0ab，0)；（分数：4.00）_(3).(x 2 +y 2 ) 2 =2a 2 xy(a0)；（分数：4.00）_(4).(x 2 +y 2 ) 2 =a(x 3 -3xy 2 )(a0)（分数：4.00）_考研数学二-113 答
4、案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：9，分数：100.00)将二重积分 （分数：16.00）(1).D：由 y 2 =8x 与 x 2 =y 所围之区域；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 (2).D：由 x=3，x=5，x-2y+1=0 及 x-2y+7=0 所围之区域；（分数：4.00）_正确答案：()解析： (3).D：由 x 2 +y 2 1，yx 及 x0 所围之区域；（分数：4.00）_正确答案：()解析： (4).D：|x|+|y|1（分数：4.00）_正确答案：()解析： 改变下列积分次序：（分数：12.00）(1). （分数：4.00
5、）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：(3). （分数：4.00）_正确答案：()解析：将二重积分 （分数：12.00）(1).D：a 2 x 2 +y 2 b 2 ，y0，(ba0)；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由已知条件可得：(2).D：x 3 +y 2 y，x0；（分数：4.00）_正确答案：()解析：由已知条件可得：(3).D：0x+y1，0x1（分数：4.00）_正确答案：()解析：由已知条件可得：求解下列二重积分：（分数：20.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由图可知 (2). （分数：4.00）_
6、正确答案：()解析：由图可知： (3). D：由 x=y 2 及 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 满足 f(x，-y)=-f(x，y)，即 f(x，y)关于 y 为奇函数，又积分区域关于 x 轴对称，所以该二重积分等于 0 (4). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 y“=4x 3 -3x 2 ，y“=12x 2 -6x=6x(2x-1)0解得 此时图形在 x 轴下方 所以 (5). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 使用极坐标变换可得： 计算下列二重积分：（分数：12.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 使用极坐标变换可得：
7、 (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 交换积分次序： (3). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 2 =x 2 +y 2 ，则 1.设 f(t)是半径为 t 的圆的周长，试证： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：因为2.设 p(x)是a，b上非负连续函数，f(x)，g(x)在a，b上连续且单调递增，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：令 则：F(0)=0，且可以得到： F“(x)0 成立，因为 p(x)是a，b上的非负连续函数，f(x)，g(x)在a，b上连续且单调递增所以F(x)单减于是 3.设 m，n 均为正整数且其中至少有一个
8、是奇数，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 证明：因为区域 D 既对 x 轴对称，又对 y 轴对称所以 当 m 为奇数时，x m y n 为对于 x 的奇函数，二重积分为 0； 当 n 为奇数时，x m y n 为对于 y 的奇函数，二重积分为 0 综上可得： 求由下列曲线所围图形的面积（分数：16.00）(1).xy=a 2 ， （分数：4.00）_正确答案：()解析：(1)解 (2).x+y=a，x+y=b，y=ax，y=x(0ab，0)；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 x+y=u，y=vx则 ，雅可比行列式为： (3).(x 2 +y 2 ) 2 =2a 2 xy(a0)；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 x=rcos，y=rsin于是面积 S 为 (4).(x 2 +y 2 ) 2 =a(x 3 -3xy 2 )(a0)（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由表达式可知图形关于 x 轴对称，于是总面积为上半平面部分面积的二倍化成极坐标，得 r=acos(4cos 2 -3) 因为 r0，所以 cos(4cos 2 -3)0， 求解 解得 于是面积 S 为
