1、考研数学二-105 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)连续，F(x)=*f(t 2)dt，则 F(x)等于_（分数：4.00）A.f(x4)B.x2f(x4)C.2xf(x4)D.2xf(x2)2.曲线*_.（分数：4.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线3.设函数 y=y(x)由参数方程*确定,曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 X 轴交点的横坐标是_ A*ln2+3 B.*ln2+3 C-8ln2+3 D8ln2+3（分数：4.00）A.B.C.D.
2、4.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大值点，则_（分数：4.00）A.x0必是 f(x)的驻点B.-x0必是-f(-x)的极小值点C.-x0必是-f(x)的极小值点D.对一切 x 都有 f(x)f(x 0)5.设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则_（分数：4.00）A.当*f(x)=0 时，必有*f(x)=0B.当*f(x)存在时，必有*f(x)=0C.当*f(x)=0 时，必有*f(x)=0D.当*f(x)存在时，必有*f(x)=06.设常数 k0，函数 f(x)=*在(0，+)内零点的个数为_（分数：4.00）A.3B.2C.1D.07.“对
3、任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有x n-a2”是数列 xn收敛于 a 的_（分数：4.00）A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件8.设 f(x)=x(1-x)，则_（分数：4.00）A.x=0 是厂(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，且(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点二、填空题(总题数：6，分数：24.0
4、0)9.*_.（分数：4.00）填空项 1:_10.*_.（分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 y=f(x)由方程 xy 十 2lnx=y4所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是_（分数：4.00）填空项 1:_12.曲线*的上凸区间是_（分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)=-*的解为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e2x-3z+2y 确定，则*_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限*.（分数：9.00）_16.求微分方程 xy
5、+1=xex满足 y(1)=1 的特解（分数：9.00）_17.已知曲线的极坐标方程是 r=1-cos，求该曲线上对应于*处的切线与法线的直角坐标方程（分数：11.00）_18.设 f(lnx)=*,计算f(x)dx.（分数：11.00）_19.求微分方程 y“+4y+4y=eax的通解，其中 a 为实数（分数：10.00）_20.确定常数 a，使向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a,1) T， 3=(a，1，1) T可由向量组 1=(1，1，a)T， 2=(-2，a，4) T， 3=(-2，a，a) T线性表示，但是向量组 1， 2， 3不能由向量组 1， 2， 3线性表示（分数：
6、11.00）_21.设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 *，x=(x 1,，x n)T，b=(1,0,0) T. (1)证明行列式A=(n+1)a n. (2)a 为何值时，方程组有唯一解？并求 x1. (3)a 为何值时，方程组有无穷多解？求通解.（分数：11.00）_22.已知 f“(x)0,f(0)=0，试证：对任意的两个正数 x1和 x2,恒有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2) 成立.（分数：11.00）_23.(1)证明积分中值定理：设 f(x)在a,b上连续，则存在 a,b使 * (2)若 (x)有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2)*dx 出，证明至少存在一点 (1,
