1、考研数学二-109 (1)及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 0，f(x)在(-，)内恒有 f“(x)0，且|f(x)|x 2，记*则有( )（分数：4.00）A.I=0B.I0C.I0D.不能确定2.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.若 f(x)在 x0处可导，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)可导B.若 f(x)在 x0处连续，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)连续C.若*存在，则 f(x)在 x0处可导D.若 f(x)在 x0的去心邻域内可导，f(x)在 x0处连续，且*存在，则 f(x
2、)在 x0处可导，且*3.下列说法中正确的是( )（分数：4.00）A.若 f(x0)0，则 f(x)在 x0的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x0取极大值，则当 x(x 0-，x 0)时，f(x)单调增加，当 x(x 0，x 0+)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x0取极值，则 f(x)在 x0连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值4.下列无穷小中阶数最高的是( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f 有一阶连续的偏导数，且 f(x+y，x-y)=4(x 2-xy-y2)，则 xfx(z，y)+yf y(x，y)为( )（分数：4.0
3、0）A.2x2-8xy-2y2B.-2x2+8xy-2y2C.2x2-8xy+2y2D.-2x2+8xy+2y26.设*B 等于( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 是 n 阶矩阵，则 A 可相似对角化的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.A 是可逆矩阵B.A 的特征值都是单值C.A 是实对称矩阵D.A 有 n 个线性无关的特征向量8.设 f(x)=x3-3x+k 只有一个零点，则 k 的范围是( )（分数：4.00）A.|k|1B.|k|1C.|k|2D.k2二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在(-，+)内可导，且* * 则 a=_（分数：4.
4、00）填空项 1:_10.设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为*= 1（分数：4.00）填空项 1:_11.xy“-y=x2的通解为 1（分数：4.00）填空项 1:_12.设*，且 F(u，v)连续可偏导，则*= 1（分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为一个装满水的半球形水池，半径为 R，若用水泵将 A 中水全部抽出，则克服重力做功为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 为三阶矩阵，A 的三个特征值为 1=-2， 2=1， 3=2，A *是 A 的伴随矩阵，则 A11+A22+A33= 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.
5、00)15.证明：当 X1 且 z0 时，*（分数：11.00）_16.计算*（分数：11.00）_17.设 f“(x)Ca，b，证明：存在 (a，b)，使得 *（分数：11.00）_18.设 f(x)在 R 上可微且 f(0)=0，又*（分数：11.00）_19.设 f(x)在(0，+)内一阶连续可微，且对*满足*xf(x)+x 3，又 f(1)=0，求 f(x)（分数：11.00）_20.一个容器的内表面侧面由曲线*绕 x 轴旋转而成，外表面由曲线 x=*在点*的切线位于点*与 x轴交点之间的部分绕 x 轴旋转而成，此容器材质的密度为 求此容器自身的质量 M 及其内表面的面积S（分数：11
6、.00）_21.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与*及 1+y2。之积成反比，比例系数为*，求 y=y(x)（分数：11.00）_22.设 A 是 n 阶矩阵，证明： () r(A)=1 的充分必要条件是存在行阶非零列向量 ，使得 A= T； () r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化（分数：11.00）_23.设 A，B 都是 n 阶正定矩阵，P 为 nm 矩阵，证明：P T(A+B)P 正定的充分必要条件是 r(P)=m （分数：11.00）_考研数学二-109 (1)答案解析(总分：155.00，做题
7、时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 0，f(x)在(-，)内恒有 f“(x)0，且|f(x)|x 2，记*则有( )（分数：4.00）A.I=0B.I0 C.I0D.不能确定解析：详解 因为|f(x)|x 2，所以 f(0)=0，由|f(x)|x 2，得*夹逼定理得 f(0)=0 由泰勒公式得 *，其中 介于 0 与 x 之间，因为在(-，)内恒有*2.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.若 f(x)在 x0处可导，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)可导B.若 f(x)在 x0处连续，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)连续C.若*
8、存在，则 f(x)在 x0处可导D.若 f(x)在 x0的去心邻域内可导，f(x)在 x0处连续，且*存在，则 f(x)在 x0处可导，且* 解析：详解 *得 f(x)在 x=0 处可导(也连续) 对任意的 a0，因为*不存在，所以 f(x)在 x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，(A)，(B)不对； 令*f(x)在 x=0 处不连续，当然也不可导，(C)不对； 因为 f(x)在 x0处连续且在 x0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有 f(x)-f(x0)=*，其中 介于z0与 x 之间，两边取极限得*存在，即 f(x)在 x0处可导，且*，选(D
