1、考研数学二-106 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(u)连续，区域 D 一(x，y)|x 2+y22y)，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)为连续函数，且下列极限都存在，则其中可推出 f(3)存在的是 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设在定义域 D 内，fx(x，y)0，f y(x，y)0，f(x 1，y 1)f( 2，y 2)，则应有（分数：4.00）A.x1x 2，y 1y 2B.x1x 2，y
2、1y 2C.x12，y 1y 2D.x1x 2，y 1y 26.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列命题正确的是（分数：4.00）A.设 A 为 n 阶矩阵，A 2=0，则 A=0B.设 A 为“阶矩阵，A 2=A，则 A=0 或 A=EC.设 A 为 n 阶矩阵，AX=AY，A0，则 X=YD.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称阵，则 BTAB 也为对称阵8.设 A，B，A+B，A -1+B-1皆为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=（分数：4.00）A.A-1+B-1B.A+BC.) (A+B)-1D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 D：2x2
3、+y242，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 n 是正整数,则 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设函数 f(x)在点 x=0 处连续， ，且函数 则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A=T，=1，-2，1T，2，1，1T，则(E+A)n=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(u，v)满足 ,(x，y)=f(x2-y2,2xy),试求 （分数：10.00）_16. （分数：11.00）_17. （分数：10.00）_18.证明：若函数 f
4、(x)在0，1上连续，则有 （分数：10.00）_19. （分数：11.00）_20.设函数 f(x)(x0)连续可微，f(0)=1已知曲线 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长值相等，求 f(x)（分数：10.00）_21.设函数 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：10.00）_22.已知二维非零向量 X 不是二阶方阵 A 的特征向量 () 证明：X，AX 线性无关 () 若 A2X+AX-6X=0，求 A 的特征值，并讨论 A 可否相似对角化（分数：11.00）_23.设 1， 2，
5、3， 4， 为四维非零列向量，A=( 1， 2， 3， 4)，已知方程组 AX= 的通解是(-1，1，0，2)T+k(1，-1，2，0)T，其中 k 为任意实数 () 问 能否由 1， 2， 3 线性表示? () 求向量组 1， 2， 3， 4， 的一个极大无关组（分数：11.00）_考研数学二-106 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(u)连续，区域 D 一(x，y)|x 2+y22y)，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由*为一圆域，其极坐标方程为 r=2sin(0) 于是 *2.设 （分数
6、：4.00）A.B. C.D.解析：分析 * 于是当 xe，有 f(x)0，从而知在(e，+)内 f(x)单减，取 x=n+3e，即知a n为一单减数列，从而选项(B)正确，(A)，(C)皆不对选项(D)也不对事实上，因*，故知a n)为一有界数列 注：本题考查了幂指函数的求导方法，数列极限的性质以及函数单调性的判定法3.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 先利用洛比达法则，求出*，再由这个极限值判定 * 即 (x)是 (x)的等价无穷小4.设 f(x)为连续函数，且下列极限都存在，则其中可推出 f(3)存在的是 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 (A) 中，*，