7、3),使得“()0.（分数：11.00）_考研数学二-105 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)连续，F(x)=*f(t 2)dt，则 F(x)等于_（分数：4.00）A.f(x4)B.x2f(x4)C.2xf(x4) D.2xf(x2)解析：考点提示 按照变限积分求导法求导即可 解题分析 F(x)=*=f(x 2)2(x2)=2xf(x4) 故应选 C 评注 一般地，对于变限积分*，其求导公式为 *2.曲线*_.（分数：4.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线
8、 解析：考点提示 曲线的渐近线 解题分析 因为*，所以 y=1 为其水平渐近线 又*，所以 x=0 为其铅直渐近线 可见曲线*既有水平渐近线又有铅直渐近线，故应选 D 评注 若*不存在，则应继续考虑*y 或*y，其中任何一个存在均说明有水平渐近线(y 轴正向或负向)；同样对于不连续点 x0，若*不存在且非无穷大量，则应继续考虑*或*，其中任何一个为无穷大量均说明 x=x0为铅直渐近线3.设函数 y=y(x)由参数方程*确定,曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 X 轴交点的横坐标是_ A*ln2+3 B.*ln2+3 C-8ln2+3 D8ln2+3（分数：4.00）A. B.C.D.解析
9、：考点提示 法线方程、切线斜率 解题分析 由题意可知，当 x=3 时，t=1 和 t=-3(不合题意，舍去)，有 y=ln2， * 求得 y=y(x)在 x=3 处的法线方程为 y=ln2-8(x-3) 令 y=0，得法线与 x 轴交点的横坐标为 x=*ln2+3.所以选 A.4.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大值点，则_（分数：4.00）A.x0必是 f(x)的驻点B.-x0必是-f(-x)的极小值点 C.-x0必是-f(x)的极小值点D.对一切 x 都有 f(x)f(x 0)解析：考点提示 利用极大值的定义选择正确答案 解题分析 用排除法：由于不可导点
10、也可取极值，所以 A 不正确注意到极值的局部性，知 D 也不正确对于 f(x)=-x-1，在 x0=1 处取极大值，但-x 0=-1，并非是-f(x)=x-1的极小值点，所以 C 也不成立故应选 B5.设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则_（分数：4.00）A.当*f(x)=0 时，必有*f(x)=0B.当*f(x)存在时，必有*f(x)=0 C.当*f(x)=0 时，必有*f(x)=0D.当*f(x)存在时，必有*f(x)=0解析：考点提示 函数极限、导数的极限 解题分析 由题设，可采取举反例的方法逐一排除干扰项 关于 A，设*,则*f(x)=*.但*,其中 2cos(x2)项当
11、 x时极限不存在，即*不存在所以 A 可排除 关于 C 和 D，令 f(x)=sinx，则*f(x)=0，且*f(x)=*cosx=1 从而 C 和 D 都可排除 关于 B 的正确性，证明如下：任取 x0，由拉格朗日中值定理， f(2x)-f(x)=f()x (其中 x2x)， 当 x+时 +，由题设*f(x)存在，记为 A=*f(X)=f(+) A 为有限常数，在中令 x+，则： * 已知 f(x)连续有界，因此 * 所以*f(x)=0，综上，选 B6.设常数 k0，函数 f(x)=*在(0，+)内零点的个数为_（分数：4.00）A.3B.2 C.1D.0解析：考点提示 利用中值定理讨论零点
12、的存在性，利用单调性确定零点的个数 解题分析 因为 f(x)*，令 f(x)=0，得 x=e 易知 f(x)在(0，e)内单调增加，在(e，+)内单调减少，且 f(e)=k0而 * 可见在 f(x)在(0，e)和(e，+)分别有且只有一个零点，从而 f(x)在(0，+)内有两个零点 评注 只由 f(e)=k0，f(x)在(0，e)和(e，+)内的单调性，不能得零点的存在性*f(x)=-，*f(x)=-是确定零点存在性的重要条件7.“对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有x n-a2”是数列 xn收敛于 a 的_（分数：4.00）A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充
13、分条件C.充分必要条件 D.既非充分条件又非必要条件解析：考点提示 数列极限的定义 解题分析 本题考查数列极限的 -N 语言定义，*即0，存在 NN，当 nN 时有x n-a将此定义与题设所给条件相比较，知两者实质是相同的，因此题设条件也是x n收敛于 a 的充要条件，所以选 C8.设 f(x)=x(1-x)，则_（分数：4.00）A.x=0 是厂(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，且(0，0