9、)3.下列说法中正确的是( )（分数：4.00）A.若 f(x0)0，则 f(x)在 x0的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x0取极大值，则当 x(x 0-，x 0)时，f(x)单调增加，当 x(x 0，x 0+)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x0取极值，则 f(x)在 x0连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析：详解 *在 x=0 的任意邻域内都不单调减少，(A)不对；f(x)*，f(x)在 x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的任一邻域内皆不*，f(x)在 x=1 处取得极大值，但 f(x)在 x=1 处不连续；由 f“(0)存在，得
10、 f(0)存在，又 f(x)为偶函数，所以 f“(0)=0，所以 x=0 一定为 f(x)的极值点，选(D)4.下列无穷小中阶数最高的是( ) *（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 e x-etanx=etanx(ex-tanx-1)x-tanx，*，所以*5.设 f 有一阶连续的偏导数，且 f(x+y，x-y)=4(x 2-xy-y2)，则 xfx(z，y)+yf y(x，y)为( )（分数：4.00）A.2x2-8xy-2y2B.-2x2+8xy-2y2C.2x2-8xy+2y2D.-2x2+8xy+2y2 解析：详解 令 x+y=u，x-y=V，则*，于是由 f(x+y，x-
11、y)=4(x 2-xy-y2)，得 f(u，v)=4uv-u 2+v2，故f(x，y)=4xy-x 2+y2，xf x(x，y)+yf y(x，y)=x(4y-2x)+y(4x+2y)=-2x 2+8xy+2y2，选(D)6.设*B 等于( ) *（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 * 选(C)7.设 A 是 n 阶矩阵，则 A 可相似对角化的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.A 是可逆矩阵B.A 的特征值都是单值C.A 是实对称矩阵D.A 有 n 个线性无关的特征向量 解析：详解 (A)既不是 A 可对角化的充分条件，又不是 A 可对角化的必要条件；(B)是 A 可对角化
12、的充分条件而非必要条件；(C)也是 A 可对角化的充分而非必要条件；A 可对角化的充分必要条件是存在 n 个线性无关的特征向量，选(D)8.设 f(x)=x3-3x+k 只有一个零点，则 k 的范围是( )（分数：4.00）A.|k|1B.|k|1C.|k|2 D.k2解析：详解 f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零由 f(x)=3(x2-1)=0，得驻点 x=1，且由图形可知，z=-1 为极大点，x=1为极小点故*，所以选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在(-，+)内可导，且* * 则 a=
13、_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：详解 *，由微分中值定理得 f(x)-f(x-1)=f()，其中 x-1x，则*，于是e2a=e2，a=110.设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为*= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *11.xy“-y=x2的通解为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *12.设*，且 F(u，v)连续可偏导，则*= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：z）解析：详解 *13.设 A 为一个装满水的半球形水池，半径为 R，若用水泵将 A 中水全部抽出，则克服重力做
14、功为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 取半球的球心为坐标原点，铅直向下的直线为 z 轴，则克服重力所做的功 *14.设 A 为三阶矩阵，A 的三个特征值为 1=-2， 2=1， 3=2，A *是 A 的伴随矩阵，则 A11+A22+A33= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：详解 因为 A 的特征值为 1=-2， 2=1， 3=2，所以 A*的特征值为 1=2, 2=-4， 3=-2，于是A11+A22+A33=tr(A*)= 1+ 2+ 3=2-4-2=-4三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.证明：当 X1 且 z0 时，*
15、（分数：11.00）_正确答案：(当 x0 时，令 f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x)，显然 f(0)=0，因为 * 所以 f(x)在(-，0)上单调减少，所以当 X0 时，f(x)f(0)=0，即 x+ln(1-x)- xln(1-x)0，于是 * 当 0x1 时，令 f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x)，且 f(0)=0，因为 * 所以 f(x)在(0，+)内单调增加，于是 f(x)f(0)=0，*)解析：16.计算*（分数：11.00）_正确答案：(令 x=tant，则 * *)解析：17.设 f“(x)Ca，b，证明：存在 (a，b)，使得 *（分数：11.00）
16、_正确答案：(*，则 F(x)=f(x)，且 F“(x)Ca，b由泰勒公式得 * 因为 f“(x)Ca，b，所以 f“(x)C 1， 2，由闭区间上连续函数最值定理，F“(x)在区间 1， 2上取得最小和最大值，分别记为 m，M，则有 * 再由闭区间上连续函数的介值定理，存在 1， 2*(a，b)，使得 f“()=*)解析：18.设 f(x)在 R 上可微且 f(0)=0，又*（分数：11.00）_正确答案：(令 u-lnx，则* * 因为 f(0)=0，所以* *)解析：19.设 f(x)在(0，+)内一阶连续可微，且对*满足*xf(x)+x 3，又 f(1)=0，求 f(x)（分数：11.
