1、考研数学二-108 (1)及答案解析(总分：137.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 n 阶可逆阵，且 A2=|A|E，则 A*=（分数：4.00）A.A-1B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.以 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(u)为可导函数，且满足 （分数：4.00）A.B.C.D.5. 的特解形式为 （分数：4.00）A.B.C.D.6.下列命题中错误的是（分数：4.00）A.f(x)连续，B.f(x)可积，C.f(x)可积，且为奇函数，D.f(x)可积，T 为其周期7.设矩阵
2、 且 AB+E=A2+B，则 B 为 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)连续，xa，b，则下列不等式中恒成立的是 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)是南方程 xy=ex-ey确定的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 a0，且函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 是单调增加的，x(-，+)，则系数 a，b，c 应满足条件_（分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 f(x)=max2x，x 2，x(0，4)，且知 f
3、(a)不存在，a(0，4)，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 为 n 阶非零矩阵，其元素 aij全为实数，a ij=Aij(Aij为 aij的代数余子式)，则 r(a)=_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：81.00)15.设 z=fxg(y)，x-y，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 （分数：9.00）_16.求微分方程 y“+16y=cos(2x+)的通解，其中 为常数（分数：9.00）_17.设 f(x)为连续的周期函数，周期为 T，求证 （分数：9.00）_18.证明：当 x0 时，不等式 （分数：9.00）_1
4、9.设 D1是由抛物线 y=2x2和直线 x=a，x=2 及 y=0 所围成的平面区域，D 2是由 y=2x2和直线 y=0，x=a 以所围成的平面区域，其中 0a2 ()试求 D1绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V1，D 2绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 V2； ()问当 a 为何值时，V 1+V2取得最大值?求此最大值（分数：9.00）_20.设 x00， (n=0，1，2，)，且 a0，试证 （分数：9.00）_21.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，试证： () 存在 (0，1)，使 f()=1- ()存在两个不同的 ，(0，1)，使
5、f()f()=1（分数：9.00）_22.a，b 取何值时，线性方程组 （分数：9.00）_23.设 1=3， 2=6， 3=9 是三阶实对称矩阵 A 的三个特征值，其对应的特征向量依次为 证明：() （分数：9.00）_考研数学二-108 (1)答案解析(总分：137.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 n 阶可逆阵，且 A2=|A|E，则 A*=（分数：4.00）A.A-1B. C.D.解析：分析 由*于是 A=A*=|A|E=|A|A-1， 而 A *=|A|A-1， 故 A *=A2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析
6、因 * 而*是 x 的奇函数，D 关于 y 轴对称，故* 同理*3.以 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由题设知*，*从而 f(0)=1又由极限定理知存在点 x=0 的邻域，有*即 1-f(x)0，即有 f(x)1=f(0)，故 f(x)在点 x=0 处取得极大值4.设 f(u)为可导函数，且满足 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 已知 z=xyf(u)，*则有 * 故* 因此 F(x，y)=x-y 即选项(A)正确5. 的特解形式为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 相应齐次方程之特征方程为 4r2-12r+9=0 * 由原
7、方程之非齐次项*可以确定原方程的特解形式为 *6.下列命题中错误的是（分数：4.00）A.f(x)连续，B.f(x)可积， C.f(x)可积，且为奇函数，D.f(x)可积，T 为其周期解析：分析 易知(A)，(C)，(D)都是正确的，只有(B)是错的例如 f(x)=xsgn(cosx)在0，上可积，即 * 但 f(x)在(0，)内没有原函数7.设矩阵 且 AB+E=A2+B，则 B 为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由 AB+E=A2+B， 得 (A-E)B=A 2-E， 则 B=(A-E) -1(A2-E)=A+E， 故*8.设 f(x)连续，xa，b，则下列不等式中恒成立
8、的是 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 (B)未必成立，例如*，例如*为奇函数(D)也不对，例如*(A)是恒成立的积分不等式二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)是南方程 xy=ex-ey确定的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：dx.）解析：分析 将 x=0 代入 xy=ex-ey，得 y=0方程两端对 x 求导，有 * 将 x=0，y=0 代入上式，得*故有 *10.设 a0，且函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 是单调增加的，x(-，+)，则系数 a，b，c 应满足条件_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：b 2-