7、表明只是右极限；(C)中，x=x 20+(x0)，与(A)类似；而(D)式，只有当 f(3)预先存在的情形下，才与 f(3)相等；在(B)式中，*，符合导数定义，故选项(B)正确5.设在定义域 D 内，fx(x，y)0，f y(x，y)0，f(x 1，y 1)f( 2，y 2)，则应有（分数：4.00）A.x1x 2，y 1y 2B.x1x 2，y 1y 2 C.x12，y 1y 2D.x1x 2，y 1y 2解析：分析 由 fx(x，y)0，f y(x，y)0，(x，y)D 知，函数 f(x，y)关于 x 单减，关于 y 单增，于是当。x 1x 2，有 f(x1，y 1)f(x 2，y 1)
8、(x 1，y 1)D；当 y1y 2，有 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)，(x 2，y 2)D故当 x1x 2，y 1y 2，有 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)因此选(B)6.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *，故 f(x)单调增加且连续.f(1)=0,且*故 x 充分大后 f(x)会大于任何数，因此方程 f(x)=1 必有一个实根7.下列命题正确的是（分数：4.00）A.设 A 为 n 阶矩阵，A 2=0，则 A=0B.设 A 为“阶矩阵，A 2=A，则 A=0 或 A=EC.设 A 为 n 阶矩阵，AX=AY，A0，则 X=YD.设 A，B 为 n 阶矩
9、阵，且 A 为对称阵，则 BTAB 也为对称阵 解析：分析 (A)的反例，可取*， * (B) 的反例，可取*，有 A2但 A0，AE (C) 的反例，可取*，有 AX=AY，A0，但Y 以上说明选项(A)，(B)，(C)都不对 故南排除法，知选项(D)正确 实际上，由设，知 AT=A， 则(B TAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB，故 BTAB 为对称阵8.设 A，B，A+B，A -1+B-1皆为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=（分数：4.00）A.A-1+B-1B.A+BC.) (A+B)-1D. 解析：分析 利用 PP-1=E(P 为可逆阵)。因 (A-1+B
10、-1)A(A+B)-1B =A-1A(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B =(A+B)-1B+(B-1A)(A+B)-1B =(E+B-1A)(A+B)-1B =(E+B-1A)B-1(A+B)-1 =(E+B-1A)(E+B-1A)-1=E 故 (A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 D：2x2+y242，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-62）解析：分析 化成极坐标形式，D；02，r2，积分区域是一个圆环 * *10.设 n 是正整数,则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n2）解析：分析 利用数学归纳
11、法解之 * 设 n=k(k 为奇数)时，有 * 则当 n=k+1 时，有 * 设 n=k(k 为偶数)，有 * 则当 n=k+1(k 为偶数)时，有 * 因此，对任意正整数 n，都有 *11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln(1+ ）解析：分析 用定积分定义求解 *12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：. ）解析：分析 * *13.设函数 f(x)在点 x=0 处连续， ，且函数 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：分析 本题着重考查分段函数连续性概念、定积分中值定理的应用由定积分中值定理，知 * 注：这里用到 g(x)在点 x=0
12、的连续性，*。14.设 A=T，=1，-2，1T，2，1，1T，则(E+A)n=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：E+(2n-1)A）解析：分析* 而* 于是 A2=TT=(T)T=T=A，An=A 故 *三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(u，v)满足 ,(x，y)=f(x2-y2,2xy),试求 （分数：10.00）_正确答案：(记 u=x2-y2，v=2xy，于是有 )解析：分析 按复合函数求偏导法计算16. （分数：11.00）_正确答案：(设 t=lnx，x=et，于是有 故当 t0 时， 当 t0 时， 由于 f(t)连续，t(-，+)，所以其原函