14、)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：考点提示 极值点、拐点 解题分析 本题考查极值点与拐点的定义若严格采用解析方法分析 f(x)与 f“(x)在 x=0 左、右侧的性质较为烦琐，由于 f(x)=x(1-x)是二次函数加绝对值符号，图形不难作出，可由此直接判断(如图所示) * f(0)=0 且 f(0)为极小值，而在 x=0 左侧，f(x)下凹，在 x=0 右侧，f(x)上凸，因此(0，0)为 y=f(x)之拐点综上选 C二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.*_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 极限 解题分析 *10.*_.（分数：4.00）填空项
15、1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 将数列的通项适当放大、缩小，再用夹逼准则即可 解题分析 因为*， 于是*. 而*， * 故根据夹逼准则知，*11.设函数 y=f(x)由方程 xy 十 2lnx=y4所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=x）解析：考点提示 隐函数求导、切线方程 解题分析 由题设所给方程 xy+2lnx=y4，两边对 x 求导，得 * 将 x=1，y=1 代入上式，得 * 所以点(1，1)处的切线方程是 y-1=x-1，即 y=x12.曲线*的上凸区间是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：
16、）解析：考点提示 求二阶导数，并由其符号确定曲线的上凸区间 解题分析 对*求一阶、二阶导数，得 * 当 y“0，即 x*时，曲线向上凸13.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)=-*的解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 一阶线性方程 解题分析 将原方程变形为 * 即 * 积分得 * 因为 y(1)=-*，得 C=0，所以*14.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e2x-3z+2y 确定，则*_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 二元函数的偏导数 解题分析 在方程 z=e2x-3x+2y 两边分别对 x，y 求偏导，得
17、 * 于是 * 所以 *三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限*.（分数：9.00）_正确答案：(*)解析：考点提示 求函数的极限16.求微分方程 xy+1=xex满足 y(1)=1 的特解（分数：9.00）_正确答案：(先化为一阶线性微分方程的标准形式*由一阶线性微分方程的通 解公式，得 * 代入初始条件 y(1)=1，得 C=1，所以所求特解为*)解析：考点提示 微分方程的特解17.已知曲线的极坐标方程是 r=1-cos，求该曲线上对应于*处的切线与法线的直角坐标方程（分数：11.00）_正确答案：(解题分析由题设，曲线极坐标方程为 r=1-cos，则曲线的直角坐标参数方程
18、为 * 当*时， * 该点切线斜率为 * 因此，该点切线方程为 * 化简得* 该点法线方程为 * 化简得 *)解析：考点提示 切线方程、法线方程.18.设 f(lnx)=*,计算f(x)dx.（分数：11.00）_正确答案：(由已知条件，应先求出 f(x)的表达式，再进行积分由于 f(lnx)*，因此令 t=lnx，即x=e，代入上式得 * 则*)解析：考点提示 不定积分.19.求微分方程 y“+4y+4y=eax的通解，其中 a 为实数（分数：10.00）_正确答案：(方程 y“+4y+4y=eax对应的齐次方程的特征方程为： 2+4+4=0，特征根为 1= 2=-2，故对应的齐次方程通解为
19、(C 1+C2x)e-2x 当 a-2 时，即 a 不是特征根，方程的特解可设为 y*=Aeax，代入原方程得 * 于是方程的通解为* 当 a=-2 时，即 a 为特征方程的二重根，方程的特解可设为 y*=Ax2e-2x，代入原方程得 * 于是方程的通解为* 综上所述，方程的通解为 *)解析：考点提示 对于二阶常系数非齐次线性微分方程，先求出对应齐次方程的特征方程的特征根及方程的通解，再根据特征根及自由项确定非齐次方程的特解的形式，代入方程求出特解非齐次线性方程的通解为对应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解本题关键在于要注意特解 y*的形式与 a 的取值有关20.确定常数 a，使向量组 1=(