9、3ac0）解析：分析 欲使 f(x)单调增加，必须有 f(x)=ax2+2bx+C0 故必有二次三项式的判别式 (2b)2-43ac0 即 b 2-3ac011.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 * * 故* 注：*，即在点(0，0)连续，*是初等函数，当 x2+y20，f(x，y)连续，说明 f(x，y)在整个 xOy 平面上连续12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 记*(非奇非偶函数)，利用 *(表示 f(x)可分成一个偶函数与一个奇函数之和)，于是 *13.设 f(x)=max2x，x 2，x(0，4)，且知 f(a)不
10、存在，a(0，4)，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 因* f-(2)=2，f+(2)=4 故 f(2)不存在，即 a=214.设 A 为 n 阶非零矩阵，其元素 aij全为实数，a ij=Aij(Aij为 aij的代数余子式)，则 r(a)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n）解析：分析 因 A0，不妨设 aij0， 而 |A|=a i1Ai1+ai2Ai2+aijAij+ainAin * 故 r(A)=n三、解答题(总题数：9，分数：81.00)15.设 z=fxg(y)，x-y，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求
11、 （分数：9.00）_正确答案：( )解析：分析 按复合函数求偏导数方法求解16.求微分方程 y“+16y=cos(2x+)的通解，其中 为常数（分数：9.00）_正确答案：(原方程对应齐次方程的特征方程为 于是对应齐次方程的通解为 Y=C1cos4x+C2sin4x， 由于 f(x)=cos(2x+)=cosocos2x-sinsin2x，且 2i 不是特征方程的根，故可设原方程的特解为 y*=acos2x+bsin2x 将 y*代入原方程，得 因此，原方程的通解为 )解析：分析 方程右端函数 f(x)=cos(2x+)可以表示为 Rcosx+Tsinr 的形式，按照二阶常系数非齐次方程解法
12、解之17.设 f(x)为连续的周期函数，周期为 T，求证 （分数：9.00）_正确答案：(证法一 对于任意充分大的 x0，存在正整数 n，使 nTx(n+1)T 显然，当 x+时，有 n+，当 n+时，有 x+ 设 x=nT+S(0ST)，若左端极限存在，则必有 记 则 即 根据积分中值定理有 故 (因 f(x)连续，x0，T，故 f(x)有界，xE0，T) 证法二 设 则 即 即 (x)也是周期为 T 的连续函数，由连续性可知，(x)在0，T上有界，即存在 M0，|(x)|M，由周期性知V x，皆有|(x)|M于是有 当 x+，有 从而当 x+，有 因此 )解析：分析 f(x)连续，f(x+
13、T)=f(x)，T0 注：在证 (x+T)=(x)的过程中，用到 * 注意到* 利用定积分的性质可以证明本命题，或采用辅助函数以及 f(x)的周期性来证明 注：在证 (x+T)=(x)的过程中，用到 *18.证明：当 x0 时，不等式 （分数：9.00）_正确答案：(设 则 因此 f1(x)是单调递减的而 可见，对任何 x0，均有 f1(x)0所以 f1(x)在 x0 时是单调递增的，也就有 为单调递增的又已知 所以就有对 x0， 现在来证明不等式的另一半 设 则 因此 f2(x)是单调递增的，而 可见，对任何 x0，均有 f2(x)0。所以 f2(x)在 x0 时是单调递减的，即有 为单调递
14、减的已知 所以对 x0， )解析：分析 当 x0 时，*均具有单调性，也就是它们的导数均为正或负，为了求导方便，它们的单调性可以从它们取对数后的单调性判定，因为对数函数本身就具有单调性19.设 D1是由抛物线 y=2x2和直线 x=a，x=2 及 y=0 所围成的平面区域，D 2是由 y=2x2和直线 y=0，x=a 以所围成的平面区域，其中 0a2 ()试求 D1绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V1，D 2绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 V2； ()问当 a 为何值时，V 1+V2取得最大值?求此最大值（分数：9.00）_正确答案：( 令 V=4a 3(1-a)=0 a=0(舍去)，a=
15、1(0，2)，故 a=1 为唯一驻点 而 V“(1)=-40， 故 a=1 是 V 的极大值点，也即最大值点，此时最大值为 )解析：分析 由题意知 V1，V 2都与 a 有关。故 V1+V2是 a 的函数于是本题应先求出 V1+V2的表达式，然后再按照求函数最大值的方法，求出 V1+V2的最大值点和最大值20.设 x00， (n=0，1，2，)，且 a0，试证 （分数：9.00）_正确答案：(由题设 x00，算术平均值不小于几何平均值，有 又 故数列x n单调递减且有下界，于是根据极限存在准则知 存在 记 则 即 故 )解析：分析 根据极限存在准则，证明数列有极限，再由递推关系式求出极限值21
16、.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，试证： () 存在 (0，1)，使 f()=1- ()存在两个不同的 ，(0，1)，使 f()f()=1（分数：9.00）_正确答案：()令 (x)=f(x)-(1-x)，则 (x)在0，1上连续，(0)=-10，(1)=10，故由零点存在定理，知存在 (0，1)，使 ()由拉格朗日微分中值定理，存在 (0，)，(，1)，使 )解析：分析 利用连续函数零点存在定理证明()；再依据拉格朗日微分中值定理证明()22.a，b 取何值时，线性方程组 （分数：9.00）_正确答案：(当 b=0 时无解 当 b0 时，有三种情况： a=1， 无解 a=1， 有无穷多解，全部解为 a1 时，有唯一解 )解析：分析 判断含参数的非齐次线性方程组解的情况一般有两种思路若方程个数与未知数个数相同时，可从克莱默法则着手；否则根据 * 来判断解的情况(其中*为增广矩阵，n 为未知数个数)23.设 1=3， 2=6， 3=9 是三阶实对称矩阵 A 的三个特征值，其对应的特征向量依次为 证明：() （分数：9.00）_正确答案：( ()令 =x 1 1+x2 2+x3 3 x1=1，x 2=3，x 3=2 于是有 = 1+3 2+2 3，从而 )解析：分析 已知特征值、特征向量反求矩阵也是一种常见题型
