1、考研数学二-105 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：25.00)1.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的_（分数：2.50）A.充分必要条件B.充分但非必要条件C.必要但非充分条件D.既非充分又非必要条件2.设 f(x)是连续函数，且 （分数：2.50）A.B.C.D.3.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f (n) (x)是_ A.n!f(x)n+1 B.nf(x)n+1 C.f
2、(x)2n D.n!f(x)2n（分数：2.50）A.B.C.D.4.设函数对任意 x 均满足 f(1+x)=af(x)，且 f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则_（分数：2.50）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=aC.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=ab5.设 f“(x)=3x 3 +x 2 |x|，则使 f (n) (0)存在的最高阶导数 n 为_（分数：2.50）A.0B.1C.2D.36.设函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，当自变量 x 由 x 0 增加到 x 0
3、 +x 时，记 y 为 f(x)的增量，dy 为f(x)的微分， （分数：2.50）A.-1B.0C.1D.7.设 （分数：2.50）A.a=1，b=0B.a=0，b 为任意常数C.a=0，b=0D.a=1，b 为任意常数8.设 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充要条件为_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.9.设函数 f(x)在(-，+)上可导，则_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.10.设函数 f(x)在 x=a 处可导，则函数|f(x)|在 x=a 处不可导的充分奈件是_（分数：2.50）A.f(a)=0 且 f“(a)=0B.f(a)=0
4、 且 f“(a)0C.f(a)0 且 f(a)0D.f(a)0 且 f“(a)0二、计算题(总题数：15，分数：75.00)11.讨论函数 （分数：5.00）_12.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶可导，且 ，求 f(0)，f“(0)，f“(0)及 （分数：5.00）_13.y=lncos(10+3x 2 )，求 y“ （分数：5.00）_14.已知 f(u)可导， （分数：5.00）_15.已知 （分数：5.00）_16.设 y 为 x 的函数是由方程 （分数：5.00）_17.已知 （分数：5.00）_18.设 x=y 2 +y，u=(x 2 +x) 3/2 ，求 （分数：4.00）
5、_19.设函数 f(x)二阶可导，f“(0)0，且 （分数：5.00）_20.设曲线 x=x(t)，y=y(t)由方程组 （分数：5.00）_已知 （分数：10.00）(1).确定 a 的值，使 f(x)在 x=0 点连续；（分数：5.00）_(2).求 f“(x)（分数：5.00）_21.已知当 x0 时，f(x)有定义且二阶可导，问 a，b，c 为何值时 （分数：4.00）_22.已知 （分数：4.00）_23.设 y=xlnx，求 f (n) (1) （分数：4.00）_24.证明 y=(arcsinx) 2 满足方程 (1-x 2 )y (n-1) -(2n-1)xy (n) -(n-
6、1) 2 y (n-1) =0 （分数：4.00）_考研数学二-105 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：25.00)1.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的_（分数：2.50）A.充分必要条件 B.充分但非必要条件C.必要但非充分条件D.既非充分又非必要条件解析：2.设 f(x)是连续函数，且 （分数：2.50）A. B.C.D.解析：3.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f (n)
7、 (x)是_ A.n!f(x)n+1 B.nf(x)n+1 C.f(x)2n D.n!f(x)2n（分数：2.50）A. B.C.D.解析：4.设函数对任意 x 均满足 f(1+x)=af(x)，且 f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则_（分数：2.50）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=aC.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=ab 解析：5.设 f“(x)=3x 3 +x 2 |x|，则使 f (n) (0)存在的最高阶导数 n 为_（分数：2.50）A.0B.1C.2 D.3解
8、析：6.设函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，当自变量 x 由 x 0 增加到 x 0 +x 时，记 y 为 f(x)的增量，dy 为f(x)的微分， （分数：2.50）A.-1B.0 C.1D.解析：7.设 （分数：2.50）A.a=1，b=0B.a=0，b 为任意常数C.a=0，b=0 D.a=1，b 为任意常数解析：8.设 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充要条件为_ A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：9.设函数 f(x)在(-，+)上可导，则_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：10.设函数 f(x)在 x=a 处可导，
9、则函数|f(x)|在 x=a 处不可导的充分奈件是_（分数：2.50）A.f(a)=0 且 f“(a)=0B.f(a)=0 且 f“(a)0 C.f(a)0 且 f(a)0D.f(a)0 且 f“(a)0解析：二、计算题(总题数：15，分数：75.00)11.讨论函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 0 时， 不存在，所以 x=0 为第二类间断点；当 0 时，12.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶可导，且 ，求 f(0)，f“(0)，f“(0)及 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 所以， 在 x=0 的某邻域内二阶可导，所以 f(x)，f“(x)在 x=0 处连
10、续因此 13.y=lncos(10+3x 2 )，求 y“ （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 14.已知 f(u)可导， （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 15.已知 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 16.设 y 为 x 的函数是由方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 x+yy“=y“x-y，所以 17.已知 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 18.设 x=y 2 +y，u=(x 2 +x) 3/2 ，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 dx=(2y+1)dy， 19.设函数 f(x)二阶可导，f“(0)0，且 （分数：5.00
11、）_正确答案：()解析：解 由题意知： 20.设曲线 x=x(t)，y=y(t)由方程组 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 已知 （分数：10.00）(1).确定 a 的值，使 f(x)在 x=0 点连续；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 f(x)在 x=0 点连接，所以 (2).求 f“(x)（分数：5.00）_正确答案：()解析： 所以 21.已知当 x0 时，f(x)有定义且二阶可导，问 a，b，c 为何值时 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 F(x)连续，所以 ，所以 c=f(-0)=f(0)； 因为 F(x)二阶可导，所以 F“(x)连续，所以 b=f“_(0)=f“(0)，且 ，F“(0)存在，所以 F“_(0)=F“+(0)， 所以 所以 22.已知 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 23.设 y=xlnx，求 f (n) (1) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 使用莱布尼茨高阶导数公式 24.证明 y=(arcsinx) 2 满足方程 (1-x 2 )y (n-1) -(2n-1)xy (n) -(n-1) 2 y (n-1) =0 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 y=(arcsinx) 2 ，所以 所以(1-x 2 )y“=2+xy“. 对上式二边求 n-1 阶导数按莱布尼茨公式有