13、数 f(t)连续，t(-，+)，故有 )解析：分析 先作变量替换，再分别积分，由原函数的连续性，定出积分常数，即可解出17. （分数：10.00）_正确答案：(令 t=x2，则 x=1 时，t=1，x= 时，t=2，且出 dt=2xdx因此 对于上式第二个积分，其积分区间为a，a2，可考虑变换，使之化为积分区间为1，a的积分令 u= ，则 t=a 时，u=a，t=a2 时，u=1，且 于是有 故 )解析：分析 欲证的等式两边积分区间相同，只是被积函数中左端的 x2 在右端换为 x因此，可以考虑换元法为了保持单值性，对左端施以换元，令t=x218.证明：若函数 f(x)在0，1上连续，则有 （分
14、数：10.00）_正确答案：( 故 )解析：分析 由三角函数公式 simx=sin(-x)和*，通过积分换元推导本式19. （分数：11.00）_正确答案：( 相应的齐次方程是 两边积分，得 y=c(x)(x+1)n 令 y=c(x)(x+1)n，代入非齐次方程，得到 )解析：分析 方程可改写为一阶非齐次线性微分方程 * 它的通解可以直接代公式，也可以先求对应的齐次方程，再用常数变易法求得通解20.设函数 f(x)(x0)连续可微，f(0)=1已知曲线 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长值相等，求 f(x
15、)（分数：10.00）_正确答案：(题设所围图形的面积为 ，而弧长为 ， 两端对 x 求导，得 又 f(0)=1，从而所求函数 f(x)满足 由此得 y2=1+(y)2,故 . 于是 将 代入上式得 C=1，故所求的解为 )解析：分析 由定积分的几何意义，分别以变量 x 为上限的定积分表示所讨论图形的面积及弧长，并令其值相等，然后两端对上限 x 求导，从而得出 f(x)的微分方程，再由题意可得相应的定解条件，最后解微分方程，求出 f(x)21.设函数 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：10.00）_正确答案：(因 sinx0，x(0，)，又由题设 若在(0，)内 f(x)恒正
16、，则 若在(0，)内 f(x)恒负，则 故在(0，)内 f(x)不可能恒正或恒负，因而 f(x)在(0，)内必有零点 下面证明 f(x)在(0，)内零点不唯一 设 (0，)是 f(x)的唯一零点，则对于 x，x(0，)，有 sin(x-)f(x)必恒正或恒负(否则 f(x)必另有零点)，即有，但由题设知 此与 )解析：分析 欲证 (0，)，使 f()=0，关键是要证明在(0，)内 f(x)有两个以上的零点，于是由罗尔定理知，存在 (0，)，使 f()=022.已知二维非零向量 X 不是二阶方阵 A 的特征向量 () 证明：X，AX 线性无关 () 若 A2X+AX-6X=0，求 A 的特征值，
17、并讨论 A 可否相似对角化（分数：11.00）_正确答案：()设 X，AX 线性相关，即存在不全为零的 k1，k 2，使得 k1X+k2AX=0如果 k2=0，由于 X0，得 k1=0，所以 k20，且有 )解析：分析 二阶方阵 A 能否对角化，关键是能否找到两个线性无关的特征向量或是否具有两个相异的特征根23.设 1， 2， 3， 4， 为四维非零列向量，A=( 1， 2， 3， 4)，已知方程组 AX= 的通解是(-1，1，0，2)T+k(1，-1，2，0)T，其中 k 为任意实数 () 问 能否由 1， 2， 3 线性表示? () 求向量组 1， 2， 3， 4， 的一个极大无关组（分数
18、：11.00）_正确答案：(由已知，齐次方程组 AX=0 的基础解系为(1，-1，2，0)T，所以 r(A)=3 () 设 可由 1， 2， 3 线性表示，即存在是 k1，k 2，k 3，使得 =k 1 1+k2 2+k3 2+k3 3，即(k 1，k 2，k 3，0)T 是方程组 AX= 的解，又(-1，1，0，2)T 也是方程组 AX= 的解，所以两解之差(k 1+1，k 2=1，k 3，-2)T 是方程组 AX=0 的解因此(k 1+1，k 2-1，k 3,-2)T 可由基础解系(1，-1，2.0)T表示，但向量(k 1+1，k 2-1，k 3，-2)T 与(1，-1.2，0)T 是线性
19、无关的，出现矛盾，所以 不能由 1， 2， 3 线性表示 ()因为方程组 AX= 有解，因此，向量组 1， 2， 3， 4， 的秩等于向量组 1， 2， 3, 4 的秩等于 A 的秩，等于 3又(1,-1，2，0)T 为AX=0 的解，即有 1- 2+2 3=0所以向量 3 可由 1， 2 线性表示，即可由 1， 2， 4 线性表示又(-1，1，0，2)T 是方程组 AX= 的解，即向量 可由 1， 2， 4 线性表示所以，向量组 1， 2， 3， 4， 与 1， 2， 4 等价，得 1， 2， 4 的秩为 3，即 1， 2， 3 线性无关，因此 1， 2， 4 是向量组 1, 2， 3， 4， 的一个极大无关组)解析：分析 考查线性方程组解的结构及极大无关组