20、1，1，a) T， 2=(1，a,1) T， 3=(a，1，1) T可由向量组 1=(1，1，a)T， 2=(-2，a，4) T， 3=(-2，a，a) T线性表示，但是向量组 1， 2， 3不能由向量组 1， 2， 3线性表示（分数：11.00）_正确答案：(根据题意得 1， 2， 3可由向量组 1， 2， 3线性表示，所以 3 个方程组x1 1+x2 2+x3 3=(i=1，2，3)均有解对增广矩阵作初等行变换，有 * 可见 a4 且 a-2 时， 1， 2， 3可由 1， 2， 3线性表示 向量组 1， 2， 3不能由向量 1， 2， 3线性表示，即有 3 个方程组 x1 1+x2 2+
21、x3 3= j(j=1,2,3) 均无解对增广矩阵作初等变换，有 *所以 a=1 时向量组 1， 2， 3可由向量组 1, 2, 3线性表示，但 1, 2, 3不能由 1， 2， 3线性表示)解析：考点提示 线性方程组求解、向量组线性表示21.设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 *，x=(x 1,，x n)T，b=(1,0,0) T. (1)证明行列式A=(n+1)a n. (2)a 为何值时，方程组有唯一解？并求 x1. (3)a 为何值时，方程组有无穷多解？求通解.（分数：11.00）_正确答案：(利用行列式性质，有 * (2) 若方程组 Ax=b 有唯一解，则A=(n+1)a n0，即
22、 a0则由克莱姆法则，得 * (3) 若使方程组 Ax=b 有无穷多解，则A=(n+1)a n=0，即 a=0把 a=0 代入到矩阵 A 中，显然有 r(AB)=r(A)=n-1，方程组的基础解系含一个解向量，它的基础解系为 k(1，0, 0，0) T(k 为任意常数)代入 a=0 后，方程组化为*特解取(0，1，0，0) T，则方程组 Ax=b 的通解为 k(1，0，0，0)T+(0，1，0，0) T，其中的 k 为任意常数)解析：考点提示 线性方程组解的结构和通解22.已知 f“(x)0,f(0)=0，试证：对任意的两个正数 x1和 x2,恒有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2) 成
23、立.（分数：11.00）_正确答案：(详解 1 令 F(x)=f(x+x2)-f(x)-f(x2)， 则 F(x)=f(x+x 2)-f(x)=x2f“(x+x 2)0 (01) 可见，F(x)单调减少又 x10，故 F(x1)F(0)， 即 f(x 1+x2)-f(x1)-f(x2)0， 也即 f(x 1+x2)f(x 1)+f(x2) 详解 2 不妨设 0x 1x 2，由微分中值定理，有 f(x1)-f(0)=x1f( 1)，0 1x 1， f(x1+x2)-f(x2)=x1f( 2)，x 2 2x 1+x2 由题设，f“(x)0，因此 f(x)单调减少又 1 2，故有 f( 2)f( 1
24、)，从而有：f(x 1+x2)-f(x2)f(x 1)-f(0)由 f(0)=0，得 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)解析：考点提示 本题是不等式证明题，一种考虑是作辅助函数，通过参数变易，比如将 x1换为未知变量 x，从而得到辅助函数；另一种考虑是，要证的不等式可表示为两点的函数值之差，自然联想到用拉格朗日中值定理进行分析23.(1)证明积分中值定理：设 f(x)在a,b上连续，则存在 a,b使 * (2)若 (x)有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2)*dx 出，证明至少存在一点 (1,3),使得“()0.（分数：11.00）_正确答案：(设 M 和 m 分别是连续函数 f(x)
25、在区间a，b(ba)上的最大值和最小值，则有 m(b-a)*f(x)dxM(b-a) 不等式两边同除以(b-a)，得到 m*显然*是介于函数 f(x)的最大值和最小值之间的根据闭区间上连续函数的中值定理可知，在区间a，b上至少存在一点 ，使得函数 f(x)在该点处的函数值和*相等，即 * 等式两边同乘以(b-a)，可得 *f(x)dx=(b-a)f() (ab) (2) 由积分中值定理可得，至少存在一点 (2，3)，使得*(x)dx=()又 (2)*(x)dx，所以有 (2)(1),(2)() 因为 (x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点 1(1，2)，使得*；且至少存在一点 2(2，)，使得*再由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点 ( 1， 2)，使得 *)解析：考点提示 积分中值定理