17、00）_正确答案：(令 u=xt，则原方程变换为*，两边对 x 求导得 f(x)=2f(x)+f(x)+xf(x)+3x2，整理得*此微分方程的通解为 f(x)*)解析：20.一个容器的内表面侧面由曲线*绕 x 轴旋转而成，外表面由曲线 x=*在点*的切线位于点*与 x轴交点之间的部分绕 x 轴旋转而成，此容器材质的密度为 求此容器自身的质量 M 及其内表面的面积S（分数：11.00）_正确答案：(*切线方程为*，与 x 轴的交点坐标为(1，0) 切线旋转后的旋转体体积为*，曲线旋转后的旋转体的体积为*此容器的质量为 * 容器内表面积为 *)解析：21.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点
18、(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与*及 1+y2。之积成反比，比例系数为*，求 y=y(x)（分数：11.00）_正确答案：(根据题意得 * * *)解析：22.设 A 是 n 阶矩阵，证明： () r(A)=1 的充分必要条件是存在行阶非零列向量 ，使得 A= T； () r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化（分数：11.00）_正确答案：() 若 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的任意两行成比例，即 * * *，显然 ， 都不是零向量且 A= T； 反之，若 A= T，其中 ， 都是 n 维非零列向量，则 r(A)=r( T)r()-
19、1，又因为 ， 为非零列向量，所以 A 为非零矩阵，从而 r(A)1，于是 r(A)=1 ()因为 r(A)=1，所以存在非零列向量 ，使得 A= T，显然 tr(A)=(，)，因为 tr(A)0，所以(，)=k0 令 AX=X，因为 A2=kA，所以 2X=kX，或( 2-k)X=0，注意到 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0或 =k 因为 1+ 2+ n=tr(A)=k，所以 1=k， 2= 3= n=0，由 r(0E-A)=r(A)=1，得 A 一定可以对角化)解析：23.设 A，B 都是 n 阶正定矩阵，P 为 nm 矩阵，证明：P T(A+B)P 正定的充分必要条件是 r(P)=m
20、 （分数：11.00）_正确答案：(因为P T(A+B)PT=PT(AT+BT)(PT)T=PT(A+B)P，所以 PT(A+B)P 为实对称矩阵 设 PT(A+B)P 正定，则 PT(A+B)P 为 m 阶可逆矩阵，即 rPT(A+B)P=m，由矩阵秩的性质得 rPT(A+B)Pr(P)，所以 r(P)m，显然 r(P)m，所以 r(P)=m 设 r(P)=m，对任意的 X0，X TPT(A+B)PX=(PX)T(A+B)(PX)，令 PX=Y，显然 Y0，因为若 Y=0，由 r(P)=m 得 X=0，矛盾，所以 Y0，于是 XTPT(A+B)PX=YTAY+YTBY。 因为 A，B 都是正定矩阵，所以 YTAY0 且 YTBY0，于是 XTPT(A+B)PX0，即 PT(A+B)P 为正定矩阵)解析：
